蘇教版選修1-1高中數(shù)學(xué)11命題及其關(guān)系1-在線瀏覽
2025-01-20 23:35本頁面
【正文】 a ＋ 1) x ＋ a2＋ 2 ≤ 0 的解集是空集 ， 則 a ＜ 2 ” ，判斷其逆否命題的真假． 【解】 原命題的逆否命題： 已知 a ， x 為實(shí)數(shù) ， 若 a ≥ 2 ， 則關(guān)于 x 的不等式 x2＋ (2 a＋ 1) x ＋ a2＋ 2 ≤ 0 的解集不是空集．判斷真假如下： 拋 物線 y ＝ x2＋ (2 a ＋ 1) x ＋ a2＋ 2 開口向上 ， 判別式 Δ ＝ (2 a ＋ 1)2－ 4( a2＋ 2) ＝ 4 a － 7. ∵ a ≥ 2 ， ∴ 4 a － 7 ＞ 0. 即 拋 物線 y ＝ x2＋ (2 a ＋ 1) x ＋ a2＋ 2 與 x 軸有交點(diǎn)． 所以關(guān)于 x 的不等式 x2＋ (2 a ＋ 1) x ＋ a2＋ 2 ≤ 0 的解集不 是空集 ，故原命題的 逆否命題為真． ( 1 4 分 ) 已知函數(shù) f ( x ) 在 ( － ∞ ， ＋ ∞ ) 上是增函數(shù) ，a 、 b ∈ R ， 對命題 “ 若 a ＋ b ≥ 0 ， 則 f ( a ) ＋ f ( b ) ≥ f ( － a ) ＋ f ( － b ) ” ． ( 1 ) 寫出逆命題 ， 判斷其真假 ， 并證明你的結(jié) 論； ( 2) 寫出其逆否命題 ， 判斷其真假 ， 并證明你的結(jié)論． 【思路探究】 ( 1 ) 判斷一個(gè)命題的真假時(shí) ， 首先要弄清楚命題的結(jié)構(gòu) ， 即它的條件和結(jié)論分別是什么 ， 然 后聯(lián)系其他相關(guān)的知識 ， 經(jīng)過邏輯推理來判定． ( 2 ) 要說明一個(gè)命題為真命題 ， 必須由條件及相關(guān)知識 ，通過嚴(yán)格的邏輯推理得到結(jié)論；而要證明一個(gè)命題為假命題 ，只需舉一個(gè)反例即可． 【自主解答】 ( 1 ) 逆命題：若 f ( a ) ＋ f ( b ) ≥ f ( － a ) ＋ f ( － b ) ，則 a ＋ b ≥ 0 ， 為真命題 .2 分 用間接法證明：假設(shè) a ＋ b 0 ， 則 a － b ， b － a ， 3 分 ∵ f ( x ) 在 ( － ∞ ， ＋ ∞ ) 上為增函數(shù) ， 則 f ( a ) f ( － b ) ， f ( b ) f ( －a ) ， 5 分 ∴ f ( a ) ＋ f ( b ) f ( － a ) ＋ f ( － b ) ， 6 分 這與題設(shè)相矛盾 ， 所以逆命題為真命題 .7 分 ( 2 ) 逆否命題：若 f ( a ) ＋ f ( b ) f ( － a ) ＋ f ( － b ) ， 則 a ＋ b 0 ，為真命題 .9 分 因?yàn)橐粋€(gè)命題 ? 它的逆否命題 ， 所以可由證明原命題為真命題來證 . 1 0 分 ∵ a ＋ b ≥ 0 ， ∴ a ≥ － b ， b ≥ － a . 又 ∵ f ( x ) 在 ( － ∞ ， ＋ ∞ ) 上是增函數(shù) ， ∴ f ( a ) ≥ f ( － b ) ， f ( b ) ≥ f ( － a ) ， 12 分 ∴ f ( a ) ＋ f ( b ) ≥ f ( － a ) ＋ f ( － b ) . 1 3 分 所以逆否命題為真命題 . 1 4 分 1 ． 由 于原命題與逆否命題有相同的真假性 ， 所以我們在證明某一個(gè)命題有困難時(shí) ， 可以通過證明它的逆否命題的真假性 ， 從而間接地證明原命題的真假性．反之 ， 也成立． 2 ． 化歸與轉(zhuǎn)化思想 ， 就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種方式 ， 將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化 ， 進(jìn)而達(dá)到解決問題的思想．轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式變換的過程 ， 化歸是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題． 1 ． 命題是能夠判斷真假的語句． 2 ． 互逆命題、互否命題、互為逆否命題都是說兩個(gè)命題的關(guān)系 ， 是相對而言的 ， 把其中一個(gè)命題叫做原命題時(shí) ， 另外三個(gè)命題分別是它的逆命題、否命題、逆否命題． 3 ． 寫四種命題時(shí) ， 大前
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