北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)測(cè)試題b-閱讀頁(yè)
2024-12-20 22:16本頁(yè)面
【正文】 P是 x∈ Q的必要條件 ∴ x∈ Q? x∈ P，即 Q? P ∴ { a－ 4≤ 1， a＋ 4≥ 3， ? { a≤ 5， a≥ － 1. ∴ － 1≤ a≤ 5. 19． 已知 p：－ 2＜ m＜ 0,0＜ n＜ 1； q： 關(guān)于 x 的方程 x2＋ mx＋ n＝ 0 有兩個(gè)小于 1 的正根 ． 試分析 p是 q的什么條件 ． [解析 ] 關(guān)于 x的方程 x2＋ mx＋ n＝ 0有兩個(gè)小于 1的正根，設(shè)為 x1， x2，則 0＜ x1＜ 1,0＜ x2＜ 1，有 0＜ x1＋ x2＜ 2且 0＜ x1x2＜ 1. 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系 { x1＋ x2＝－ m， x1x2＝ n， 得 { 0＜－ m＜ 2， ＜ n＜ 1， 即－ 2＜ m＜ 0,0＜ n＜ 1，故有 q? ，取 m＝－ 13， n＝ 12， x2－ 13x＋ 12＝ 0， Δ＝ 19－ 4 12＜ 0，方程 x2＋ mx＋ n＝ 0無(wú)實(shí)根，所以 p? /q. 綜上所述， p是 q的必要不充分條件 ． 20． 設(shè) p： 實(shí)數(shù) x 滿足 x2－ 4ax＋ 3a2＜ 0， 其中 a＜ 0， q： 實(shí)數(shù) x 滿足 x2－ x－ 6≤ 0， 或x2＋ 2x－ 8＞ 0， 且 172。q的必要非充分條件 ， 求 a的取值范圍 ． [解析 ] 設(shè) A＝ {x|p}＝ {x|x2－ 4ax＋ 3a2＜ 0(a＜ 0)}＝ {x|3a＜ x＜ a(a＜ 0)} B＝ {x|q}＝ {x|x2－ x－ 6≤ 0或 x2＋ 2x－ 8＞ 0} ＝ {x|x2－ x－ 6≤ 0}∪ {x|x2＋ 2x－ 8＞ 0} ＝ {x|－ 2≤ x≤ 3}∪ {x|x＜－ 4或 x＞ 2} ＝ {x|x＜－ 4或 x≥ － 2}． ∵ 172。q的必要非充分條件， ∴ 172。p，且 172。q. 則 {x|172。p}，而 {x|172。p} ＝ CRA＝ {x|x≤ 3a，或 x≥ a(a＜ 0)}， ∴ {x|－ 4≤ x＜ － 2} {x|x≤ 3a，或 x≥ a(a＜ 0)}，則 { 3a≥ － a＜ 0 或 { a≤ － a＜ 0 ，即－ 23≤ a＜ 0或 a≤ － 4. 21． 已知 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 的圖像過(guò)點(diǎn) (－ 1,0)， 是否存在常數(shù) a、 b、 c 使不等式x≤ f(x)≤ 1＋ x22 對(duì)一切實(shí)數(shù) x均成立 ？ [解析 ] 因?yàn)?f(x)的圖像過(guò)點(diǎn) (－ 1,0)，所以 a－ b＋ c＝ 0. 因?yàn)?x≤ f(x)≤ 1＋ x22 對(duì)一切 x∈ R均成立 ． 所以當(dāng) x＝ 1時(shí)，也成立 ． 即 1≤ a＋ b＋ c≤ 1. 故有 a＋ b＋ c＝ 1， 所以 b＝ 12， c＝ 12－ a， 所以 f(x)＝ ax2＋ 12x＋ 12－ A． 故應(yīng)有 x≤ ax2＋ 12x＋ 12－ a≤ 1＋ x22 對(duì)一切 x∈ R 成立，即 ????? ax2－ 12x＋ 12－ a≥ 0?1－ 2a?x2－ x＋ 2a≥ 0，恒成立 ?????? Δ1≤ 0，Δ2≤ 0，a0，1－ 2a0? ????? 14－ 4a?? ??12－ a ≤ 0，1－ 8a?1－ 2a?≤ 0，a0，1－ 2a0 所以 a＝ 14，所以 c＝ 12－ a＝ 14. 所以存在一組常數(shù)： a＝ 14， b＝ 12， c＝ 14，使不等式 x≤ f(x)≤ 1＋ x22 對(duì)一切實(shí)數(shù) x均成立 ．
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