曲線擬合與回歸分析-閱讀頁
2025-06-01 19:21本頁面
【正文】 y.^5).*exp(x.^2y.^2), exp((x+1).^2y.^2)]。 surf(xx, yy, zz)。 ? 無法保證能夠找到最佳解。 ? 各種相關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)並不明顯。 ? 總平方誤差為 非線性迴歸 ),( ???xfy ???x?? ?21),()( ???? miii xfyE ?????? 用一般最佳化（ Optimization）的方法，來找出 的最小值，例如 ? 梯度下降法（ Gradient Descent） ? Simplex下坡式搜尋（ Simplex Downhill search）：此方法即為 fminsearch指令所採用的方法 ? 假設(shè)所用的數(shù)學(xué)模型為 ? 其中 、 為線性參數(shù)，但 λ λ 2 為非線性參數(shù) ? 總平方誤差可表示： ? 欲找出使 為最小的 、 、 λ 1及 λ 2，需將 E 寫成一函式，並由其它最佳化的方法來求出此函式的最小值。 使用 fminsearch的範(fàn)例（ 1/3） function squaredError = errorMeasure1(theta, data) x = data(:,1)。 y2 = theta(1)*exp(theta(3)*x)+theta(2)*exp(theta(4)*x)。 1a 2aE? 欲求出 的最小值，我們可使用 fminsearch 指令 ? 範(fàn)例 109： 使用 fminsearch的範(fàn)例（ 2/3） Eload theta0 = [0 0 0 0]。 fprintf(39。, toc)。 y = data(:, 2)。 plot(x, y, 39。, x, y2, 39。)。Sample data39。Regression curve39。 fprintf(39。, sum((yy2).^2))。 ? fminsearch 指令是一個使用 Simplex 下坡式搜尋法（ Downhill Simplex Search）的最佳化方法，用來找出 errorMeasure1 的極小值，並傳回 theta 的最佳值?；斐煞▽⒕€性與非線性參數(shù)分開，各用不同的方法來處理。 y = data(:,2)。 a = A\y。 squaredError = sum((yy2).^2)。 tic lambda = fminsearch(errorMeasure2, lambda0, [], data)。計算時間 = %g\n39。 x = data(:, 1)。 A = [exp(lambda(1)*x) exp(lambda(2)*x)]。 y2 = A*a。ro39。b39。 legend(39。, 39。)。誤差平方和 = %d\n39。 ? 此種混成法可以產(chǎn)生較低的誤差平方和，同時所需的計算時間也比較短。 ? 假設(shè)一模型為： ? 取自然對數(shù)，可得： ? ln(a) 及 b 成為線性參數(shù)，我們即可用「最小平方法」找出其最佳值 ? 範(fàn)例 1012： 變形法 bxaey ?bxay ?? lnlnload x = data2(:, 1)。 % 已知資料點(diǎn)的 y 座標(biāo) A = [ones(size(x)) x]。 subplot(2,1,1) plot(x, log(y), 39。, x, A*theta)。x39。 ylabel(39。)。ln(y) vs. x39。 legend(39。, 39。)。 subplot(2,1,2)。o39。 xlabel(39。)。y39。 legend(39。, 39。)。y vs. x39。 fprintf(39。, sum((yy2).^2))。 ? 經(jīng)由變形法之後，此最小平方法所得到的最小總平方誤差是 ? 而不是原模型的總平方誤差： ? 通常 E’ 為最小值時， E不一定是最小值，但亦離最小值不遠(yuǎn)矣！ 變形法範(fàn)例（ 2/2） 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2321012xln(y)l n ( y ) v s . x A c t u a l v a l u eP r e d i c t e d v a l u e0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2012345xyy v s . x A c t u a l v a l u eP r e d i c t e d v a l u e? ? 21lnln39。 % 已知資料點(diǎn)的 x 座標(biāo) y = data2(:, 2)。 theta = A\log(y)。 % fminsearch 的啟始參數(shù) theta = fminsearch(errorMeasure3, theta0, [], data2)。 y = data2(:, 2)。 誤差平方和 = 變形法之改進(jìn)範(fàn)例（ 2/2） plot(x, y, 39。, x, y2)。x39。 ylabel(39。)。Actual value39。Predicted value39。 title(39。)。誤差平方和 = %d\n39。 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 200 . 511 . 522 . 533 . 544 . 55xyy v s . x A c t u a l v a l u eP r e d i c t e d v a l u e? 由上述範(fàn)例可以看出，我們可以先使用變形法，先找出大略的參數(shù)值，再用 fminsearch 來對誤差平方和進(jìn)行最小化，因此得到的誤差平方和，比只用變形法還要小。 ? 根據(jù)資料，選定數(shù)學(xué)模型及相關(guān)參數(shù)。 ? 觀察模型的誤差，以及模型對於其它測試資料（Test Data）的效能，以決定此模型的適用性。反之，若不適用，則根據(jù)模型的對於訓(xùn)練及測試資料的誤差程度，重新修正模型，並回到步驟 3。 「曲線擬合工具箱」的使用（ 2/4） ? 說明「曲線擬合工具箱」的使用 ? 首先，先載入 ，裡面包含兩個變數(shù)： ? month：每個資料點(diǎn)發(fā)生的相對月份 ? pressure：在復(fù)活島（ Easter Island）和澳洲的達(dá)爾文（ Darwin）兩地的大氣壓力差值，取其整個月的平均值。 % 呼叫「曲線擬合工具箱」 ? 此時此工具箱會將資料點(diǎn)畫出來，並將相關(guān)的操作介面顯示
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