【正文】 ? 001 0 1 0 2 2 2 22 2 20 0 02 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0( ) ( )11( ) ( ) ( )2 2 ( ) ( )[ ( ) ] 2[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]a j a jX X Xj j a aaa ja a a a??? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 指數(shù)衰減信號 x(t) f X(f) T f0 f0 被截斷的余弦函數(shù)頻譜 17 設(shè)有一時 間函數(shù) f(t) 及其頻 譜如圖 127 所示。現(xiàn) 乘以余 弦型振蕩00cos ( )mω t ω ω? 。在這個關(guān)系中，函數(shù) f(t)叫做調(diào)制信號，余弦 振蕩 0cosωt 叫做載波。試求調(diào)幅信號 0( )cosft ωt 的傅里葉變換，示意畫出調(diào)幅信號及其頻譜。又問：若 0 mω ω? 時將會出現(xiàn)什么情況？ 解： 0( ) ( ) cos( )x t f t t? ? ( ) [ ( )]F f t?? F ? ?000 1c os( ) 2 j t j tt e e ?????? 所以0011( ) ( ) ( )22j t j tx t f t e f t e ????? 根據(jù)頻移特性和疊加性得： 0011( ) ( ) ( )22X f F F? ? ? ?? ? ? ? 可見調(diào)幅信號的頻譜等于將調(diào)制信號的頻譜一分為二，各向左右移動載頻 ω 0，同時譜線高度減小一半。 圖 127 題 17 圖 ω F(ω) 0 f(t) 0 t ωm ωm 0 0 X(ω) π π φ(ω) ω ω 指數(shù)衰減信號的頻譜圖 若 0 mω ω? 將發(fā)生混疊。 18 求正弦信號 0( ) sin( )x t x ωt φ??的均值 xμ 、均方值 2xψ 和概率密度函數(shù) p(x)。 解答： (1) 0000 011l im ( ) d sin ( ) d 0TTx Tμ x t t x ω t φ tTT??? ? ? ???，式中0 2πT ω?— 正弦信號周期 (2)00 222 2 2 2 0000 0 0001 1 1 c o s 2 ( )l im ( ) d s in ( ) d d22T T TxTxx ω t φψ x t t x ω t φ ttT T T????? ? ? ? ?? ? ? (3)在一個周期內(nèi) 0 1 2Δ Δ 2ΔxT t t t? ? ? 0002 Δ[ ( ) Δ ] l im xxTTT tP x x t x x T T T??? ? ? ? ? ? 22Δ 0 Δ 0 00 0[ ( ) Δ ]2 Δ 2 d 1( ) l im l imΔ Δ dxxP x x t x x t tpx x T x T x π xx??? ? ?? ? ? ? ? x(t) 正弦信號 x x+Δx Δt Δt t f X(f) ω0 ω0 矩形調(diào)幅信號頻譜 第二章 測試裝置的基本特性 21 進(jìn)行某動態(tài)壓力測量時，所采用的壓電式力傳感器的靈敏度為 ，將它與增益為 ，而電荷放大器的輸出接到一臺筆式記錄儀上，記錄儀的靈敏度為 20mm/V。試計算這個測量系統(tǒng)的總靈敏度。當(dāng)壓力變化為 時，記錄筆在記錄紙上的偏移量是多少？ 解：若不考慮負(fù)載效應(yīng)，則各裝置串聯(lián)后總的靈敏度等于各裝置靈敏度相乘，即 S=(nC/MPa)?(V/nC)?20(mm/V)=。 偏 移量： y=S?=?=。 22 用一個時間常數(shù)為 的一階裝置去測量周期分別為 1s、 2s 和 5s 的正弦信號，問穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值誤差將是多少？ 解：設(shè)一階系統(tǒng) 1()1Hs s?? ?， 1()1H j? ??? ? 2 211( ) ( )21 ( ) 1 ( )AHT?? ????? ? ???， T 是輸入的正弦信號的周期 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相對幅值誤差 ? ? 1 100%A??? ? ?，將已知周期代入得 5 8 .6 % 1s3 2 .7 % 2s8 .5 % 5sTTT?????????? 23 求周期信號 x(t)=+(100t ? 45?) 通 過 傳 遞 函 數(shù) 為H(s)=1/(+1)的裝置后得到的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 解： 1()1 0 5H j? ?? ?，21() 1 ( 0 .005 )A ? ?? ? ， ( ) a rc ta n ( 0 .0 0 5 )? ? ??? 該裝置是一線性定常系統(tǒng)，設(shè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 y(t)，根據(jù)線性定常系統(tǒng)的頻率保持性、比例性和疊加性得到 y(t)=y01cos(10t+?1)+y02cos(100t?45?+?2) 其中01 0121( 10 ) 0. 5 0. 49 91 ( 0. 00 5 10 )y A x? ? ? ???，1 (1 0 ) a r c t a n (0 . 0 0 5 1 0 ) 2 . 8 6??? ? ? ? ? ? ? 02 02 21( 1 0 0 ) 0 .2 0 .1 7 91 ( 0 .0 0 5 1 0 0 )y A x? ? ? ???，2 ( 1 0 0 ) a r c t a n (0 . 0 0 5 1 0 0 ) 2 6 . 5 7??? ? ? ? ? ? ? 所以穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 ( ) 0 . 4 9 9 c o s ( 1 0 2 . 8 6 ) 0 . 1 7 9 c o s ( 1 0 0 7 1 . 5 7 )y t t t? ? ? ? ? ? 24 氣象氣球攜帶一種時間常數(shù)為 15s 的一階溫度計，以 5m/s 的上升速度通過大氣層。 設(shè)溫度按每升高 30m 下降 ℃的規(guī)律而變化，氣球?qū)囟群透叨鹊臄?shù)據(jù)用無線電送回地面。在 3000m 處所記錄的溫度為 ?l℃。試問實(shí)際出現(xiàn) ?l℃的真實(shí)高度是多少？ 解：該溫度計為一階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)設(shè)為 1()15 1Hs s? ?。溫度隨高度線性變化，對溫度計來說相當(dāng)于輸入了一個斜坡信號，而這樣的一階系統(tǒng)對斜坡信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)滯后時間為時間常數(shù) ?=15s，如果不計無線電波傳送時間，則溫度計的輸出實(shí)際上是 15s 以前的溫度，所以實(shí)際出現(xiàn) ?l℃的真實(shí)高度是 Hz=HV?=30005?15=2925m 25 想用一個一階系統(tǒng)做 100Hz 正弦信號的測量，如要求限制振幅誤差在 5%以內(nèi)，那么時間常數(shù)應(yīng)取多少？若用該系統(tǒng)測量 50Hz 正弦信號，問此時的振幅誤差和相角差是多少？ 解：設(shè)該一階系統(tǒng)的頻響函數(shù)為 1()1H j? ??? ?， ?是時間常數(shù) 則 21() 1 ( )A ? ??? ? 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相對幅值誤差21( ) 1 1 0 0 % 1 1 0 0 %1 ( 2 )A f?? ??????? ? ? ? ? ???? 令 ?≤ 5%， f=100Hz，解得 ?≤ 523?s。 如果 f=50Hz，則 相對幅值誤差：2 6 2111 1 0 0 % 1 1 0 0 % 1 . 3 %1 ( 2 ) 1 ( 2 5 2 3 1 0 5 0 )f? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 相角差： 6( ) a r c t a n ( 2 ) a r c t a n ( 2 5 2 3 1 0 5 0 ) 9 . 3 3f? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 26 試說明二階裝置阻尼比 ?多采用 ~ 的原因。 解答：從不失真條件出發(fā)分析。 ?在 左右時，幅頻特性近似常數(shù)的頻率范圍最寬，而相頻特性曲線最接近直線。 27 將信號 cos?t 輸入一個傳遞函數(shù)為 H(s)=1/(?s+1)的一階裝置后，試求其包括瞬態(tài)過程在內(nèi)的輸出 y(t)的表達(dá)式。 解答：令 x(t)=cos?t，則22() sXs s ?? ?，所以 221( ) ( ) ( ) 1 sY s H s X s ss???? ?? 利用部分分式法可得到 21 1 1 1 1 1() 11 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 )Ys j s j j s js?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? 利用逆拉普拉斯變換得到 1222/22/21 1 1( ) [ ( ) ]1 ( ) 2( 1 ) 2( 1 )1 ( )1 ( ) 2 [ 1 ( ) ]1c os si n1 ( )11 ( ) c os( a r c t a n )1 ( )tj t j tt j t j t j t j ttty t Y s e e ejje e j e eet t ete???? ? ? ?????? ? ? ? ????? ? ?? ?? ???? ? ? ????????????? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ??????? ? ? ????L 28 求頻率響應(yīng)函數(shù)為 3155072 / (1 + ?)(1577536 + 1760j? ?2)的系統(tǒng)對正弦輸入 x(t)=10sin()的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的均值顯示。 解：該系統(tǒng)可以看成是一個一階線性定常系統(tǒng)和一個二階線性定常系統(tǒng)的串聯(lián)，串聯(lián)后仍然為線性定常系統(tǒng)。根據(jù)線性定常系統(tǒng)的頻率保持性可知，當(dāng)輸入為正弦信號時，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然為同頻率的正弦信 號，而正弦信號的平均值為 0，所以穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的均值顯示為 0。 29 試求傳遞函數(shù)分別為 ( + )和 41?n2/(s2 + ?ns + ?n2)的兩環(huán)節(jié)串聯(lián)后組成的系統(tǒng)的總靈敏度（不考慮負(fù)載效應(yīng)）。 解： 11 1 .5 3() 3 .5 0 .5 7 1 7 1KHs s s s? ? ?? ? ?，即靜態(tài)靈敏度 K1=3 22 22 2 2 2 241() 1 . 4 1 . 4nnn n n nKHs s s s s??? ? ? ???? ? ? ?，即靜態(tài)靈敏度 K2=41 因為兩者串聯(lián)無負(fù)載效應(yīng)，所以 總靜態(tài)靈敏度 K = K1 ? K2 = 3 ? 41 = 123 210 設(shè)某力 傳感器可作為二階振蕩系統(tǒng)處理。已知傳感器的固有頻率為 800Hz，阻尼比 ?=，問使用該傳感器作頻率為 400Hz 的正弦力測試時，其幅值比 A(?)和相角差 ?(?)各為多少？若該裝置的阻尼比改為 ?=，問 A(?)和 ?(?)又將如何變化？ 解：設(shè) 222() 2 nnnH ss?? ?? ?? ??，則 2221()12nnA ???????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???， 22( ) a r c ta n1nn????????????????，即 2221()12nnAfff????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???， 22( ) a r c ta n1nnfffff?? ????????? 將 fn = 800Hz， ? = ， f = 400Hz，代入上面的式子得到 A(400) ? ， ?(400) ? ?? 如果 ? = ，則 A(400) ? ， ?(400) ? ?? 211 對一個可視為二階系統(tǒng)的裝置輸入一單位階躍函數(shù)后，測得其響應(yīng)的第一個超調(diào)量峰值為 ,振蕩周期為 。設(shè)已知該裝置的靜態(tài)增益為 3，求該裝置的傳遞函數(shù)和該裝置在無阻尼固有頻率處的頻率響應(yīng)。 解：22011 0 . 2