[理學(xué)]6-8二重積分-閱讀頁
2025-02-03 14:35本頁面
【正文】 yy .364? (1)以連續(xù)曲面 為頂，有界閉區(qū)域D為底的曲頂柱體體積為 0),( ?? yxfz (2)由連續(xù)曲面 所圍成的幾何體的體積為 Dyxyxgzyxfz ??? ),(),(),(.d),(???DyxfV ?.d)],(),([?? ??DyxgyxfV ?z x y D),( yxfz ? ),( yxfz ?z x y ),( yxgz ?D 例 用二重積分計算由平面 和三個坐標平面所圍成的四面體的體積 . 解 ?? ??Dyx σd)326(???????? ??? 30)31(202 d23)26( xyyxx? ???????? ?????? ???????? ?? 3022d3163112 xxx.6?x z y 由二重積分幾何意義知所求四面體體積為 ?? ? ??? )31(2030 d)326(dxyyxx? ?????? ?? 302d316 xx632 ?? yxy x 2 3 DD2x+3y+z=6 例 求橢圓拋物面 與平面 所圍成的立體體積 . 224 yxz ??? 0?z 考慮到圖形的對稱性 ， 20,40: 2 ????? xxyDyxyxVDdd)4(4 22?? ???yyxx x d)4(d4 20 40 222? ? ? ???xyyxy x d3144 2402032 ?? ?????? ???xx d)4(32 20232? ??x y z 解 只需計算第一卦限部分即可， 畫出曲面所圍立體的圖形 , .8?? x y 2 2 Ｏ 24 xy ??,20,20: πθ ???? rDyxyxVDdd)4(4 22?? ???在極坐標系下計算 θdd)4(4 2 rrrD?? ???? ?? 20 22/0 )4(4 r d rrdπ θ.84242/02042 ??? ????????? ?? ? drrx y 2 2 Ｏ 2?r顯然，該題利用 極坐標系 來計算要簡便。 4（ 2） 將積分區(qū)域看作 則積分限為 解 .,)( 222 圍成是由其中 xyxyDdyxD????? ??? ?Ddyx ?)( 2 ?? ??xx dyyxdx 2 )(210xxyyxdx 2)21( 2210?? ?? ??? 10 425)2521( dxxxx105227)214172( xxx ???.14033?,02 ?? xy ,02 ?? xy ,型X,10 2 ?? x ,2 xyx ??Rxyx ?? 227（ 2） 可變?yōu)? 則積分區(qū)域 D是以 如圖所示， （ 答案有誤 ）； 解 ( ,0)2R2R為圓心，以 為半徑的圓， ,)2()2( 222 RyRx ???).34(33?? ?Rx y o 于是 σdyxRD)222?? ?? ? ?? ??? 2 2c os022ππθR r drrRθdθRr c o s?? ?? ???? 22c o s02222 )(21 ππθR rRdrRθdθRrRθdππc o s02322 )(3221 22???? ??.,) 22222 圍成是由圓其中計算 RxyxDdyxRD?????? ??? ??? 22)1s i n(31 33?? ?? dR
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