【正文】 p?x?0F x ??04DptD2x ?????pp?4tpDx ??σ x σy TSINGHUA UNIVERSITY 三向應(yīng)力狀態(tài)實例 滾珠軸承中，滾珠與外圈接觸點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) σ Z σx σy 火車車輪與鋼軌的接觸點(diǎn)處于幾向應(yīng)力狀態(tài)？ TSINGHUA UNIVERSITY 已知薄壁容器的內(nèi)壓為ｐ，內(nèi)徑為 D，壁厚為ｔ，畫出下列各種受力狀態(tài)下危險點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。 F TSINGHUA UNIVERSITY F L F TSINGHUA UNIVERSITY 受內(nèi)壓作用的封閉薄壁圓筒，在通過其壁上任意一點(diǎn)的縱、橫兩個截面中： 。 A：縱、橫兩截面均不是主平面； B：橫截面是主平面、縱截面不是主平面； C：縱、橫二截面均是主平面； D：縱截面是主平面，橫截面不是主平面； TSINGHUA UNIVERSITY 167。 73 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 —— 解析法 本節(jié)主要任務(wù) 方向角與應(yīng)力分量的正負(fù)號約定 。 微元的局部平衡 。 平面應(yīng)力狀態(tài)中任意方向面上的正應(yīng)力 與切應(yīng)力 。 主應(yīng)力、主平面，最大切應(yīng)力 。 TSINGHUA UNIVERSITY 拉為正 壓為負(fù) 正應(yīng)力符號約定 方向角與應(yīng)力分量的正負(fù)號約定 x?x?x?x?TSINGHUA UNIVERSITY 使微元或其局部順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負(fù)。 切應(yīng)力符號約定 xy?39。39。 yx?yx?方向角 ?的符號約定 由 x正向 逆時針 轉(zhuǎn)到截面外法線 x‘ 正向為正； 反之為負(fù)。 y x x39。y39。? TSINGHUA UNIVERSITY x y ?x?y?yx?xy2 微元的局部平衡 TSINGHUA UNIVERSITY 截取微元體 TSINGHUA UNIVERSITY x180。 x?xy?yx?y?????x y ?x?y?yx?xy? 截取微元體 TSINGHUA UNIVERSITY ? 平衡對象 0F 39。y ??? 平衡方程 ? 參加平衡的量 —— 用 α 斜截面截取的微元局部 —— 力 0F 39。x ??微元體平衡 x180。 x?xy?yx?y?????應(yīng)力乘以其作用的面積； TSINGHUA UNIVERSITY ? ?? 0 xF???xy?y? yx x180。 dA ? ??x ? 平衡方程 ? ? ? ? cos ) cos ( dA x ? ? ? ? y dA ( sin ) sin ?0dA ? ?? ? ? ? dA ( cos ) sin xy ? ? ? ? dA ( sin ) cos yx TSINGHUA UNIVERSITY ? ?? 0 yF?xy?y? yx ｙ ? dA ? ????x ? 平衡方程 ? ? dA ? ? ? ? x dA ( cos ) sin ? ? ? ? xy dA ( cos ) cos ? ? ? ? y dA ( sin ) cos ? ? ? ? yx dA ( sin ) sin ?0TSINGHUA UNIVERSITY 平面應(yīng)力狀態(tài)中 任意方向面上 正應(yīng)力與切應(yīng)力的表達(dá)式： 3 平面應(yīng)力狀態(tài)中任意方向面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力 ???????? ? s i n2c os 222 xyyxyx ??????????? ? c os 2s i n22 xyyx ???TSINGHUA UNIVERSITY 用 斜截面截取，此截面上的應(yīng)力為 2p?? ?????????? ? 2s i n2c os22 xyyxyx ??????????? ? 2c os2s i n2 xyyx ?????x?yyx??xy????????TSINGHUA UNIVERSITY ?x?yyx??xy?????????? ?? ??yx ???? ?? ???即單元體兩個相互垂直面上 的正應(yīng)力之和是一個常數(shù)。 即又一次證明了切應(yīng)力的互等定理。 TSINGHUA UNIVERSITY 分析軸向拉伸桿件的最大剪應(yīng)力的作用面，說明低碳鋼拉伸時發(fā)生屈服的主要原因。 x39。y39。 桿件承受軸向拉伸時，其上任意一點(diǎn)均為單向應(yīng)力狀態(tài)。 平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力公式 ???????? ? s i n2c os 222 xyyxyx ??????????? ? c os 2s i n22 xyyx ???x? x?TSINGHUA UNIVERSITY ?y＝ 0， ?yx＝ 0。 ???????? ? s i n2c os 222 xyyxyx ??????????? ? c os 2s i n22 xyyx ?????? ? 2c o sx???? ? s in 22 x?x39。y39。x? x?α TSINGHUA UNIVERSITY 當(dāng) α ＝ 45186。時 ， 斜截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力 ， 其值分別為 在所有的方向面中 ， 45186。斜截面上的正應(yīng)力不是最大值 ，而 切應(yīng)力卻是最大值 。 軸向拉伸時最大切應(yīng)力發(fā)生在與軸線夾 45186。角的斜面上； ??? ? 2c o sx? ??? ? s in 22x?2x45?? ?2x45?? ?這正是低碳鋼試樣拉伸至屈服時表面出現(xiàn)滑移線的方向 。 因此，可以認(rèn)為屈服是由最大切應(yīng)力引起的。 表明： x39。y39。x? x?α TSINGHUA UNIVERSITY 分析圓軸扭轉(zhuǎn)時最大切應(yīng)力的作用面 ， 說明鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)破壞的主要原因 。 圓軸扭轉(zhuǎn)時，其上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為純剪應(yīng)力狀態(tài)。 平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力公式 ?yx?xyx39。y39。???????? ? s i n2c os 222 xyyxyx ??????????? ? c os 2s i n22 xyyx ???TSINGHUA UNIVERSITY ?x＝ ?y＝ 0 ??? ? s i n2xy????? ? c o s 2xy??yx?xyx39。y39。α 當(dāng) α ＝ 45186。或 α ＝－ 45186。時 ， 斜截面上只有正應(yīng)力沒有切應(yīng)力 。 進(jìn)行 鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)實驗時 ， 正是沿著最大拉應(yīng)力作用面 （ 即－ 45186。螺旋面 ） 斷開的 。 α ＝ 45186。時 (自 x軸逆時針方向轉(zhuǎn)過 45186。)， 拉應(yīng)力最大； α ＝－ 45186。時 (自 x軸順時針方向轉(zhuǎn)過 45186。)， 壓應(yīng)力最大 。 xytm a x45 ??? ??0O45 ?? xycma x45 ??? ????0O45 ??因此 ， 可以認(rèn)為這種脆性破壞是由最大拉應(yīng)力引起的 。 TSINGHUA UNIVERSITY 純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位 TSINGHUA UNIVERSITY 主平面、主應(yīng)力與主方向 平面應(yīng)力狀態(tài)的三個主應(yīng)力 面內(nèi)最大切應(yīng)力 過一點(diǎn)所有方向面中的最大切應(yīng)力 主應(yīng)力、主平面 ，最大切應(yīng)力 TSINGHUA UNIVERSITY yxxyτ22????＝－0t an主平面、主應(yīng)力與主方向 切應(yīng)力 ?α =0的方向面為主平面。 ???????? ? s i n2c os 222 xyyxyx ??????????? ? c os 2s i n22 xyyx ???0c os 2s i n22 xyyx ???? ?????? ?O00 90 ???TSINGHUA UNIVERSITY 上式對 α 求一次導(dǎo)數(shù)，并令其等于零； 解出的角度 角度 α與 α 0 完全重合。 求正應(yīng)力的極值面 0c os 22s i n2dd xyyx ????? ??????? ? )(yxxyτ22??? ?＝－t an主應(yīng)力是所有方向面上的正應(yīng)力的極值。 表明 ∶ 正應(yīng)力的極值面與主平面重合； 正應(yīng)力的極值就是主應(yīng)力； ???????? ? s i n2c os 222 xyyxyx ?????TSINGHUA UNIVERSITY σ??σ?對于平面應(yīng)力狀態(tài)，平行于 xy坐標(biāo)面的平面，其上既沒有正應(yīng)力，也沒有切應(yīng)力作用，這種平面也是主平面。 0σ??? ?這一主平面上的主應(yīng)力等于零。 TSINGHUA UNIVERSITY 平面應(yīng)力狀態(tài)的三個主應(yīng)力 yxxyτ22????＝－0t an039。39。39。 ??minmax??2xy2yxyx )2(2 ????? ?????????????? ? s i n2c os 222 xyyxyx ?????TSINGHUA UNIVERSITY 將三個主應(yīng)力代數(shù)值由大到小順序排列 。 321 ??? ??根據(jù)主應(yīng)力的大小與方向可以確定材料何時發(fā)生失效； 確定失效的形式； 因此，可以說主應(yīng)力是反映應(yīng)力狀態(tài)本質(zhì)的特征量。 TSINGHUA UNIVERSITY ?y?yx?xy?xxyxy坐標(biāo)系 x180。y180。坐標(biāo)系 ?x y39。 39。?y39。?y x39。 39。?x39。x39。y39。 Py? Px?ypxp主單元體 同一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以有無窮多種表達(dá)形式。 用主應(yīng)力表達(dá)的形式最簡單也是最本質(zhì)的。 用主單元體表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) TSINGHUA UNIVERSITY 由此得出另一特征角 ， 用 α 1表示 對 α 求一次導(dǎo)數(shù) ， 并令其等于零； 不同方向面上的切應(yīng)力亦隨著坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)而變化 ， 因而剪應(yīng)力亦可能存在極值 。 面內(nèi)最大剪應(yīng)力 ?????? ? c os 2s i n22 xyyx ???0s i n22c os 2dd xyyx ???? ??????? ? )(xyyxτ22??? ?＝1t anTSINGHUA UNIVERSITY 得到 ?α 的極值 上述切應(yīng)力極值僅對垂直于 xy坐標(biāo)面的方向面而言 ，因而稱為 面內(nèi)最大剪應(yīng)力 與 面內(nèi)最小 剪應(yīng)力 。 xyyxτ22??? ?＝1t an ??????? c os 2s i n22 xyyx ???2xy2yx )2( ??? ????minmax???特別指出 : 二者不一定是過一點(diǎn)的所有方向面中剪應(yīng)力的 最大 和 最小 值 。 TSINGHUA UNIVERSITY 為確定過一點(diǎn)的所有方向面上的最大切應(yīng)力 ， 可以將平面應(yīng)力狀態(tài)視為有三個主應(yīng)力 （ σ σ σ 3） 作用的應(yīng)力狀態(tài)的特殊情形 ， 即三個主應(yīng)力中有一個等于零 。 考察微元三對面上分別作用著三個主應(yīng)力（ σ 1σ 2σ 3 ? 0） 的應(yīng)力狀態(tài) 。 過一點(diǎn)所有方向面中的最大切應(yīng)力 TSINGHUA UNIVERSITY σx=σ3,σ y=σ 2， τ xy＝ 0 ? ? 22 421xyyx ????? ??????＝這就是 Ⅰ 組方向面內(nèi)的最大切應(yīng)力 。 在平行于主應(yīng)力 σ1方向的任