【正文】 流 時間坐標 1p 2p? np0p例 ：求本金 ? 某人為了能在第 7年末得到 1萬元款項，他愿意在第一年末付出 1千元，第 3年末付出 4千元，第 8年末付出 X元，如果以 6%的年利率復(fù)利計息，問 X=？ 例 ? 以第 7年末為時間參照點，有 ? 以第 8年末為時間參照點，有 ? 以其他時刻為時間參照點（同學們自己練習） 千元7 4 3 46 ?????? xx千元7 4 3 57 ??????? xx例 ：求利率 （ 1）某人現(xiàn)在投資 4000元， 3年后積累到5700元，問季度計息的名義利率等于多少？ （ 2）某人現(xiàn)在投資 3000元， 2年后再投資6000元，這兩筆錢在 4年末積累到 15000元，問實質(zhì)利率 =？ 例 （ 1） （ 2） %124%35700)14000)4(43?????? ?jijj（) %61)1()(61)1(15000)1(6000)1(30002224舍去（由舍去負根?????????????????iiiiii例 ：求時間 ? 假定 分別為 12%、 6%、 2%，問在這三種不同的利率場合復(fù)利計息，本金翻倍分別需要幾年？ )12(i例 0 0 1 2ln2%)(%22ln2%)(%62ln2%)11(%1212)12(12)12(12)12(??????????????????ninininnn時，時，時，例 —— rule of 72 36%2)1(12%12)2(6%12)1()1l n (2ln)1l n (2ln2ln)1l n (2)1()12()6()12(??????????????????????????niiniiniiiiiiiiininin原理：例 ：求積累值 ? 某人現(xiàn)在投資 1000元，第 3年末再投資2022元，第 5年末再投資 2022元。其中前 4年以半年度轉(zhuǎn)換名義利率 5%復(fù)利計息，后三年以恒定利息力 3%計息，問到第 7年末此人可獲得多少積累值？ 例 57562022)1(2022)1(1000)7(23238????????????????eeeeejejA ???第三節(jié) 年金 第三節(jié)漢英名詞對照 ? 年金 ? 支付期 ? 延付年金 ? 初付年金 ? 永久年金 ? 變額年金 ? 遞增年金 ? 遞減年金 ? Annuity ? Payment period ? Annuityimmediate ? Annuitydue ? perpetuity ? Varying annuity ? Increasing annuity ? Decreasing annuity 一、年金的定義與分類 ? 定義 ? 按一定的時間間隔支付的一系列付款稱為年金。原始含義是限于一年支付一次的付款，現(xiàn)已推廣到任意間隔長度的系列付款。 ? 分類 ? 基本年金 ? 等時間間隔付款 ? 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致 ? 每次付款金額恒定 ? 一般年金 ? 不滿足基本年金三個約束條件的年金即為一般年金 二、基本年金 ? 基本年金 ? 等時間間隔付款 ? 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致 ? 每次付款金額恒定 ? 分類 ? 付款時刻不同：初付年金 /延付年金 ? 付款期限不同：有限年金 /永久年金 基本年金圖示 0 1 2 3 n n+1 n+2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 延付永久年金 初付永久年金 延付年金 初付年金 基本年金公式推導(dǎo) 211( 1 ) 1111 ( 1 )1 ( 1 ) ( 1 ) 11 ( 1 ) ( 1 )1 ( 1 )1 ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )11l i m l i m11l i m l i mnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnv v va v v vviva v v i adiis i iiiis i i i sdvaaiivaadd??? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ?式的經(jīng)濟含義nnnn viai va ????? 11有上式成立。因而本利和的現(xiàn)值是相等的時，投資額與投資回報。在利率為時現(xiàn)值為收回，折現(xiàn)到時，將投資本金期末，即時刻，到期利息的現(xiàn)值之和是，則每期末可獲得利息投資額為收方式。在時刻公式右側(cè)表示投資的回進行投資，投資本金是刻意義：公式左側(cè)表示時這個公式有明顯的經(jīng)濟ivnnianinn011010求證 11)1()1(11??????????nnnnnnnnssaaissiaa????????一年多次收付的年金 ])1(1[111111. . .1111/1)()(11/)1()1(21)()(mmmnmnnmmnmmmnmnimddvvvmvmvmvmvmmaammn???????????????????????＝，可得年金現(xiàn)值，以元的期首付次，每次年定期，每年收付對于????續(xù)上 )()()()(/1)()(/2/1)()(1)1(1)1(/1]1)1[(11. ..11/1mnmnmnmnmmmnnmmmnmniisdisnmmnimiivvmvmvmaamm???????????????????年末的終值為元的期首付年金在次，每次年定期年金，每年收付＝表示，可得元期末付年金現(xiàn)值以次，每次每年收付例 ? 一項年金在 20年內(nèi)每半年末付 500元，設(shè)利率為每半年轉(zhuǎn)換 9%，求此項年金的現(xiàn)時值。 4 0 0 .04 55 0 0 5 0 0 1 8 .4 0 1 6 9 2 0 0 .8a ? ? ?例 答案：例 ? 某人以月度轉(zhuǎn)換名義利率 %從銀行貸款 30萬元，計劃在 15年里每月末等額償還。問：（ 1）他每月等額還款額等于多少？（ 2）假如他想在第五年末提前還完貸款，問除了該月等額還款額之外他還需一次性付給銀行多少錢？ 例 （ 1） （ 2） 24 6430 000 0%????RRa 2 6 2 1 50 0 4 6 0 0 0 0 0 2 6 2 1 5%6060%??????RsPVRaPV或者例 ? 假定現(xiàn)在起立即開始每 6個月付款 200直到滿 4年，隨后再每 6個月付款 100直到從現(xiàn)在起滿 10年，若 求這些付款的現(xiàn)時值。 )2( ?i例 ? 方法一： ? 方法二： 88 0 . 0 3 1 2 0 . 0 32 0 0 1 0 0 1 4 4 6 .0 6 8 0 9 .3 5 2 2 5 5 .4 1a v a? ? ? ?8 0 . 0 3 2 0 0 . 0 31 0 0 1 0 0 7 2 3 .0 3 1 5 3 2 .3 8 2 2 5 5 .4 1aa? ? ? ?例 ? 有一企業(yè)想在一學校設(shè)立一永久獎學金，假如每年發(fā)出 5萬元獎金，問在年實質(zhì)利率為 20%的情況下，該獎學金基金的本金至少為多少？ 1. 1455 250. 2Pa ?? ? ?例 答案：例 —— 永久年金 ? A留下一筆 100000元的遺產(chǎn)。這筆財產(chǎn)頭10年的利息付給受益人 B， 第 2個 10年的利息付給受益人 C， 此后的利息都付給慈善機構(gòu) D。 若此項財產(chǎn)的年實質(zhì)利率為 7%，試確定 B， C， D在此筆財產(chǎn)中各占多少份額？ 例 25842)(7000:24993)(7000:4946570007000%7100000?????????aaDaaCaBI：基本年金公式總結(jié) 年金 有限年金 永久年金 現(xiàn)時值 積累值 現(xiàn)時值 延付 初付 iva nn ??1 iis nn 1)1( ???dva nn ??1?? dis nn 1)1( ?????ia 1??da 1???? 未知時間問題 ? 年金問題四要素 ? 年金、利率、支付時期（次數(shù)）、積累值（現(xiàn)時值） ? 關(guān)注最后一次付款問題 ? 在最后一次正規(guī)付款之后，下一個付款期做一次較小付款（ drop payment） ? 在最后一次正規(guī)付款的同時做一次附加付款（ balloon payment） nRR?nRR?例 ? 有一筆 1000元的投資用于每年年底付 100元，時間盡可能長。如果這筆基金的年實質(zhì)利率為 5%，試確定可以作多少次正規(guī)付款以及確定較小付款的金額，其中假定較小付款是： （ 1）在最后一次正規(guī)付款的日期支付。 （ 2）在最后一次正規(guī)付款以后一年支付 （ 3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中間支付。（精算時刻） 例 1414 14 14 141415 141414 14 .21 1410 0 10 00 14 .21( 1 ) 10 00 ( 5 ) 10 0 20 .0712 7 ( )( 2) 20 .07 5 21 .07 ( )( 3 ) 10 00 ( 5 ) 10 0 20 .07 5 20 .27nanFD sR R FD ba l l oo n pa y me ntFDR FD dr op pa y me ntFD sR FD? ? ?? ? ?? ?