【正文】 馬赫數(shù)的變化按下列規(guī)律確定： * x tg???? （ a） 2 3 4 50 1 2 3 4 5a a M a a M a a M a a M a a M a? ? ? ? ? ? ? （ b） 式中， 與馬赫數(shù)的關(guān)系為 ?0 1 2243 4 57 . 1 6 6 6 5 。 2 . 2 0 9 7 1 80 . 3 3 8 5 4 1 1 。 6 . 0 7 6 3 7 5 1 1 0a a aa a a??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?式中， 式（ a）和（ b）適合于設(shè)計(jì)馬赫數(shù)直到 10的超聲速及高超聲速噴管。 單位時(shí)間內(nèi)通過附面層厚度 的流體實(shí)際具有的動量為 ， 此部分流體若以附面層外邊界上理想流體速度 運(yùn)動時(shí) ， 所具有的動量為 ， 因此其動量損失應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)以速度 、 密度 的流體流過一層厚度為 ?20 xV dy? ??0V 00 xV V dy? ??0V 0? 的流體所具有的動量 ， 即 **?2 * * 20 0 000XxV V V d y V d y??? ? ? ????? 稱為動量損失厚度，即 **?**0 0 0 0( 1 )xxVV dyVV? ??????（ ） 對不可壓縮流體 ， ， 則 0???**0 00(1 )xxVV dyVV?? ??? （ ） 根據(jù)雷諾實(shí)驗(yàn) ， 粘性流體存在著兩種流態(tài) ， 即層流和湍流 。 實(shí)驗(yàn)觀察表明 ， 流體從物體前緣開始 ， 先形成層流附面層 。 圖 過平板時(shí)的流動圖形 ， 圖中 OA稱為層流附面層 ， AB稱為轉(zhuǎn) 紊流附面層轉(zhuǎn)捩段層流附面層BAov ∞圖 平板上的附面層 捩段，轉(zhuǎn)捩起點(diǎn) A距平板前緣的距離用 表示，對應(yīng)于轉(zhuǎn)捩點(diǎn)A的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)，即 ,通常轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)的 TXTecrVXR???大小要由實(shí)驗(yàn)確定。由 可以 565 1 0 ~ 3 1 0ecrR ? ? ?Re Re cr? Recr得到轉(zhuǎn)捩點(diǎn)的位置： Re crTX V?? ?? （ ） 由上式可見 ， 轉(zhuǎn)捩點(diǎn)的位置與流體的粘性系數(shù) 、 密度 、 來流速度和臨界雷諾數(shù)有關(guān) 。 （ b） 附面層概念的提出 ， 可以將粘性流動的求解簡化為求解附面層內(nèi)的流動和附面層外邊界的理想流動 。 由于附面層內(nèi)的流動為粘性流動，因此應(yīng)符合 方程，所以可以根據(jù)附面層的特點(diǎn)，將 方程簡化得到附面層微分方程。如果忽略壁面曲率和質(zhì)量力的影響，則連續(xù)方程和 可表示為 NS?NS?xyNS?0yx VVxy?? ????22221 ()x x x x xxyV V V V VpVVt x y x x y??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?22221 ()y y y y yxyV V V V VpVVt x y y x y??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?（ ） 為了簡化式 （ ） ， 對它進(jìn)行無量綱化 。 將式 （ ） 代入基本方程式 （ ） 可得 0Re VL???222211 ()Rex x x x xxyV V V V VpVVt x y x xy?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??0yx VVxy?? ????222 2 21 1 1( ) ( ) ( )Re Re Rey y y y yxyV V V V VpVVt x y y x y? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?（ ） 上式中帶 “ ” 的物理量的數(shù)量級均為 1， 因此各項(xiàng)的量級取決于相應(yīng)的系數(shù)的量級 。方程變?yōu)? 0yx VVxy?? ????22x x x xxyV V V VpVVt x y x y? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?（ ） 0py? ??利用式 （ ） ， 可將上式還原為有量綱形式的方程 ， 即 0yx VVxy?? ????221x x x xxyV V V VpVVt x y x y??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?0py? ??（ ） 上式即為平面壁的二維不可壓層流附面層方程 。 即附面層內(nèi)橫向截面上的壓強(qiáng)近似等于附面層外邊界處的主流壓強(qiáng) 。 因此 ， 平面壁的二維不可壓附面層方程為 0p0yx VVxy?? ????2021x x x xxyV V V p VVVt x y x y??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ ） （ ） 對于曲面物體 ， 采用沿曲面壁方向作為 坐標(biāo)軸 ， 軸與 坐標(biāo)軸垂直并從壁面算起 。 求解附面層方程（ ）或（ ），必須根據(jù)具體問題提出相應(yīng)的邊界條件和初始條件。 初始條件： 時(shí)， ， 0tt? 0( , , )xxV V x y t? 0( , , )yyV V x y t?邊界條件： 1） 在物面上，滿足物滑移條件，即 時(shí)， ； 0y? 0 , 0xyVV?? 2) 在附面層外邊界，滿足外邊界條件，即 時(shí)， ， 其中 附面層外邊界上的理想流體的速度，可以通過附面層外的無粘流動求出。39。 39。39。 39。 39。 39。 求解附面層問題的另一種方法是附面層積分法 。 在求解時(shí) ， 近似的給定一個(gè)只依賴于 x坐標(biāo)的單參數(shù)速度分布來代替附面層內(nèi)真實(shí)的速度分布 。 附面層的動量積分方程 附面層積分方程可以由兩種方法導(dǎo)出 ， 一種是將附面層微分方程在整個(gè)附面層厚度 的區(qū)間上積分 ， 另一種是在附面層內(nèi)取一微元段 ， 運(yùn)用基本方程 。 下面我們采用后一種推導(dǎo)方法來得出附面層動量積分方程 。設(shè)流動為定常的平面不可壓縮流動。垂直于紙面控制體的寬度取單位寬度。 由于 dx是無限小量 ， 所以將 AC邊界上的流體速度都看作是 ，實(shí)際上 ， 是 的函數(shù) ， 由壁面形狀決定 。 因?yàn)樵诟矫鎸觾?nèi) ，所以在 AB， CD面上的壓強(qiáng)沿 y方向沒有變化 ， 于是沿 x方向作用在控制體上的力有如下幾項(xiàng)： /0py? ? ?在上表中 ， AC面上的壓強(qiáng)取 A點(diǎn)和 C點(diǎn)的壓強(qiáng)的平均值 。 符號 表示壁面上的摩擦應(yīng)力 。 作用在控制體上沿 x方向上的合力經(jīng)過化簡整理后得 ? ?[]2 wwp p d x d pp p d x p d x d x d xx x d x x? ?? ? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?根據(jù)動量定理，作用在控制體上所有作用力的合力等于單位時(shí)間流出和流入控制體動量之差，即： ? ? ? ?2 000w x xp d x V d y d x V V d y d xx x x??? ? ? ?? ? ???? ? ? ??? ? ? ??? ??即： （ ） ? ? ? ?2000w x xp V d y V V d yx x x??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ???式 （ ） 稱 附面層積分方程 。 對于后一種情況 ， 可直接將附面層連續(xù)和動量方程相加后沿附面層積分得到 ， 積分時(shí)注意到在壁面上及附面層外邊界處湍流應(yīng)力等于零 。 根據(jù)柏努利方程 20012pV??? 常 數(shù)對 x求導(dǎo)后得 00dVVdx?? ? ?0dpdpd x d x注意到 ，則（ ）式右側(cè)第一項(xiàng)寫為 0 dy?? ? ?0 0 00 0 000d V d V d Vdp V V d y V d yd x d x d x d x??? ??? ? ? ??? a) 式（ ）左側(cè)第二項(xiàng)，按兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?000 0 00 0 0 0 0 x x x x xd V d Vd d dV V d y V V d y V d y V V d y V d yd x d x d x d x d x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? b) 將 a)、 b)兩式帶入式（ ）可得 ? ? ? ?0 0000 wx x xdV dV V d y V V V d yd x d x?? ??? ? ? ???根據(jù) 和 的定義式，上式可進(jìn)一步化成 *? **?* 2 * *000 () wdV dVVd x d x??????展開合并同類項(xiàng)，最后得到 ? ?** * * *0 2001 2 wdVdd x V d x V?? ???? ? ?（ ） 式（ ）即為附面層動量積分方程。 在求解式 （ ）時(shí) ， 通常補(bǔ)充附面層內(nèi)速度分布 和壁面摩擦切應(yīng)力 的表達(dá)式 。 雖然所選定的速度分布不能精確地表示附面層內(nèi)的流動 ， 但是可以精確地滿足邊界條件 。 在附面層中間部分雖然可能有一定的誤差 ， 但是在應(yīng)用積分法時(shí) ， 由于總體上滿足動量積分方程 ， 因此可以得到滿足工程需要的結(jié)果 。 有一直勻流速度為 ， 密度為 流過如圖 。 V? ? 根據(jù)假設(shè) ， 可以認(rèn)為平板不影響附面層外的流動 ， 仍然可以將附面層以外的流動看成是與平板平行的理想流動 。 將其代入動量積分關(guān)系式 （ ） ， 則方程簡化為 0VV?? 0V ? 常 數(shù)**2wddx V??? ??（ ） 為了求解式 （ ） ， 需要補(bǔ)充兩個(gè)關(guān)系式 ， 即附面層內(nèi)的速度分布和壁面上的摩擦應(yīng)力關(guān)系式 。 式中的冪次方 可根據(jù)具體要求選取 。這些邊界條件是： 1）在物面上， ，代入上式，得 0 , 0xyV?? 0 0a ? 2） 在附面層外邊界上， ，可得 , xy V V? ??? 212V a a??? ?? 3）在附面層外邊界上， ，可得 ,0xVyy????? 1220aa???由以上各式 ， 可以確定 。 由速度分布可求得動量損失厚度 22**0021 2 1 215xxVV y y y yd y d yVV????? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?????于是， （ ） ** 215ddd x d x???將（ ）、（ ）代入式（ ）得 222215Vdd x V V???? ? ? ??????整理上式后得 0015xd dxV? ????? ????積分為 2 152 xV??? ??故得附面層厚度隨 的變化關(guān)系為 x5 .4 7 7 xV???? （ ） 或 （ ） 5 .4 7 7Re xx? ?式中 ， 是距平板前緣為 x處的當(dāng)?shù)乩字Z數(shù) 。 R e /x Vx ???12x（ ） 將 代回式 （ ） ， 經(jīng)化簡后可得平板表面上的切應(yīng)力分布為 ()x?302 0 .3 6 5xwyV VVyx??? ? ????????? ? ??????當(dāng)?shù)啬Σ磷枇ο禂?shù) 定義為 ，將式（ ）代入可得層流附面層的 ，即 fC 21/ 2fwCV?? ??fCRef xC ?（ ） 作用在寬度為 b的平板上表面的摩擦阻力 ， 積分式 （ ） ， 即 320 0 . 7 3lfwX b d x V b l? ? ?????（ ） 整個(gè)平板的上表面的摩擦阻力系數(shù)定義為 21 .4 61 Re2fDlXCV b l? ??? （ ） 式中 ， R e /l Vl ??? 一般情況 ， 如果繞物體的附面層不發(fā)生嚴(yán)重的脫體現(xiàn)象 ， 曲壁附面層的摩擦阻力與平板情形相差不大 ， 因此可以簡化計(jì)