【正文】 .. 22 附錄 2 ............................................................. 22 附錄 3 ............................................................. 23 謝辭 .............................................................. 24 1 1. 行列式的定義及性質 行列式的定義 排列 [1] 在 任意 一個排列中， 若前面的數(shù)大于 后面的數(shù)，則 它們就叫做 一個逆序，在任意 一個排列中，逆序的總數(shù)就叫做這個排列的逆序數(shù) . 定義 [1] n 階行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD??????212222111211? 就 相當于全部 不同行、 列的 n 個元素的乘積 nnjjj aaa ?21 21 (111) 的代數(shù)和，這里 njjj ?21 是 n,2,1 ? 的一個排列，每一項（ 111）都按下列規(guī)則帶有符號：當 njjj ?21 是偶排列時，（ 111）是正值 ，當 njjj ?21 是奇排列時，（ 111） 是負值 .這一定義可以 表述為 nnnnjjjjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaD ?????????21212121)(212222111211)1(? ??? ?， (112) 這里 ?njjj ?21表示對所有 n 級排列求和 . 由于行列指標的地位是對稱的，所以為了決定每一項的符號，我們也 可以把每一項按 照列指標排起來，所以 定義又可以 表述為 niiiiiiiiinnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD ?????????21)(212222111211212121)1(? ??? ?. （ 113） 行列式的相關性質 記 nnnnnnaaaaaaaaaD??????212222111211? ,nnnnnnaaaaaaaaaD??????21222121211139。 ? , 2 則 行列式 39。D 叫做 行列式 D 的轉置行列式 . 性質 1 行列式 和 它的轉置行列式 是 相等 的 [2]. 即 DD?39。 . 證明：記 D 中 的一般項 n 個元素的乘積 是 ,21 21 nnjjj aaa ? 它處 于 D 的不同行和不同列，所以 它 也處 于 39。D 的不同行和不同列，在 39。D 中應 是 ,21 21 njjj naaa ? 所以它也是 39。D 中的一項 .反之 , 39。D 的每一項也是 D 的一項，即 D 和 39。D 有相同的項 .再由上面（ 12）和（ 13）可知這兩項的符號也相同，所以 DD?39。 . 性質 2 nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa??????????????????212111211212111211?. 證明： ininiiiinnnniniinAkaAkaAkaaaakakakaaaa???? ??????????2211212111211 .)(2121112112211nnnniniinininiiiiaaaaaaaaakAaAaAak??????????????? 性質 3 如果 行列式的某行 (列 )的元素都為兩個數(shù)之和 [2]， 如 nnnnnnnaaacbcbcbaaaD?????????21221111211????， 那么 行列式 D 就等于下列兩個行列式的 和： 3 .212111211212111211nnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaD???????????????????? 可以參照性質 2 的證明得出結論 . 性質 4 對換行列式中 任意 兩行的位置，行列式 值相反 .即若設 ,21212111211nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaD?????????????? ,212121112111nnnniniiknkknaaaaaaaaaaaD?????????????? 則 .1 DD ?? 證明：記 D 中 的一般項中 的 n 個元素的乘積 是 .21 21 nki njkjijjj aaaaa ??? 它在 D 中處于不同行、不同 列，因而在 1D 中也處于不同行、 不同的列，所以 它 也是 1D 的一項 .反之， 1D 中 的每一項也是 D 中 的一項，所以 D 和 1D 有相同的項，且對應的項絕對值相同 . 現(xiàn)在看該項的符號： 它在 D 中的符號為 .)1( )( 21 nki jjjjj ????? 由于 1D 是由交換 D 的 i 、 k 兩行而得到的，所以行標的 n 級排列 nki ???12變?yōu)?n 級排列 nki ???12 ，而列標的 n 級排列并沒有發(fā)生變化 .因此 D 和 1D 中每一對相應的項絕對值相等，符號相反，即 .1 DD ?? 性質 5 如果 行列式中 任 有兩行元素 完全相同，那么 行列式為零 . 證明：設該行列式為 D ，交換 D 相同的那兩行，由性質 4 可得 DD ?? ,故.0?D 性質 6 如若 行列式中 任有兩行 或者兩列元素 相互對應成比例， 則 行列式為零 . 證明：設 n 階行列式 中 第 i 行的各 個 元素為第 j 行的對應元素的 k 倍，由性質2，可以把 k 提到行列式外 ，然后 相乘 .則 剩下的行列式的第 i 行與第 j 行兩行相同，再由性質 5， 最后 得到行列式為零 . 性質 7 把 任意 一行的倍數(shù)加到另一行，行列式 的值 不 改 變 . 4 nnnnknkkkninkikinaaaaaacaacaacaaaaa?????????????2121221111211??? nnnnknkkknkknnnnnknkkiniinaaaaaacacacaaaaaaaaaaaaaaaa??????????????????????????2121211121121212111211?? nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaa?????????????21212111211?. 5 2. 行列式的計算方法 幾種特殊行列式的結果 三角行列式 nnnnnnaaaaaaaaa???????221122211211000 ?（上三角行列式） . nnnnnnaaaaaaaaa???????221121222111000?（下三角行列式） . 對角行列式 nnnnaaaaaa???????22112211000000?. 定義法 例 1 用 定義法證明.00000000002121215432154321?eeddccbbbbbaaaaa 證明： 行列式的一般項可表成 .54321 54321 jjjjj aaaaa列標 543 , jjj 只能在 5,4,3,2,1中取不同的值，故 543 , jjj 三個下標中至少有一個要取 5,4,3 中的一個數(shù)，則 任意一項 里至少有 一個 0 為因子，故 任一項必為零，即原行列式 的值為 零 . 利用行列式的性質計算 例 2 一個 n 階行列式ijn aD ?的元素 都 滿足 njiaa jiij ,2,1, ???? ， 那么