【正文】 姨存餃耽 如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題，那么主要靠“倒推結(jié)論”入手的“結(jié)論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現(xiàn)。其中的規(guī)律性很明顯，甚至可以以表格的形式表示出來。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型： 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解 題方向： 1. 利用等價無窮?。?2. 利用洛必達法則，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 條件 欲證結(jié)論 可用定理 A 關(guān)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，常常是只有連續(xù)性已知 存在一個 ?滿足某個式子 介值定理（結(jié)論部分為：存在一個 ? 使得kf ?)(? ） 零值定理（結(jié)論部分為：存在一個 ? 使得0)( ??f ） B 條件包括函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo) 存在一個 ?滿足0)()( ??nf 費爾馬定理（結(jié)論部分為： 0)(0 ??xf） 洛爾定理（結(jié)論部分為：存在一個 ? 使得 0)( ???f ） C 條件包 括函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo) 存在一個 ?滿足kf n ?)()( ? 拉格朗日中值定理（結(jié)論部分為：存在一個 ? 使得ab afbff ???? )()()(? ） 柯西中值定理（結(jié)論部分為：存在一個 ? 使得)()( )()()()(agbg afbfgf??????? ） 另外還常利用構(gòu)造輔助函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為可用費爾馬或洛爾定理的形式來證明 從上表中可以發(fā)現(xiàn)，有關(guān)中值定理證明的證 明題條件一般比較薄弱，如表格中 B、 C的條件是一樣的，同時 A 也只多了一條“可導(dǎo)性”而已；所以在面對這一部分的題目時，如果把與證結(jié)論與可能用到的幾個定理的的結(jié)論作一比較，會比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處。故對于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾和拉格朗日中值定理的掌握重點應(yīng)該放在熟記定理的結(jié)論部分上；如果能夠做到想到介值定理時就能同時想起結(jié)論“存在一個 ? 使得 kf ?)(? ”、看到題目欲證結(jié)論中出現(xiàn)類似“存在一個 ? 使得 kf ?)(? ”的形式時也能立刻想到介值定理；想到洛爾定理時就能想到式子 0)( ???f ；而見到式子)()( )()()()(agbg afbfgf??????? 也如同見到拉格朗日中值定理一樣，那么在處理本部分的題目時就會輕松的多，時常還會收到“豁然開朗”的效果。所以說，“牢記定理的結(jié)論部分”對作證明題的好處在中值定理的證明問題上體現(xiàn)的最為明顯。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點 與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價無窮??； 2. 利用洛必達法則，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 綜上所述，針對包括中值定理證明在內(nèi)的證明題的大策略應(yīng)該是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結(jié)論的提示作用，正推和倒推相結(jié)合；同時保持清醒理智 ，降低出錯的可能”。希望這些想法對你能有一點啟發(fā)。不過僅僅弄明白這些離實戰(zhàn)要求還差得很遠，因為在實戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的變形轉(zhuǎn)換技巧、性質(zhì)甚至定理我們當時想不到；很多結(jié)論、性質(zhì)和定理自己感覺確實是弄懂了、也差不多記住了，但是在做題時那種沒有提示、或者提示很少的條件下還是無法做到靈活運用；這也就是自身感覺與實戰(zhàn)要求之間的差別。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向 ： 1. 利用等價無窮小； ，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 這就像在記英語單詞時，看到英語能想到漢語與看到漢語能想到英語的掌握程度是不同的一樣，對于考研數(shù)學(xué)大綱中“理解”和“掌握”這兩個詞的認識其實是在做題的過程中才慢慢清晰的。我們需要做的就是靠足量、高效的練習(xí)來透徹掌握定理性質(zhì)及熟練運用各種變形轉(zhuǎn)換技巧，從而達到大 綱的相應(yīng)要求，提高實戰(zhàn)條件下解題的勝算。依我看，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 1201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價無窮??； 2. 利用洛必達法則，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱 輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 高數(shù)第六章《常微分方程》 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 1201考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價無窮?。?2. 利用洛必達法則，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 本章常微分方程部分的結(jié)構(gòu)簡單，陳 文燈復(fù)習(xí)指南對一階微分方程、可降階的高階方程、高階方程都列出了方程類型與解法對應(yīng)的表格。歷年真題中對于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現(xiàn)的，也經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過函數(shù)在某點處的切線、法線、積分方程等問題來引出；從歷年考察情況和大綱要求來看，高階部分不太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復(fù)雜。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價無窮 ??； ，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 對于本章的題目，第一步應(yīng)該是辨明類型，實踐證明這是必須放在第一位的；分清類型以后按照對應(yīng)的求解方法按部就班求解即可。這是因為其實并非所有的微分方程都是可解的，在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中只討論了有限的可解類型，所以出題的靈活度有限，很難將不同的知識點緊密結(jié)合或是靈活轉(zhuǎn)換。這樣的知識點特點 就決定了我們可以采取相對機械的“辨明類型 —— 〉套用對應(yīng)方法求解”的套路 ，而且各種類型的求解方法正好也都是格式化的，便于以這樣的方式使用。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價無窮??； ，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺鴛勇街障 卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 先討論一下一階方程部分。這一部分結(jié)構(gòu)清晰，對于各種方程的通式必須牢記，還要能夠?qū)σ谆煜念}目做出準確判斷。各種類型都有自己對應(yīng)的格式化解題方法，這些方法死記硬背并不容易，但有規(guī)律可循 —— 這些方法最后的目的都是統(tǒng)一的，就是把以各種形式出現(xiàn)的方程都化為 f(x)dx=f(y)dy 這樣的形式，再積分得到答案。對于可分離變量型方程0)()()()( 2211 ?? dyygxfdxygxf ，就是變形為 dxxf xf )( )(21 = dyyg yg )( )(12 ，再積分求解；對于齊次方程 )( xyfy ?? 則做變量替換 xyu? ，則 y? 化為 dxduxu? ，原方程就可化為關(guān)于 xu和 的可分離變量方程，變形積分即可解；對于一階線性方程)()( xqyxpy ??? 第一步先求 0)( ??? yxpy 的通解，然后將變形得到的dxxpydy )(?? 積分，第二步將通解中的 C 變?yōu)?C(x)代入原方程 )()( xqyxpy ???解出 C(x)后代入即可得解；對于貝努利方程 )()( xqyxpy ??? ny ，先做變量代換nyz ?? 1 代入可得到關(guān)于 z、 x 的一階線性方程，求解以后將 z 還原即可；全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy 比較特殊，因為其有條件 xNyM ???? ? ，而且解題時直接套用通解公式? ?xx dxyxM0 ),( 0 ? ?yy CdyyxN0 ),( .2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價無窮??； ，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 所以，對于一階方程的解 法有規(guī)律可循，不用死記硬背步驟和最后結(jié)果公式。對于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。對于 )()( xfy n ? 型方程，就是先把 )1( ?ny 當作未知函數(shù) Z，則 Zy n ??)( 原方程就化為 dxxfdz )(? 的一階方程形式，積分即得；再對 )2( ?ny 、 )3( ?ny 依次做上述處理即可求解； 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價無窮??； ，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 ),( yxfy ???? 叫不顯含 y 的二階方程，解法是通過變量替換 py ?? 、py ???? (p 為 x 的函數(shù) )將原方程化為一階方程； ),( yyfy ???? 叫不顯含 x 的二階方 程 ， 變 量 替 換 也 是 令 py ?? （但此中的 p 為 y 的 函 數(shù) ）， 則pppy dydpdxdydydp ?????? ，也可化為一階形式。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 1高 數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價無窮小； ，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換 uxy? ”，“求解貝努利方程就用變量替換 nyz ?? 1 ”一樣，在這里也要記住 “求解不顯含 y 的二階方程就用變量替換 py ?? 、 py ???? ”、“求解不顯含 x 的二階方程就用變量替換 py ?? 、ppy ???? ”。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價無窮??； ，對于型和型的題目直接用洛必達法 則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 大綱對于高階方程部分的要求不高，只需記住相應(yīng)的公式即可。其中二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理與線性代數(shù)中線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理非常相似，可以對比記憶： 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價無窮?。?2. 利用洛必達法則，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達喳選溯罩績吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 若 )(1 xy 、 )(2 xy 是 齊 次 方 程0)()( ????? yxqyxpy 的兩個線性無關(guān)的特 解 ， 則 該 齊 次 方 程 的 通 解 為)()()( 2211 xycxycx ??? 若齊次方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系