[工學(xué)]二元關(guān)系ii-文庫吧
2025-09-19 23:45 本頁面
【正文】 (R)?R。 從而得到 r(R)=R。 閉包的主要性質(zhì) 定理 設(shè) R1和 R2是非空集合 A上的關(guān)系，且 R1 ? R2， 則 （ 1） r(R1) ? r(R2) （ 2） s(R1) ? s(R2) （ 3） t(R1) ? t(R2) 證明： (1)任取 x,y， 有 x,y∈r(R 1) ? x,y∈R 1∪I A ? x,y∈R 1 ∨ x,y∈I A ? x,y∈R 2 ∨ x,y∈I A ? x,y∈R 2∪I A ? x,y∈r(R 2) 關(guān)系性質(zhì)與閉包運(yùn)算之間的聯(lián)系 定理 設(shè) R是非空集合 A上的關(guān)系， （ 1）若 R是自反的，則 s(R)與 t(R)也是自反的。 （ 2）若 R是對(duì)稱的，則 r(R)與 t(R)也是對(duì)稱的。 （ 3）若 R是傳遞的，則 r(R)是傳遞的。 證明：略 ?從這里可以看出，如果計(jì)算關(guān)系 R的自反、對(duì)稱、傳遞的閉包， 為了不失去傳遞性，傳遞閉包運(yùn)算應(yīng)該放在對(duì)稱閉包運(yùn)算的后邊 ，若令 tsr(R)表示 R的自反、對(duì)稱、傳遞閉包，則 tsr(R)=t(s(r(R))) 自反性 對(duì)稱性 傳遞性 r(R) √ √ √ s(R) √ √ (反例 ) t(R) √ √ √ 反例 A={1， 2， 3}， R={1,3} 是傳遞的 s(R)={1,3,3,1} 顯然 s(R)不是傳遞的。 等價(jià)關(guān)系與劃分 定義 設(shè) R為非空集合上的關(guān)系。如果 R是 自反 的、 對(duì)稱 的和 傳遞 的，則稱 R為 A上的 等價(jià)關(guān)系 。設(shè) R是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，若 x， y∈R ， 稱 x等價(jià)于 y， 記做 x～ y。 舉例 (1)平面上三角形集合中，三角形的相似關(guān)系。 (2)人群中的同性關(guān)系。 例 設(shè) A＝ {1,2,… ,8}， 如下定義 A上的關(guān)系 R： R＝ {x， y|x， y∈A∧x≡y(mod 3)} 其中 x≡y(mod 3) 叫做 x與 y模 3相等 ，即 x除以 3的余數(shù)與 y除以 3的余數(shù)相等。不難驗(yàn)證 R為 A上的等價(jià)關(guān)系，因?yàn)? ?x∈A ， 有 x≡x(mod 3) ?x,y∈A ， 若 x≡y(mod 3) ， 則有 y≡x(mod 3) ?x,y,z∈A ， 若 x≡y(mod 3) ， y≡z(mod 3) ， 則有 x≡z(mod 3) 等價(jià)類 定義 設(shè) R為非空集合 A上的等價(jià)關(guān)系， ?x∈A ， 令 [x]R={y|y∈A∧xRy} 稱 [x]R為 x關(guān)于 R的 等價(jià)類 ，簡稱為 x的等價(jià)類，簡記為 [x]或 x 。 ?x的等價(jià)類是 A中所有與 x等價(jià)的元素構(gòu)成的集合。 ?上例中的等價(jià)類是： [1]＝ [4]＝ [7]＝ {1,4,7} [2]＝ [5]＝ [8]＝ {2,5,8} [3]＝ [6]＝ {3,6} 整數(shù)集合 Z上的模 n等價(jià)關(guān)系 設(shè) x是任意整數(shù)， n為給定的正整數(shù)，則存在唯一的整數(shù) q和 r， 使得 x＝ qn+r 其中 0? r?n 1， 稱 r為 x除以 n的余數(shù) 。 例如 n＝ 3， 那么－ 8除以 3的余數(shù)為 1，因?yàn)? 8＝ 3 3+1 對(duì)于任意的整數(shù) x和 y， 定義模 n相等關(guān)系～ x～ y ? x≡y(mod n) 不難驗(yàn)證它是整數(shù)集合 Z上的等價(jià)關(guān)系。 將 Z中的所有整數(shù)根據(jù)它們除以 n的余數(shù)分類如下： 0的數(shù)，其形式為 nz， z∈Z 余數(shù)為 1的數(shù)，其形式為 nz+1， z∈Z … 余數(shù)是 n1的數(shù)，其形式為 nz+n1， z∈Z 以上構(gòu)成了 n個(gè)等價(jià)類，使用等價(jià)類的符號(hào)可記為 [i]＝ {nz+i|z∈Z} ， i=0， 1， … ， n1 等價(jià)類的性質(zhì) 定理 設(shè) R是非空集合 A上的等價(jià)關(guān)系，則 1） ?x∈A ， [x]是 A的非空子集。 2） ?x,y∈A ， 如果 xRy， 則 [x]＝ [y]。 3） ?
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