【正文】 蘭畫家）的油畫，都是他自己的作品，這件事在當(dāng)時(shí)震驚了全世界，為了證明自己是一個(gè)偽造者，他在監(jiān)獄里開始偽造弗米爾的油畫 “ 耶穌在門徒們中間 ” ，當(dāng)這項(xiàng)工作接近完成時(shí)，范 梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造罪，因此他拒絕將這幅畫變陳，以免留下罪證。 為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國際專門小組查究這一事件。他們用 X射線檢驗(yàn)畫布上是否曾經(jīng)有過別的畫。此外，他們分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗(yàn)油畫中有沒有歷經(jīng)歲月的跡象?？茖W(xué)家們終于在其中的幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡，還在幾幅畫中檢驗(yàn)出了 20世紀(jì)初才發(fā)明的酚醛類人工樹脂。根據(jù)這些證據(jù)，范 梅格倫于 1947年 10月 12日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年。可是他在監(jiān)獄中只待了兩個(gè)多月就因心臟病發(fā)作，于 1947年 12月 30日死去。 歷史背景 : 然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不肯相信著名的 “ 在埃牟斯的門徒 ” 是范 梅格倫偽造的。事實(shí)上，在此之前這幅畫已經(jīng)被文物鑒定家認(rèn)定為真跡，并以 17萬美元的高價(jià)被倫布蘭特學(xué)會(huì)買下。專家小組對于懷疑者的回答是：由于范 梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒有地位而十分懊惱，他下決心繪制 “ 在埃牟斯的門徒 ” ，來證明他高于三流畫家。當(dāng)創(chuàng)造出這樣的杰作后，他的志氣消退了。而且，當(dāng)他看到這幅 “ 在埃牟斯的門徒 ” 多么容易賣掉以后，他在炮制后來的偽制品時(shí)就不太用心了 。這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學(xué)地、確定地證明 “ 在埃牟斯的門徒 ” 的確是一個(gè)偽造品。這一問題一直拖了 20年，直到 1967年，才被卡內(nèi)基 梅倫（ CarnegieMellon）大學(xué)的科學(xué)家們 基本上解決。 歷史背景 : 原理與模型 測定油畫和其他巖石類材料的年齡的關(guān)鍵是本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象。 放射性現(xiàn)象 ：著名物理學(xué)家盧瑟夫在本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)，某些 “ 放射性 ” 元素的原子是不穩(wěn)定的，并且在已知的一段時(shí)間內(nèi)，有一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子，且物質(zhì)的放射性與所存在的物質(zhì)的原子數(shù)成正比。 用 N(t)表示時(shí)間 t時(shí)存在的原子數(shù) ,則： dN Ndt ???常數(shù) λ是正的，稱為該物質(zhì)的衰變常數(shù) 用 λ來計(jì)算半衰期 T: 00()dN NdtN t N?? ???????與負(fù)增長的 Malthus模型完全一樣 其解為 : 0()0() ttN t N e ????012NN ?令 0ln 2T t t?? ? ?則有 : 許多物質(zhì)的半衰期已被測定，如碳 14，其 T=5568；軸 238，其 T=45億年。 與本問題相關(guān)的其他知識(shí) : (1)藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一，已達(dá)兩千年以上。白鉛中含有微量的放射鉛 210，白鉛是從鉛礦中提煉出來的，而鉛又屬于鈾系，其演變簡圖如下（刪去了許多中間環(huán)節(jié)） (3)從鉛礦中提煉鉛時(shí)，鉛 210與鉛 206一起被作為鉛留下，而其余物質(zhì)則有 90— 95%被留在礦渣里，因而打破了原有的放射性平衡。 鈾 23845億年 釷 23424天 釙 2346/5分 鈾 234257億年 釷 2308萬年 鐳 2261600年 氡 22219/5天 釙 2183分 鉛21427分 釙 2141s鉛 21020年 鉍 2105天 釙 210138天鉛 206（ 一種非放射性物質(zhì) ） 注：時(shí)間均為半衰期 (2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷地衰減，補(bǔ)充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之 （一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于 2— 3%的。 簡化假定： 本問題建模是為了鑒定幾幅不超過 300年的古畫，為了使模型盡可能簡單，可作如下假設(shè)： (1)由于鐳的半衰期為 1600年，經(jīng)過 300年左右，應(yīng)用微分方程方法不難計(jì)算出白鉛中的鐳至少還有原量的 90%，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個(gè)常數(shù)。 (2)鉛 210的衰變?yōu)椋? 鉛 210 T=22年 釙 210 鉛 206 T=138天 若畫為真品，顏料應(yīng)有 300年左右或 300年以上的歷史，容易證明：每克白鉛中釙 210的分解數(shù)等于鉛 210的分解數(shù)（相差極微，已無法區(qū)別）?？捎们罢叽婧笳?，因釙的半衰期較短，易于測量 。 建模： (1)記提煉白鉛的時(shí)刻為 t=0，當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛 210的分子數(shù)為 y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時(shí)間分解數(shù)相同?？梢酝扑愠霎?dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于 30000個(gè)。 00 30000u Uy????若 200 3 0 0 0 0 6 0 2 4 3 6 5 1 . 0 2 1 0uU ?? ? ?? ? ?則 （個(gè)） 這些鈾約重 20231 . 0 2 1 0 2 3 8 0 . 0 46 . 0 2 1 0? ???（克） 即每克白鉛約含 ，含量為 4% 以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)的上界，若畫上的鉛分解數(shù)大于該值，說明畫是贗品；但若是小于不能斷定畫一定是真品。 (2)設(shè) t時(shí)刻 1克白鉛中鉛 210含量為 y(t)，而鐳的單位時(shí)間分解數(shù)為 r（常數(shù)），則 y(t)滿足微分方程： dy yrdt ?? ? ?由此解得： 00( ) ( )0( ) [ 1 ]t t t try t e y e??? ? ? ? ?? ? ?00( ) ( )0 ( ) [ 1 ]t t t ty y t e r e???? ??? ? ?故： 畫中每克白鉛所含鉛 210目前的分解數(shù) λy(t)及目前鐳的分解數(shù) r均可用儀器測出，從而可求出 λy0的近似值，并利用（ 1）判斷這樣的分解數(shù)是否合理。 CarnegieMellon大學(xué)的科學(xué)家們利用上述模型對部分有疑問的油畫作了鑒定，測得數(shù)據(jù)如下（見表 31）。 油畫名稱 210分解數(shù) （ 個(gè) /分 ） 鐳 226分解數(shù) （ 個(gè) /分 ） 在埃牟斯的門徒 濯足 看樂譜的女人 演奏曼陀琳的女人 花邊織工 笑女 計(jì)算 λy0 （ 個(gè) /分 ） 98050 157130 127340 102250 10181 表 31 對 “ 在埃牟斯的門徒 ” ， λ y0≈98050 （個(gè) /每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類似可以判定（ 2），（ 3），（ 4）也是贗品。而（ 5）和（ 6）都不會(huì)是幾十年內(nèi)偽制品，因?yàn)榉派湫晕镔|(zhì)已處于接近平衡的狀態(tài)，這樣的平衡不可能發(fā)生在十九世紀(jì)和二十世紀(jì)的任何作品中。 判定 結(jié)果： 利用放射原理，還可以對其他文物的年代進(jìn)行測定。例如對有機(jī)物（動(dòng)、植物）遺體，考古學(xué)上目前流行的測定方法是放射性碳 14測定法，這種方法具有較高的精確度，其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射性碳 14（ C14）。有機(jī)物存活時(shí)，它們通過新陳代謝與外界進(jìn)行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的 C14處于放射性平衡中。一旦有機(jī)物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通過對比測定，可以估計(jì)出它們生存的年代。例如， 1950年在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有 Hammurabi王朝字樣的木炭，經(jīng)測定，其 C14衰減數(shù)為 /每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭中 C14衰減數(shù)為 /每克每分鐘， C14的半衰期為5568年，由此可以推算出該王朝約存在于 39004000年前。 例 6 新產(chǎn)品的推廣 經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。 設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為 K，記 t時(shí)刻已銷售出的電飯包數(shù)量為 x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為 K－ x(t)，于是由統(tǒng)計(jì)籌算律： ()dx x K xdt ??記比例系數(shù)為 k， 則 x(t)滿足： ()dx k x K xdt ??此方程即 Logistic模型，解為： () 1 Kk tKxt Ce ?? ?還有兩個(gè)奇解 : x=0和 x=K 對 x(t)求一階、兩階導(dǎo)數(shù)： 2239。( ) (1 )K k tK k tc K k extCe??? ?323( 1 )()( 1 )K k t K k tK k tC K k e C extCe?????? ??x’(t)0，即 x(t)單調(diào)增加。 令 x’’(t0)=0，有 2)( 0Ktx ?當(dāng) tt0時(shí)， x’(t)單調(diào)增加，當(dāng) tt0時(shí)， x’(t)單調(diào)減小。 在銷出量小于最大需求量的一半時(shí)，銷售速度是不斷增大的，銷出量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。 所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有 20%用戶到有80%用戶這段時(shí)期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果。 167。 為什么要用三級(jí)火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說明為什么不能用一級(jí)火箭而必須用多級(jí)火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級(jí)火箭系統(tǒng)？ 為什么不能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星 ? （ 1）衛(wèi)星能在軌道上運(yùn)動(dòng)的最低速度 假設(shè)： （ i） 衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星 在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 （ ii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi) 星的引力忽略不計(jì)。 分析： 根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為 : 2kmFr?在地面有 : 2km mgR ?得 : k=gR2 R為地球半徑，約為 6400公里 故引力 : 2RF m g r??? ????假設(shè) (ii) dm mdm v uv 假設(shè) (i) 衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力 故又有 : 2mF r??從而 : gR r? ?設(shè) g= /秒 2，得 : 衛(wèi)星離地面高度 (公里 ) 衛(wèi)星速度 (公里 /秒 ) 100 200 400 600 800 1000 （ 2）火箭推進(jìn)力及速度的分析 假設(shè)： 火箭重力及空氣阻力均不計(jì) 分析： 記火箭在時(shí)刻 t的質(zhì)量和速度分別為 m(t)和 υ(t) 2( ) ( ) ( )dmm t t m t t O tdt? ? ? ? ? ? ?有： 記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為 u（常數(shù)）， 由動(dòng)量守恒定理： 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )dmm t t m t t t t t O t t udt? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????υ 0和 m0一定的情況下，火箭速度 υ(t) 由噴發(fā)速度 u及質(zhì)量比決定。 d dmmudt dt? ??故： 由此解得： 00( ) l n ()mtumt?????? ????() （ 2）火箭推進(jìn)力及速度的分析 現(xiàn)將火箭 —— 衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分： （ i） mP（有效負(fù)載，如衛(wèi)星） （ ii） mF（燃料質(zhì)量） （ iii） mS（結(jié)構(gòu)質(zhì)量 —— 如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。 最終質(zhì)量為 mP + mS ，初始速度為 0， 所以末速度： ln OPSmumm? ? ?根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性能， u只能達(dá)到 3公里 /秒，即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超過 /秒。 目前根本不可能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星 火箭推進(jìn)力在加速整個(gè)火箭時(shí)，其實(shí)際效益越來越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃燒過程中 不斷減少，那么末速度能達(dá)到要求嗎？ 理想火箭模型 假設(shè)： 記結(jié)構(gòu)質(zhì)量 mS在 mS + mF中占的比例為 λ，假設(shè)火箭能隨時(shí)拋棄無用的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以 λ與（ 1λ）的比例同時(shí)減少。 建模 : 由 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ( ) ) ( )d m d mm t t m t t t t t u t O td t