【正文】 除，那么這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。（6）一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除，那么這個(gè)數(shù)就能被9整除。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程因?yàn)?00能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。這就證明了（4）。（6）的正確性，我們用一個(gè)具體的數(shù)來(lái)說(shuō)明一般性的證明方法。因?yàn)?9和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，（8x99＋3x9）能被9整除。利用（4）（5）（6）還可以求出一個(gè)數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：（4‘）一個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。（6＇）一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；能被8整除的數(shù)有3728，8064； 能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。例如，判斷一個(gè)數(shù)能否被6整除，因?yàn)?＝23，2與3互質(zhì)，所以如果這個(gè)數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個(gè)數(shù)能被6整除。例3 從0，2，5，7四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)，組成能同時(shí)被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進(jìn)行排列。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。因?yàn)?2＝89，8和9是互質(zhì)數(shù)，所既能被8整除，又能被9整除。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，因?yàn)閘≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成89，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。例5 六位數(shù)是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個(gè)？分析與解：因?yàn)?＝23，且2與3互質(zhì)，所以這個(gè)整數(shù)既能被2整除又能被3整除。再由六位數(shù)能被3整除，推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除，故2B能被3整除。由于B可以取4個(gè)值，A可以取5個(gè)值，題目沒(méi)有要求A≠B，所以符合條件的六位數(shù)共有54＝20（個(gè)）。六位數(shù)此C可取1，3，5，7，9。因此首先是A的能被4整除，就要能被4整除，因能被36整除，而且所得的商最小，問(wèn)A，B，C各代盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。六位數(shù)綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程各位數(shù)字之和為12＋B＋C。因?yàn)锽，C應(yīng)盡量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應(yīng)取B＝1，C＝5。36＝4171。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？4．五位數(shù)能被12整除，求這個(gè)五位數(shù)。8．學(xué)校買了72只小足球，發(fā)票上的總價(jià)有兩個(gè)數(shù)字已經(jīng)辨認(rèn)不清，只看到是□□元，你知道每只小足球多少錢(qián)嗎？ 第5講 棄九法從第4講知道，如果一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，那么這個(gè)數(shù)能被9整除；如果一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和被9除余數(shù)是幾，那么這個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)也一定是幾。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例如，3645732這個(gè)數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732這個(gè)數(shù)不能被9整除，且被9除后余數(shù)為3。有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法呢？因?yàn)槲覀冎皇桥袛噙@個(gè)式子被9除的余數(shù)，所以凡是若干個(gè)數(shù)的和是9時(shí)，就把這些數(shù)劃掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把這些數(shù)劃掉后，最多只剩下一個(gè)3（如下圖），所以這個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)是3。一個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的九余數(shù)。例1 求多位數(shù)764582***15除以9的余數(shù)。只剩下7，6，1，5四個(gè)數(shù)，這時(shí)口算一下即可。所以這個(gè)多位數(shù)除以9余1。我們已經(jīng)熟知1＋2＋3＋?＋9＝45，而45是9的倍數(shù)，所以每一組1，2，3，?，9都可以劃掉。這樣在這個(gè)大數(shù)中，除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。在上面的解法中，并沒(méi)有計(jì)算出這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)與它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和，與1＋2＋?＋100除以9的余數(shù)相同。因?yàn)?050的數(shù)字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個(gè)9余1，故5050除以9余1。例3 檢驗(yàn)下面的加法算式是否正確：2638457＋3521983＋6745785＝12907225。如果不等，那么這個(gè)加法算式肯定不正確。因?yàn)?≠1，所以這個(gè)算式不正確。分析與解：被減數(shù)的九余數(shù)減去減數(shù)的九余數(shù)（若不夠減，可在被減數(shù)的九余數(shù)上加9，然后再減）應(yīng)當(dāng)?shù)扔诓畹木庞鄶?shù)。上式中被減數(shù)的九余數(shù)是3，減數(shù)的九余數(shù)是6，由（9+3）6＝6知，原題等號(hào)左邊的九余數(shù)是6。因?yàn)?＝6，所以這個(gè)減法運(yùn)算可能正確。利用棄九法檢驗(yàn)加法、減法、乘法（見(jiàn)例5）運(yùn)算的結(jié)果是否正確時(shí)，如果等號(hào)兩邊的九余數(shù)不相等，那么這個(gè)算式肯定不正確；如果等號(hào)兩邊的九余數(shù)相等，那么還不能確定算式是否正確，因?yàn)榫庞鄶?shù)只有0，1，2，?，8九種情況，不同的數(shù)可能有相同的九余數(shù)。例5 檢驗(yàn)下面的乘法算式是否正確：468769537＝447156412。如果不等，那么這個(gè)乘法計(jì)算肯定不正確。乘積的九余數(shù)是7。說(shuō)明：因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，被除數(shù)=除數(shù)商+余數(shù)，所以當(dāng)余數(shù)為零時(shí)，利用棄九法驗(yàn)算除法可化為用棄九法去驗(yàn)算乘法。253=1517的正確性，只需檢驗(yàn)1517253=383801的正確性。2．求下列各式除以9的余數(shù)：（1）67235＋82564；（2）9725647823； 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（3）27836451；（4）3477+265841。6236＝3748；（4）12345247。4．有一個(gè)2000位的數(shù)A能被9整除，數(shù)A的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是B，數(shù)B的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是C，數(shù)C的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是D。第6講 數(shù)的整除性（二）這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。也就是說(shuō)，個(gè)位、百位、萬(wàn)位??是奇數(shù)位，十位、千位、十萬(wàn)位??是偶數(shù)位。例1 判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個(gè)數(shù)除以11的余數(shù)。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應(yīng)在奇數(shù)位上的數(shù)字之和上再增加11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。分析與解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]247。11＝0??7，所以41873除以11的余數(shù)是7。因?yàn)?7＜32，所以應(yīng)給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。需要說(shuō)明的是，當(dāng)奇數(shù)位數(shù)字之和遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于偶數(shù)位數(shù)字之和時(shí)，為了計(jì)算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11，所得余數(shù)與11的差即為所求。11＝1??4，所求余數(shù)是114=7。分析與解：奇數(shù)位是101個(gè)1，偶數(shù)位是100個(gè)9。11=799247。綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程例3還有其它簡(jiǎn)捷解法，例如每個(gè)“19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差91＝8，奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和相差899=8911，能被11整除。例4 用3，3，7，7四個(gè)數(shù)碼能排出哪些能被11整除的四位數(shù)？ 解：只要奇數(shù)位和偶數(shù)位上各有一個(gè)3和一個(gè)7即可。例5 用1～9九個(gè)數(shù)碼組成能被11整除的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的最大九位數(shù)。為了保證這個(gè)數(shù)盡可能大，我們盡量調(diào)整低位數(shù)字，只要使奇數(shù)位的數(shù)字和增加3（偶數(shù)位的數(shù)字和自然就減少3），奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和的差就變?yōu)?＋32=11，這個(gè)數(shù)就能被11整除。此時(shí)，4，3在奇數(shù)位，2，1在偶數(shù)位，后四位最大是2413。例6 六位數(shù)能被99整除，求A和B。因?yàn)榱粩?shù)能被9整除，所以A+2+8+7+5+B＝22+A+B應(yīng)能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。化簡(jiǎn)得BA＝4或AB＝7。在（2）中，上、下兩式相加，得（B＋A）＋（BA）＝14＋4，2B＝18，B=9。所以，A=5，B＝9。4．求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：（1）2485；（2）63582；（3）987654321。5A634B能被33整除，求A+B。第7講 找規(guī)律（一）我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)見(jiàn)過(guò)“找規(guī)律”這個(gè)題目，學(xué)習(xí)了如何發(fā)現(xiàn)圖形、數(shù)表和數(shù)列的變化規(guī)律。什么是周期性變化規(guī)律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開(kāi)的春季過(guò)后就是夏天，赤日炎炎的夏季過(guò)后就是秋天，果實(shí)累累的秋季過(guò)后就是冬天，白雪皚皚的冬季過(guò)后又到了春天。再比如，數(shù)列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，?是按照0，1，2三個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的，這也是周期性變化問(wèn)題。例1 節(jié)日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍(lán)燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍(lán)燈、3盞黃燈、??這樣排下去。彩燈按照5紅、4藍(lán)、3黃，每12盞燈一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)。12＝8??4，所以第100盞燈是第9個(gè)周期的第4盞燈，是紅燈。12=12??6，前150盞燈共有12個(gè)周期零6盞燈，12個(gè)周期中有藍(lán)燈412＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍(lán)燈，所以共有藍(lán)燈48＋1=49（盞）。已知第1個(gè)數(shù)是3，第6個(gè)數(shù)是6，第11個(gè)數(shù)是7。進(jìn)一步可推知，第1，5，9，13，?個(gè)數(shù)都相同。也就是說(shuō)，這串?dāng)?shù)是按照每四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)的。前三個(gè)數(shù)依次是3，6，7，第四個(gè)數(shù)是25（3+6+7）=9。第24個(gè)數(shù)與第4個(gè)數(shù)相同，是9。4＝9??1知，前77個(gè)數(shù)是19個(gè)周期零1個(gè)數(shù)，其和為2519+3=478。問(wèn)：這串?dāng)?shù)中第88個(gè)數(shù)是幾？628088640448?分析與解：這串?dāng)?shù)看起來(lái)沒(méi)有什么規(guī)律，但是如果其中有兩個(gè)相鄰數(shù)字與前面的某兩個(gè)相鄰數(shù)字相同，那么根據(jù)這串?dāng)?shù)的構(gòu)成規(guī)律，這兩個(gè)相鄰數(shù)字后面的數(shù)字必然與前面那兩個(gè)相鄰數(shù)字后面的數(shù)字相同，也就是說(shuō)將出現(xiàn)周期性變化。由88247。從例3看出，周期性規(guī)律有時(shí)并不明顯，要找到它還真得動(dòng)點(diǎn)腦筋。那么在這串?dāng)?shù)中，能否出現(xiàn)相鄰的四個(gè)數(shù)是“2000”？***7134?分析與解：無(wú)休止地將這串?dāng)?shù)寫(xiě)下去，顯然不是聰明的做法。那么怎么辦呢？仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，這串?dāng)?shù)的前四個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，按照“每個(gè)數(shù)都是它前面四個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字”，如果不看具體數(shù)，只看數(shù)的奇偶性，那么將這串?dāng)?shù)依次寫(xiě)出來(lái)，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇??可以看出，這串?dāng)?shù)是按照四個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)的，永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)四個(gè)偶數(shù)連在一起的情況，即不會(huì)出現(xiàn)“2000”。第1個(gè)小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子；第2個(gè)小朋友也找到放球最少的盒子，然后也從其它盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子??當(dāng)100位小朋友放完后，A，B，C，D四個(gè)盒子中各放有幾個(gè)球？ 分析與解：按照題意，前六位小朋友放過(guò)后，A，B，C，D四個(gè)盒子中的球數(shù)如下表： 綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程可以看出，第6人放過(guò)后與第2人放過(guò)后四個(gè)盒子中球的情況相同，所以從第2人放過(guò)后，每經(jīng)過(guò)4人，四個(gè)盒子中球的情況重復(fù)出現(xiàn)一次。4＝24??3，所以第100次后的情況與第4次（3＋1＝4）后的情況相同，A，B，C，D盒中依次有4，6，3，5個(gè)球。問(wèn)：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？2．將1，2，3，4，?除以3的余數(shù)依次排列起來(lái)，得到一個(gè)數(shù)列。3．有一串?dāng)?shù)，前兩個(gè)數(shù)是9和7，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)是它前面兩個(gè)數(shù)乘積的個(gè)位數(shù)。這列數(shù)中第88個(gè)數(shù)是幾？5．小明按1～3報(bào)數(shù)，小紅按1～4報(bào)數(shù)。第1個(gè)小朋友找到放球最多的盒子，從中拿出3個(gè)球放到其它盒子中各1個(gè)球；第2綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程個(gè)小朋友也找到放球最多的盒子，也從中拿出3個(gè)球放到其它盒子中各1個(gè)球??當(dāng)100個(gè)小朋友放完后，A，B，C，D四個(gè)盒子中各放有幾個(gè)球？第8講 找規(guī)律（二）整數(shù)a與它本身的乘積，即aa叫做這個(gè)數(shù)的平方，記作a2，即a2＝aa；同樣，三個(gè)a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3＝aaa。因?yàn)榉e的個(gè)位數(shù)只與被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)和乘數(shù)的個(gè)位數(shù)有關(guān)，所以an的個(gè)位數(shù)只與a的個(gè)位數(shù)有關(guān)，而a的個(gè)位數(shù)只有0，1，2，?，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。從表看出，an的個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：（1）當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是0，1，5，6時(shí)，an的個(gè)位數(shù)仍然是0，1，5，6。其中a的個(gè)位數(shù)是4時(shí)，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個(gè)位數(shù)是9時(shí)，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個(gè)位數(shù)是2時(shí)，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個(gè)位數(shù)是3時(shí)，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的綠藤星教育（***）小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程個(gè)位數(shù)是7時(shí)，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng)a的個(gè)位數(shù)是8時(shí)，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。分析與解：因?yàn)?7的個(gè)位數(shù)是7，所以67n的個(gè)位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。4＝249??3，所以67999的個(gè)位數(shù)字與73的個(gè)位數(shù)字相同，即67999的個(gè)位數(shù)字是3。分析與解：因?yàn)?n的個(gè)位數(shù)字按2，4，8，6四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91247。類似地，3n的個(gè)位數(shù)字按3，9，7，1四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291247。最后得到291+3291的個(gè)位數(shù)字與8+7的個(gè)位數(shù)字相同，等于5。解：由128247。由29247。因?yàn)?＜9，在減法中需向十位借位，所以所求個(gè)位數(shù)字為16－9＝7。5；（2）555247。分析與解：（1）由55247。因?yàn)?0a能被5整除，所以7855除以5的余數(shù)是2。3的余數(shù)不僅僅與a的個(gè)位數(shù)有關(guān)，所以不能用求555的個(gè)位數(shù)的方法求解。3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計(jì)算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數(shù)乘以5后，再除以3去求。這是因?yàn)?2＝38+1，其中38能被3整除，而53=（38+1）5=（38）5+15，（38）5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)與15除以3的余數(shù)相同。由55247。3的余數(shù)與51247。例5 某種細(xì)菌每小時(shí)分裂一次，每次1個(gè)細(xì)茵分裂成3個(gè)細(xì)菌。7的余數(shù)”。7的余數(shù)以六個(gè)數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。6＝3??2知，320247。7的余數(shù)相同，等于2。最后再說(shuō)明一點(diǎn)，an247。練習(xí)81．求下列各數(shù)的個(gè)位數(shù)字：（1）3838；（2）2930；（3）6431；（4）172．求下列