【正文】 22)2l n (20)2l n (02????????????????????且＞＞＞＞xxxnxxxx 17. ??? xxx 2sinlim 1/2 xxxf 3)( 3 ?? ，則 )3(f? = 27+27ln3 3ln3)( 32 xxxf ??? 3ln2727)3( ???? f 19.? 2dex = ex2+c xyxyy s in4)( 7)4(3 ???? 的階數(shù)為 四階 二、單項選擇題 ⒈ 設(shè)函數(shù) 2 ee xxy ?? ? ，則該函數(shù)是 （ 偶函數(shù) ） ． ∵所以是偶函數(shù))(2 ee)( xfxf xx ???? ?⒉ 函數(shù)23 3)( 2 ?? ?? xx xxf 的間斷點是 （ 2,1 ?? xx ） 分母無意義的點是間斷點∴ 2,1,0232 ????? xxxx ⒊ 下列結(jié)論中 （ )(xf 在 0xx? 處不連續(xù)，則一定在 0x處不可導(dǎo) ）正確． 可導(dǎo)必連續(xù)，伹連續(xù)并一定可導(dǎo)；極值點可能在駐點上，也可能在使導(dǎo)數(shù)無意義的點上 ⒋ 如果等式 ? ??? cxxf xx 11 ede)( ，則 ?)(xf（ 21x ） )()1()()(,1u)(),()(,)()(111??????????????????????????xexeeeyxexfxFCxFdxxfuuxux ，令? 22112121)()()(xxfxeexfxexexxxu??????????? ⒌ 下列微分方程中， （ xyxyy sin??? ） 是線性微分方程． 2ee xxy ??? ，則該函數(shù)是 （奇函數(shù)） ． ?k （ 2 ） 時，函數(shù)??? ???? 0, 0,2)( 2 xk xxxf 在0?x 處連續(xù) . 上單調(diào)減少的是 （ x?3 ） ． （ 3ln3dd3 xx x? ） （ yxyxy ??dd） 1)1( 2 ??? xxf ，則 ?)(xf （ )2( ?xx ） f (x)在點 x0處可導(dǎo)，則 ( Axfx x ?? )(lim 0，但 )( 0xfA? )是錯誤的． 2)1( ?? xy 在區(qū)間 )2,2(? 是 （先減后增） 14. ???? xxfx d)( ( cxfxfx ??? )()( ） （ yxyxy ??dd ） （ )1ln( 2xx ?? ） ?k （ 2 ） 時，函數(shù)??? ???? 0, 0,1e)( xk xxf x 在0?x 處連續(xù) . 12 ??xy 在區(qū)間 )2,2(? 是 （先單調(diào)下降再單調(diào)上升） 2x的積分曲線族中，通過點（ 1, 4）的曲線為 （ y = x2 + 3） ． 1)0(, ??? yyy 的特解為 （ xy e? ） ． 三、計算題 ⒈計算極限 4 23lim222 ???? xxxx． 解 :41)2( )1(l i m2 )2(1(l i m 22 ????? ?? ?? xxx xx xx ） ⒉設(shè) xxy x ?? ?2e ，求 yd . 解： xexe xx 23221x2 ???? ? ey x21 ?? ey u?1 ， u= 2x )(11 ey u? ′ (2x)′ =eu e2x ∴ y′ = 2e2x+ x2123 ∴ dy=(2 2du= ? udusin2 =2(cos)+c = 2cos c?x ⒋計算定積分 xx xde210? u=x， v′ =ex,v= ex ∴ ?10uv′ dx=uv xvdu 1010| ?? 1)( 01010101010|||??????????? ??eeeeeeeexdxxdxxxxxxx ∴原式 =2 9152lim 223 ???? x xxx 34353lim)3)(3( )3)(5(3lim ??????? ??? xxxxx xxx xxxy cosln?? ，求 yd 解： xxxy xx c oslnc osln 2321 ????? y1=lncosx y1=lnu1,u=cosx ∴xxxuxuyc o ss in)s in(1)(c o s)(ln11????????? y1=xxx cossin23 21 ? ∴ dy=( xxx cossin23 21 ? )dx xx d)21( 9? ? 解： dxx? ? )21( 9 令 u=12x , u′ = 2 ∴ dudxxdu 212 ????? ccduduxuuu???????????????20212121)21()21( 101099? xx xde10? ? 解： u=x, ee xx vv ? ?? ??? ， )()(101101010 |xddxxdxxeeeeexxxx????????????????? = 1)11(1|101 ????? ?? eeee x 45 86lim224 ????? xxxxx 3212l im)4)(1( )4)(2(l im 44 ?????? ?? ?? xxxx xx xx xy x 3sin2 ?? ，求 yd y1=sin3x y1=sinu , u=3x , xy 3c os3x3s inu1 ?????? ）（）（ ∴ y′ =2xln2+3cos3x ∴ dy=(2xln2+3cos3x)dx xxx dcos? ? xdxxcos u=x , v′ =cosx , v=sinx ?? ???????cxxxx d xxxx d xx)c o s(s i ns i ns i nc o s xx xdln51e1? ? ?????????eeeedxxxdxxxxdxxxdxx11e111ln51ln5lnln1|令 u=lnx, u′ =x1 , du=x1 dx , 1? x? e 0? lnx? 1 ∴ 2121ln |102101 ??? ?? uududxx xe ∴原式 =1+5 此時的費用為 S（ 2） 10+40=160元 欲用圍墻圍成面積為 216平方米的一塊矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬各選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 設(shè)長方形一邊長為 x，∵ S=216 ∴另一邊長為 216/x ∴總材料 y=2x+3 (x1)′ =2+648 ) =2 x2648 y′ =0得 2 = x2648 ∴ x2=324 ∴ x=18 ∴一邊長為 18，一邊長為 12時，用料最省 . 欲做一個底為正方形，容積為 32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最?。? 設(shè)底邊長為 a ∴底面積為 a2 a2h=v=32 ∴ h=a232 ∴表面積為 a2+4ah= a2+4a ( a1 )=2aa2128 y′ =0 得 2a=a2128 ∴ a3=64 ∴ a=4 ∴底面邊長為 4， h=1632 =2 設(shè)矩形的周長為 120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。 解：設(shè)矩形一邊長為 x ，另一邊為 60x 以 AD為軸轉(zhuǎn)一周得圓柱， 底面半徑 x，高 60x ∴ V= xxx x 322 60)60( ??? ???? xx xxv 22 31 2 03602 ???? ?????? 0??v 得： 403120 2 ??? xx x?? ∴矩形一邊長為 40 ，另一邊長為 20時， Vmax 三、計算題 ⒈計算極限 4 23lim 222 ???? xxxx ． 解 : 41)2( )1(l i m2 )2(1(l i m22 ????? ???? xxx xxxx） ⒉設(shè) xxy x ?? ?2e ，求 yd . 解 ： xexe xx 23221x2 ???? ? ey x21 ?? ey u?1 ， u= 2x )(11 ey u? ′（ 2） = 2 e2x+ x2123)dx ⒊計算不定積分 xxxdsin? 解：令 u= x21x? ,u′ = xx 2121 21 ?? ∴ dxxdu 21? ∴ ? usin 21 =27 623lim 222 ????? xxxxx 解： 5131lim)2)(3x( )1)(2(lim22 ?????? ???? xxxxxxx xxy 12e? ，求 y? 解： ex xy12 ?? ( ey x11? ) , ey u?1 , xu 1? , xexeey xuu x 21211 )1()1()( ?????????) eexexeexexx1x12x12x1x12x122)(2)()(y??????????????xx xx d)12( 10? ? 解： dxx? ? )12( 10 u=2x1 ,d? =2 du=2dx ∴cdududxuuux?????????? ?1121212111101010)12( cx ?? ? ）（ 12 1121 ?10 de xx x 解： dxx ex? ?10 u=x , exv?? , exv? 1)1(101010 |???? ??? ?? ee dxxdxx eeexxx 四、應(yīng)用題（本題 16分） 用鋼板焊接一個容積為 4 3m 的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米 10元，焊接費 40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費最低？最低總費是多少？ 解：設(shè)水箱的底邊長為 x，高為 h,表面積為 s，且有h=x24 所以 S(x)=x2+4xh=x2+x16? xxS 2162 ??? 令 S? （ x） =0，得 x=2 因為本問題存在最小值，且函數(shù)的駐點唯一，所以x=2， h=1時水箱的表面積最小。 216/x=2x + x648 y′ =2+648 (1 a232= a2+ a2128 y= a2+ a128 , y′ =2a+128試求矩形的邊長為多少時，才能使圓柱體的體積最大。 答案： `x2 （ c為任意常數(shù)）或 2ln 2x x x c?? 2． 若 )(xf 的一個原函數(shù)為 xx 2e?? ，則 ?? )(xf 。試求矩形的邊長為多少時，才能使圓柱體的體積最大。答案： 32 ??? xy 或322 1633yx?? 4．若 ????? dxxx )235(11 3 ． 答案： 2 或 4 5．由定積分的幾何意義知， xxaa d0 22? ?= 。 ? ? ? ?1 , 2 si n 2P x Q x x xx? ? ? ? ?? ?? ?? ?11l n l n 2 si n 2 2 si n 21 2 si n 2 c os 2P x d x P x d xd x d xxxxxy e Q x e d x ce x x e d x ce x x e d x cx x x d x cxx x c???????? ? ???????????????????????? ? ?????? ? ?????通 解 即通解為 ? ?cos 2y x x c? ? ?. 四、證明題（本題 4 分） 證明等式 ?? ???? aa a xxfxfxxf 0 )]()([)(