【正文】 Cxyx ?? 2ln (6分 )； o 4. 設(shè) dxdy p? (1 分 ) ，令 dxdyp? ，解為222 4121 xyCCxxy ???? 及 (6 分 )； o 5. （ I）當(dāng) 0?a ，2123 2161 CtCttx ????。 （ II）當(dāng) 0?a ,不防設(shè) a0,則方程的兩個(gè)基本解為ate? ， ate 易求得一個(gè)特解 ),1(120 tax ??? 所以此時(shí)方程的解為 )1(1221 taeCeCx atat ???? ? o 6. x″ +x=0 的通解是 12cos si nx C t C t??(2分 )， 設(shè)原方程的特解是 ( c os si n )x t A t B t??(4分 )， 將 ( c os si n )x t A t B t??代 入 原 方 程 得 2 s in 2 c os s inA t B t t? ? ?， 所以有 2120AB???? ?? ? 120AB? ????? ?? , 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 所以原方程的通解是 12 1c o s s in c o s2x C t C t t t? ? ? 注：如果用常數(shù)變易法或利用輔助方程 39。39。 itx x e?? 求解，則參照此解法給分 o 7. 2( ) 0xx x?? ???,設(shè) xp?? ，則 dp dp dx dpxpd t d x d t d x?? ? ? ? ?（ 2 分） . 所以，原方程化為 2 0 0 0d p d px p p p x pd x d x? ? ? ? ? ?或 由 0dpxpdx?? 得 Cp x? ，因此得2 112d x Cx d x C d t x C t Ct x? ? ? ? ? ? （ 6分） 三．（本題 11 分） 1．何謂 )(t? 是線性齊次方程組 ???? A 的基解矩陣？ 2．試求系數(shù)矩陣 A=?????????????244354332 上述方程組的基解矩陣 . ? 參考答案 o 1. 稱 )(t? 是 ???? A 的基解矩陣，如果 )(t? 滿足 （ a） )()( tAt ???? (b) 0)(det ?? t .（ 4分） o 2. 令 0244354332)( ??????????????? AEf ， 可 求 得2,2,1 321 ????? ??? （ 7 分） 對于 11 ??? 由 ,000344344333321?????????????????????????????????????xxx可取???????????0111X, 對于 22 ??? ，由 ,000444334334321?????????????????????????????????????xxx可取???????????1102X 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 對于 23?? ，由 ,000044374330321???????????????????????????????????xxx可取???????????1113X 因此基解矩陣為????????????????ttttttteeeeeeet2222200)( .（ 11分） 四． 討論題 ：（本題 12分） 研究方程 22xydxdy n ?? 1． 當(dāng) n=1, 方程是什么類型的方程？并求解之。 2． 當(dāng) n=2, 方程是什么類型的方程 ?通過觀察能否直接求出其解？ 如何作變換將其化為可求解的類型，并具體求解之。 ? 參考答案 o 1. 當(dāng) n=1 時(shí)，方程為線性非齊次方程， 其解為 ?????? ??? ?? Cdxexey xx 22（ 3 分） o 2. 當(dāng) n=2 時(shí)，方程為 Riccati 方程，通過觀察，易知 x1為其一特解（ 6分）， 令 uxy ??1 （ 8分），代入原方程后可化簡為 ,22 xuudxdu ??此為伯努里方程， 再令 uv1? ，則又可化為 ,21 xvdxdv ??? 可求其解為32 xxcv ?? ， 因此原方程的解為223 31 xc xxy ??? . 五．證明題：（本題 10分） 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 設(shè) )(),( 21 txtx 是方程 0)()( 21 ?????? xtaxtax 的基本解組，則線性非齊次方程 )()()( 21 tfxtaxtax ?????? 滿足初始條件 0)()( 00 ??? tt ?? 的解可表為 ? ??? tt dssfw sxtxsxtxt0)())()()()(()( 1221? （其中 w 為解 )(),( 21 txtx 所成的Wronski行列式），試證明之 . ? 參考答案 o 證明：設(shè) )(),( 21 txtx 為方程 0)()( 21 ?????? xtaxtax （ 1）的兩個(gè)線性無關(guān)解 . 令 39。, 21 xxxx ?? ，則（ 1 ）化為 AXX?39。 ，其中 ????????????????? ??? )(0)(,)()( 10 12 tftFtataA （ 3 分） 則據(jù)常數(shù)變易公式，滿足初始條件 0)( 0 ?t? 的 解為? ???? tt dssFstt 0 )()()()( 1? ,（ 6分） 其中 wtxtx txtxttxtx txtxt /)(39。)(39。 )()()(,)(39。)(39。 )()()( 21 21121 21 ???????????????????? ? 代入可算得 ? ??? ttdssfw sxtxsxtxt0)())()()()(()( 1221? . 模擬試題 3 一、填空題：（每小題 3 分，共 21 分） 1. 方程 5( ) c os si n 0y y x y?? ? ???? ? ?的階數(shù)是 ① . 2. 方程 ()dy P x ydx? 的通解是 ② ； 3. ( , )xy??? 是方程 ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy??的 積分因子的充要條件是 ③ ； 4. 方程 22 3 2 0d x dx xdt dt? ? ?的通解是 ④ ； 5. 方程 39。39。 2 39。 2 c osxy y y e x? ? ? 的特解可設(shè)為 ⑤ ； 6. 如果 1 2 3, s in , tx t x t x e? ? ?是某個(gè)二階線性非齊次方程的特浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 解，那么這個(gè)方程的通解是 ⑥ ； 7. 方程 22y x y??? ?? 滿足條件 (0) 1, (0) 0yy???的解有 ⑦ 個(gè) . ? 參考答案 o 1. 三 ， o 2． ()P x dxy Ce?? ， o 3． ( ) ( )MNyx?????， o 4． 212tty C e C e?? ， o 5． ( c os sin )xy x e A x B x??, o 6． 12( si n ) ( )t t tc e t c e t e? ? ? ?， o . 二、是非判斷題：（每小題 2 分，共 10 分） 8. 如果 ( ) ( )X t i t????是微分方程組 ( ) ( )dX A t X b tdt ??的復(fù)值解（這里 ()t? 、 ()t? 、 ()bt 都是實(shí)向量函數(shù)， ()At 是實(shí)矩陣函數(shù)）， 那么 ()Xt?? 是微分方程組 ( ) ( )dX A t X b tdt ??的解 . 9. 方程 2 22 0dy aydx ??（ a 是實(shí)數(shù)）的通解是 si n( ) c os( )y A ax B ax??. 10. 方程 39。39。 ( ) 39。 ( ) ( )y a x y b x y c x? ? ?（其中 ( ), ( ), ( )a x b x c x 連續(xù)）可以有三個(gè)線性無關(guān)的解 . 11. 如果 ()t? 是 n 維方程組 dtdX =A(t)X 的基解矩陣， C 是 n 階可逆常數(shù)矩陣，那么 ()t? C 也是方程組 dtdX =A(t)X 的基解矩陣 . 12. 方程 dxdy = 2 y 滿足初始條件： x=0 時(shí) y=0 的解只有 y=0. ? 參考答案 o 8. ， 9. ， 10 √， 11,√ 12,. 三、（ 24 分）求解下列各方程： 1. 2(1 )dy xydx ??； 2. dxdy =2yxy?； 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 3. dxdy xy = yxe ； 4. 3 20d y d yxyd x d x?? ? ? ?????. ? 參考答案 o 1. dxdy = 2(1 )xy? ?21 dy xdxy ??(3 分 ) ? 通解為21a r c ta n2y x C?? 或者寫為 21tan( )2y x C?? (6 分 )； o 2. dxdy =2yxy?? dxdy = 1y x y? ?? (3 分 ) ? 11[ ] ( )y d y y d yx e y e d y C y y C?? ???? ? ? ?? (6 分 )； o 3. 設(shè) y ux? (2 分 )，則 39。39。y u xu?? = uue? (4 分 )，所以 u dxe du x? ? ? log | |ue x C?? ? ?， 通解是 lo g | | 0yxe x C? ? ? ?(6分 )； o 4. 設(shè) dxdy p? (1 分 )，則 3 2y p xp?? ，兩邊關(guān) 于 x 求導(dǎo)得 2 2 23 39。 2 2 39。 3 ( 3 )32d p p d xp p p p x p x pd x p x d p p?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 分 22 243[ 3 ] ( )4d p d pppx e p e d p C p p C? ???? ? ? ? ? ?? (4 分 )代入 3 2y p xp?? 得 3122 Cypp? ? ? (5 分 )，所以通解是22334122CxppCypp? ? ? ????? ? ? ??? (6 分 ). 四、（ 18 分）求下列各方程的通解： 1. 39。39。 sinx x t?? ； 2. 2 39。 0t x tx x? ? ? . ? 參考答案 o 1. 39。39。 0xx?? 的通解是 12cos si nx C t C t??(2 分 )，設(shè)原方程的特解是 ( c os si n )x t A t B t??(4 分 )， 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院 將 ( c os si n )x t A t B t?? 代 入 原 方 程 得 2 s in 2 c os s inA t B t t? ? ?， 所以有 2120AB???? ?? ? 120AB? ????? ?? ，以原方程的通解是 12 1c o s s in c o s2x C t C t t t? ? ?(6 分 ). 注：如果用常數(shù)變易法或利用輔助方程 39。39。 itx x e?? 求解，則參照此解法給分 . o 2. 設(shè) tes? (2 分 ) 則 原 方 程 化 為2( 1 ) 0 0D D x D x x D x x? ? ? ? ? ? ?，（其中 dD ds? ） (4 分 )， 此方程通解是 12ssx C e C e??? ，所以原方程 的通解是 112x C t C t??? (6 分 ). 五、（