【正文】 行程序：G=tf(1,[1,2,25])。for i=1:length(p)G_c=feedback(p(i)*G,1)。p=[1:3000:6000]。step(G_c),hold onEnd 運行結(jié)果：圖46 波形圖2 實驗結(jié)果與分析： 仿真結(jié)果表明，隨著Kp值的增大，系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)量加大，動作靈敏，系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)幅值增加。 PI控制器PI控制器的傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)傳遞函數(shù)Simulink建立的仿真模型為：圖47 PI控制的仿真建模M文件：kp=50。for i=1:length(Ti)Gc=tf(kp*[1,1/Ti(i)],[1,0])。step(G_c),hold onend axis([0,20,0,2]) axis([0,12,0,])仿真結(jié)果如圖48所示：圖48 波形圖3將圖48放大圖49 波形圖3 實驗結(jié)果與分析： Kp=50，隨著Ti值的加大，系統(tǒng)的超調(diào)量減小，系統(tǒng)響應(yīng)速度變慢。因此，積分環(huán)節(jié)的主要作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，其作用的強弱取決于Ti的大小。PI控制可以消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的誤差度。主要應(yīng)用于調(diào)節(jié)通道容量滯后較小、負荷變化不大、精度要求高的調(diào)節(jié)系統(tǒng)。 PID控制Simulink建立的仿真模型為：圖410 PID控制的仿真建模將Kp和Ti的值固定，令Kp=50，Ti=G=tf(1,[1,2,25])。Ti=。for i=1:length(Td)Gc=tf(Kp*[Ti*Td(i),Ti,1]/Ti,[1,0])。step(G_c),hold onend圖411 PID控制仿真結(jié)果 當Kp和Ti的值固定時，Td增大，響應(yīng)速度變快。該環(huán)節(jié)產(chǎn)生的控制量與信號變化速率有關(guān)，因此對于信號無變化或者變化緩慢的系統(tǒng)不起作用。當 Kp=30。Td=。Kp=30。Td=。G_c=feedback(G*Gc,1)。均不滿足已知條件。當Kp=55。Td=。Kp=55。Td=。G_c=feedback(G*Gc,1)。Ti=。 設(shè)計總結(jié)（1）P控制器只改變系統(tǒng)的增益而不影響相位，它對系統(tǒng)的影響主要反映在系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)定性上，增大比例系數(shù)可提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，從而提高系統(tǒng)的控制精度，但這會降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，甚至可能造成閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。（3）PID控制通過積分作用消除誤差，而微分控制可縮小超調(diào)量，加快反應(yīng),是綜合了PI控制與PD控制長處并去除其短處的控制。五、二階系統(tǒng)串聯(lián)校正裝置的設(shè)計與分析 設(shè)計要求設(shè)某被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)如下：Gs=Ks(s+2)選用合適的方法設(shè)計一個串聯(lián)校正裝置K(s)，使閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線超調(diào)量 _ _Kv鈮?10(1/:s) _ ( ) / __ 基本理論知識基于系統(tǒng)頻率特性的串聯(lián)校正設(shè)計方法在工程中被大量采用，主要分為相位超前、相位滯后以及相位滯后—超前校正設(shè)計等三種方法。相位滯后校正可以明顯地改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，但會使動態(tài)響應(yīng)過程變緩；而相位滯后超前校正則把兩者的特性結(jié)合起來，用于動態(tài)、靜態(tài)特性要求較高的系統(tǒng)。根軌跡法校正的基本思路為借助根軌跡曲線進行校正。若期望主導極點在原根軌跡的左側(cè)，則只要加上一對零、極點，使零點位置位于極點右側(cè)。此即相當于相位超前校正。單純增大K值將會使系統(tǒng)阻尼比變小，甚至于使閉環(huán)特征根跑到復(fù)平面S的右半平面去。從而使系統(tǒng)原根軌跡形狀基本不變，而在期望主導極點處的穩(wěn)態(tài)增益得到加大。根軌跡超前校正的主要步驟為：（1）依據(jù)要求的系統(tǒng)性能指標，求出主導極點的期望位置。（3）如果需要設(shè)計校正網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計校正網(wǎng)絡(luò)?？芍苯釉谄谕拈]環(huán)極點位置下方（或在頭兩個實極點的左側(cè)）增加一個相位超前網(wǎng)絡(luò)的實零點。確定校正網(wǎng)絡(luò)極點的位置，使期望的主導極點位于校正后的根軌跡上。（6）估計在期望的閉環(huán)主導極點處的總的系統(tǒng)開環(huán)增益。如果穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)不滿足要求，重復(fù)不述步驟。（8）設(shè)計超前網(wǎng)絡(luò)時，首先應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)期望的性能指標確定系統(tǒng)閉環(huán)主導極點的理想位置，然后通過選擇校正網(wǎng)絡(luò)的零、極點來改變根軌跡的形狀，使得理想的閉環(huán)主導極點位于校正后的根軌跡上。取k=20，在matlab下建立校正前系統(tǒng)模型： num=[20]。 Gs=tf(num,den)。在控制器C取值為常數(shù)1的情況下，繪制此單位負反饋線性系統(tǒng)的根軌跡圖、系統(tǒng)的伯德圖以及閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線： sisotool(Gs) step(G)圖51 校正前根軌跡圖、系統(tǒng)的伯德圖以及閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線圖52 校正前的階躍響應(yīng)曲線由階躍響應(yīng)曲線可以看到，此時在沒有串聯(lián)校正裝置情況下，% 20%，過渡過程時間Ts=，達不到指標要求。用拖動附加零極點的方法觀察復(fù)平面上的根軌跡，讓其根軌跡在阻尼范圍內(nèi)。重復(fù)執(zhí)行多次上述步驟后，可得出串聯(lián)校正裝置中增益、極點和零點對系統(tǒng)性能產(chǎn)生一定的影響。（2）校正裝置中極點對系統(tǒng)性能的影響：增加開環(huán)極點，使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在S平面向左移，使系統(tǒng)穩(wěn)定性變壞。經(jīng)過多次調(diào)節(jié)后，最終得到理想結(jié)果。所以超前校正裝置函數(shù)為：Gc(s)=1++ 設(shè)計總結(jié)當性能指標以時域特征量給出時，采用根軌跡法進行校正比較方便。如果原系統(tǒng)動態(tài)性能不能滿足要求，則可采取串聯(lián)超前校正裝置進行校正。由于原系統(tǒng)不滿足動態(tài)性能要求，希望主導極點自然不會在原系統(tǒng)的根軌跡上。在本實驗中，改變開環(huán)增益的大小，從而使得穩(wěn)態(tài)誤差減?。粚υ到y(tǒng)增加開環(huán)極點和開環(huán)零點，使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在S平面向左移，系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到改善，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間均減小了。圖61 倒立單擺系統(tǒng)如示意圖其中小車的質(zhì)量為M=，倒立單擺的質(zhì)量為m=，小車的摩擦系數(shù)為b=，端點與倒立單擺質(zhì)心的距離為l=，倒立單擺的慣量I=*m2，輸入量u=F是施加在小車上的外力，四個狀態(tài)變量分別是小車的坐標x，x的一階導數(shù)，倒立單擺的垂直角度Φ，Φ的一階導數(shù)。試根據(jù)誤差指標J最優(yōu)意義下最優(yōu)的規(guī)則設(shè)計線性二次型最優(yōu)控制器，利用SIMULINK搭建系統(tǒng)框圖進行仿真，滿足以下指標：輸出量x和Φ的過渡過程時間小于2s。輸出量Φ的超調(diào)量小于20176。 總體方案設(shè)計LQR最優(yōu)設(shè)計指設(shè)計出的狀態(tài)反饋控制器K要使二次型目標函數(shù)J取最小值，而K由權(quán)矩陣Q和R唯一決定，通過對Q、R的選擇，來達到最優(yōu)控制的目的，圖62所示為控制框圖。根據(jù)極值原理，可以得出最優(yōu)控制律，即：u*=R1BTPx=Kx式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿足黎卡提（Riccati）代數(shù)方程，即：PA+ATP+PB1RBP+Q=0則最優(yōu)反饋增益K為：K=Q1BTP Q、R的選擇原則由原理可知，要求出最優(yōu)控制作用u，除了求解ARE方程外，加權(quán)矩陣的選擇也是至關(guān)重要的。有以下幾種原則：（1）Q、R都應(yīng)是對稱矩陣，Q為正半定矩陣，R為正定矩陣。當控制輸入只有一個時，R成為一個標量數(shù)（一般可直接選R=1（3）Q的選擇不唯一。 LQR最優(yōu)控制器系統(tǒng)設(shè)計的Matlab實現(xiàn)方法Matlab控制系統(tǒng)工具箱提供了完整的解決線性二次型最優(yōu)控制問題的命令和算法，其中函數(shù)lqr( )可以直接求解二次型調(diào)節(jié)器問題，命令格式如下：[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)，其中K為最優(yōu)反饋增益矩陣，P為Riccati方程的唯一正定解，E為ABK的特征值。輸出的被控量分別是小車的坐標x和倒立單擺的垂直角度Φ。首先求開環(huán)系統(tǒng)的特征值，判斷其穩(wěn)定性。0 0。0 0]。 。 ]。0 0 1 0]。%求解系統(tǒng)的特征值p=eig(A)t=0::1。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖63所示，上圖是小車坐標x的階躍響應(yīng)曲線，下圖是倒立擺的垂直角度Φ的階躍響應(yīng)曲線，所以必須加入校正裝置。一般來說，Q選擇的越大，系統(tǒng)達到穩(wěn)定所需要的時間越短。編程如下：%Q和R矩陣的選擇m=1。0 0 0 0。0 0 0 0]。%求解線性二次型最優(yōu)狀態(tài)[k,p,e]=lqr(A,B,Q,R)%求解系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程Ac=[(AB*k)]。Cc=C。%輸出系統(tǒng)階躍響應(yīng)T=0::10。[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T)。y2=Y(:,2)。r:39。title(39。)。時間（sec）39。ylabel(39。)。legend(39。,39。)結(jié)果為：k = p = e = + + 此時求得的線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為：K=其響應(yīng)曲線如圖64所示：圖64 m=n=1時階躍響應(yīng)曲線從圖64可以看出，超調(diào)量基本滿足要求，但穩(wěn)定值與系統(tǒng)期望值相差太大（小車坐標的響應(yīng)曲線穩(wěn)態(tài)值為負值）；另一方面過渡時間和上升時間都很大，必須重新校正。取m，n分別為以下值進行仿真表1 不同的m，n取值m106011021050011010003000……n1060110210510500110500……圖65 m=10。n=60圖67 m=110。n=210圖69 m=500。n=110圖611 m=110。n=110圖613 m=3000。n=110圖615 m=4000。n=110通過多次修改數(shù)據(jù)后仿真，當m=4500，y=110時效果比較理想。階躍響應(yīng)如圖617所示圖617 m=4500、n=110時階躍響應(yīng)曲線分析當m=4500，n=110時，系統(tǒng)的上升時間，調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量，編程如下：%Q和R矩陣的選擇m=4500。Q=[m 0 0 0。0 0 n 0。R=[1]。Bc=B。Dc=D。階躍響應(yīng)曲線如圖618所示：圖618 階躍響應(yīng)曲線從圖618可知，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性得到了明顯改善，上升時間和調(diào)節(jié)時間以及超調(diào)量都滿足最初設(shè)計要求。它的不足之處在于，加權(quán)矩陣Q、R的值與系統(tǒng)響應(yīng)性能之間的關(guān)系是定性的，往往不能一次得到滿意的結(jié)果，需要多次調(diào)整它們的值得到滿意的系統(tǒng)響應(yīng)性能。圖619 仿真框圖子系統(tǒng)如下：圖620 子系統(tǒng)框圖運行結(jié)果如圖621所示，其中紫色線代表擺桿傾角，黃色線代表小車位移。當然，當Q和R的變化與上述兩種情況相反時，結(jié)論恰好相反。在實際的控制系統(tǒng)設(shè)計中，Q和R的選擇應(yīng)該很據(jù)上述規(guī)律并結(jié)合實際情況