【正文】 fn(H) 2048 4040 12022 24000 1061 2048 6019 12022 2011 概率統(tǒng)計 教案 頻率穩(wěn)定性 高爾頓釘板試驗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 小球在高爾頓板中的分布規(guī)律 . 高 爾頓板實驗 . . . . . . . 2011 概率統(tǒng)計 教案 記左圖所示正方形的面積為 ，其中的四分之一圓圍成的區(qū)域為 A. ? 現(xiàn)向區(qū)域 隨機投點 n次，由幾何方法可計算得 ?利用頻率和概率的關系，當 n充分大 時， 441)()()(22???? ????rrAAP?A rnmAP ?)( 于是 nm4??計算 PI的概率 (頻率 )方法 : 2011 概率統(tǒng)計 教案 頻 率 穩(wěn)定值 概率 事件發(fā)生 的頻繁程度 事件發(fā)生 的可能性的大小 頻率的性質(zhì) 概率的公理化定義 2011 概率統(tǒng)計 教案 定義 設 E 是隨機試驗， S 是它的樣本空間，對于 E 的每一個事件 A 賦予一個實數(shù)，記為 稱為事件 A 的概率，要求集合函數(shù) 滿足 下列條件 ： 。)( 12 0 ?SP。)( AP?01 0???? ??? )()()( APAPAAP 2121則是兩兩互不相容事件若 , ?AA 20 13)(?P,)( AP二 、 概率的定義與性質(zhì) 2011 概率統(tǒng)計 教案 概率的性質(zhì) 。)( 01 ??P性質(zhì)則是兩兩互不相容事件若性質(zhì) , AAA n?212)()()()(APAPAPAAAPnn???? ?????2121)()()()()(APBPAPBPABPBA??????3性質(zhì)S A B 2011 概率統(tǒng)計 教案 。)()( APAP ?? 15性質(zhì)。)( 14 ?AP性質(zhì)。性質(zhì) )()()()( ABPBPAPBAP ????6S A B S A AB ?2011 概率統(tǒng)計 教案 重要推廣 : )()()()()()()()()A B CPBCPACPABPCPBPAPCBAP?????????1)()()() ABPBPABP ???2S B A 2011 概率統(tǒng)計 教案 加法公式的推廣 ? ?? ? ? ?? ? ? ?nnnkjikjinjijiniiniinAAAPAAAPAAPAPAPAAAn????2111111211???????????????????????????有個事件對任意 ,2011 概率統(tǒng)計 教案 生活中有這樣一類試驗，它們的共同特點是： ? 樣本空間的元素只有有限個； ? 每個基本事件發(fā)生的可能性相同 。 比如：足球比賽中扔硬幣挑邊，圍棋比賽中猜先。 我們把這類實驗稱為 等可能概型 ， 考慮到它在概率論早期發(fā)展中的重要地位，又把它叫做 古典概型 。 三、 等可能概型（古典概型） 2011 概率統(tǒng)計 教案 設 S ={e1, e2, … en }, 由古典概型的等可能性，得 }. { } { } { 2 1 n e =P e P e P ? ? ? 又由于基本事件兩兩互不相容；所以 },{}{}{}{ nePePePSP ????? 211.,}{ nineP i ?211 ??若事件 A 包含 k 個基本事件，即 A ={e1, e2, … ek }, 則有 ： .)(中基本事件總數(shù)包含的基本事件數(shù)SAnkAP ??2011 概率統(tǒng)計 教案 例 1 將一枚硬幣拋擲三次。設：事件 A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”，事件 A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”，求 P (A1 ), P (A2 )。 解：根據(jù)前面的記號， E2 的樣本空間 S2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT}, n = 8， 即 S2 中包含有限個元素，且由對稱性 知每個基本事件發(fā)生的可能性相同，屬于 古典概型 。 ? A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”， A1={HTT, THT, TTH}, , == )( = 833 1 nkAPk ，2011 概率統(tǒng)計 教案 .= = )( = )( 878111 22 ?? APAP, ==)(= T } ,T{T= : 811 22 22 nkAPkA AA ，由于另解? 事件 A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”， A2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH } , == )( = 877 222 nkAPk ，2011 概率統(tǒng)計 教案 例 2 一口袋裝有 6 只球 ，其中 4 只白球、 2 只紅球。 從袋中 取球兩次 ，每次隨機的取一只。 考慮兩種取球方式： ?放回抽樣 第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中， 攪勻后再取一球。 ?不放回抽樣 第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球 中再取一球。 分別就上面兩種方式求： 1）取到的兩只都是白球的概率； 2）取到的 兩只球顏色相同 的概率； 3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。 2011 概率統(tǒng)計 教案 解：從袋中取兩球，每一種取法就是一個基本事件。 設 A= “ 取到的兩只都是白球 ”， A1=“取到的都是紅球” 。 B= “ 取到的 兩只球顏色相同 ” C= “ 取到的兩只球中至少有一只是白球”。 444064 22.)( ??AP 111062 221 .)( ??AP8890621 221 .)()( ???? APCP 有放回抽取 : 無放回抽取 : 2624CCAP ?)( 262224CCCBP ??)(26221 1 CCAPCP ??? )()(55506 24 222.)( ???BP2011 概率統(tǒng)計 教案 例 3 將 n 只球隨機的放入 N (N ? n) 個盒子中去，求每個盒子至多有一只球的概率。 (設盒子的容量不限） ,種放法nNNNN ???? ?解： 將 n 只球放入 N 個盒子中去 , 共有 而每個盒子中至多放一只球 , 共有 ,)]([)( 種放法nNAnNNN ??????? 11 ?.)]([)( nnNn NANnNNNp ???????? 11 ?故問題改為 : 求 至少有一只 盒子 里有兩個以上的球的 概率。 .nnNNApP ???? 112011 概率統(tǒng)計 教案 此例可以作為許多問題的數(shù)學模型，比如 用此公式可以得出： n P 20 23 30 40 50 64 100 考慮 N=365, 經(jīng)計算可得下述結(jié)果： “在一個有 64人的班級里，至少有兩人同生日” 的概率為 %。 2011 概率統(tǒng)計 教案 例 4 設有 N 件產(chǎn)品，其中有 D 件次品，今從中任 取 n 件，問其中恰有 k ( k ? D ) 件次品 的概率是多少 ? 種，nNC又在 D件次品中取 k 件，所有可能的取法有 種，kn DNC ??在 ND 件正品中取 nk 件 , 所有可能的取法有 種，kDC 解：在 N 件產(chǎn)品中抽取 n 件，取法共有 不放回抽樣 1） 由乘法原理知：在 N 件產(chǎn)品 中取 n 件，其中恰有 k件次品的取法共有 種，kn DNkD CC ?? 于是所求的概率為： nNknDNkDCCCp ???此式即為 超幾何分布 的概率公式。 2011 概率統(tǒng)計 教案 2） 有放回抽樣 從 N件產(chǎn)品中有放回地抽取 n件產(chǎn)品進行排列，可能的排列數(shù)為 個，將每一排列看作基本事件，總數(shù)為 。 而在 N 件產(chǎn)品 中取 n 件，其中恰有 k件次品的取法共有 于是所求的概率為 ： nNknkkn DNDC ?? )(nNknkknnknkknNDNDCNDNDCP ?? ???? )()()( 1此式即為 二項分布 的概率公式 。 2011 概率統(tǒng)計 教案 例 5 在 1~2022 的整數(shù)中隨機的取一個數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概率是多少？ 解： 設 A 為事件 “ 取到的整數(shù)能被 6 整除”， B 為“取到的整數(shù)能被 8 整除”， ,33462022333 ??由于).()()()(),()()(ABPBPAPBAPBAPBAPBAP?????????其中1為： 6， 12，