高中數(shù)學(xué)132球的體積和表面積教案新人教a版必修2-在線瀏覽
2025-02-10 20:24本頁(yè)面
【正文】 體積和表面積只與半徑 R 有關(guān)，是以 R為自變量的函數(shù) .事實(shí)上，如果球的半徑為 R，那么 S=4π R2,V= 334R? . 注意：球的體積和表面積公式 的證明以后證明 . （三）應(yīng)用示例 思路 1 例 1 如圖 1所示，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證： 圖 1 （ 1）球的體積等于圓柱體積的32； （ 2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積 . 活動(dòng)： 學(xué)生思考圓柱和球的結(jié)構(gòu)特征，并展開空間想象 .教師可以使用信息技術(shù)幫助學(xué)生讀懂圖形 . 證明： （ 1）設(shè)球的半徑為 R，則圓柱的底面半徑為 R，高為 2R. 則有 V 球 = 334R?， V 圓柱 =π R22R=2 π R3，所以 V 球 =圓柱V32. （ 2）因?yàn)?S 球 =4π R2， S 圓柱側(cè) =2π R39。 ［ 33 34)25(34 x?? ?? ］ =142, ∴ x3= 3142)25( 3 ?? ?? ≈, ∴ x≈, ∴直徑 2x≈. 答：空心鋼球的內(nèi)徑約為 cm. 例 2 如圖 3 所示，表示一個(gè)用鮮花做成的花柱，它的下面是一個(gè)直徑為 1 m、高為 3 m 的 圓柱形物體，上面是一個(gè)半球形體 .如果每平方米大約需要鮮花 150朵，那么裝飾這個(gè)花柱大約需要多少朵鮮花（π取 ） ? 圖 3 活動(dòng)： 學(xué)生思考和討論如何計(jì)算鮮花的朵數(shù) .鮮花的朵數(shù)等于此幾何體的表面積（不含下底面）與 每朵鮮花占用的面積 .幾何體的表面積等于圓柱的側(cè)面積再加上半球的表面積 . 解： 圓柱形物體的側(cè)面面積 S1≈13=(m 2), 半球形物體的表面積為 S2≈2( 21 )2≈(m 2), 所以 S1+S2≈+=(m 2). 150≈1 635( 朵 ). 答：裝飾這個(gè)花柱大約需要 1 635朵鮮花 . 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查球和圓柱的組合體的應(yīng)用，以及解決實(shí)際問題的能力 . 變式訓(xùn)練 有一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐容器，內(nèi)放一個(gè)半徑為 R的內(nèi)切球，然后將容器注滿水，現(xiàn)把球從容器 中取出，水不損耗，且取出球后水面與圓錐底面平行形成一圓臺(tái)體，問容器中水的高度為多少？ 分析： 轉(zhuǎn)化為求水的體積 .畫出軸截面，充分利用軸截面中的直角三角形來解決 . 解： 作出圓錐和球的軸截面圖如圖 4所示， 圖 4 圓錐底面半徑 r= RR 330tan ?? , 圓錐母線 l=2r= R32 ，圓錐高為 h= r3 =3R， ∴ V 水 = 3343 32 ??? ?? Rhr 3R 33 3534 RR ?? ?? ， 球取出后，水形成一個(gè)圓臺(tái)，下底面半徑 r= R3 ,設(shè)上底面半徑為 r′ ， 則高 h′=(r r′)tan60 176。3(3 rR? , ∴ 39。339。3(3 22 RRrrrR ??? , ∴ 5R3= )39。 ［ 3334)250(34 x?? ??］ =145 000, 解得 x3≈11 ,x≈,2x≈45(cm). 答：鋼球是空心的，其內(nèi)徑約為 45 cm. 5.（ 2021海南高考，文 11）已知三棱錐 S— ABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為 r的球面上，球心O在 AB上， SO⊥底面 ABC， AC=
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