【正文】 規(guī)范等技術(shù)文件及資料，并進(jìn)行深入細(xì)致的分析研究。事故樹(shù)的編制過(guò)程是一個(gè)逐級(jí)展開(kāi)的演繹過(guò)程。 26 ? (3) 選好頂上事件 。選好頂上事件有利于使整個(gè)系統(tǒng)故障分析相互聯(lián)系起來(lái)，因此，對(duì)系統(tǒng)的任務(wù)、邊界以及功能范圍必須給予明確的定義。頂上事件在很多情況下是用FMEA—— 故障類(lèi)型及影響分析、危險(xiǎn)預(yù)先性分析或事件樹(shù)分析得出的。對(duì)系統(tǒng)中各事件問(wèn)的因果關(guān)系和邏輯關(guān)系必須分析清楚，不能有邏輯上的紊亂及因果矛盾。 ? (5) 避免門(mén)與門(mén)相連 。 27 3． 2 事故樹(shù)分析 ? 3． 2． 6 事故樹(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá) ? 為了對(duì)事故樹(shù)進(jìn)行詳細(xì)的分析，在編制出事故樹(shù)模型后，還要利用 布爾代數(shù) 列出它的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 ? 布爾代數(shù)是集合論數(shù)學(xué)的組成部分，是一種邏輯運(yùn)算方法，也稱(chēng)為邏輯代數(shù)。 28 3． 2 事故樹(shù)分析 ? l. 布爾代數(shù) 的基本知識(shí) ? (1)集合的概念。包含一切元素的集合稱(chēng)為全集，用符號(hào) Ω表示；不包含任何元素的集合稱(chēng)為空集，用符號(hào)中 Ф表示。 ? 2)集合之間的包含關(guān)系 (即從屬關(guān)系 )用符號(hào)表示，子集 B1包含于全集 Ω，記為 B1∈ Ω。兩個(gè)集合相交的關(guān)系用符號(hào) ∩表示，如 C1= B1∩B2。 29 3． 2 事故樹(shù)分析 ? 事故樹(shù)分析就是研究某一個(gè)事故樹(shù)中各基本事件構(gòu)成的各種集合，以及它們之問(wèn)的邏輯關(guān)系，最后達(dá)到最優(yōu)化處理的一門(mén)技術(shù)。邏輯運(yùn)算的對(duì)象是命題。成立的命題叫做 真命題 ，其真值等于 1；不成立的命題叫做 假命題 ，其真值等于 0。例如命題“ 83=5”成立，這是真命題，其真值為 l；命題“ 2+35”不成立．這是假命題，其真值為 0。其中邏輯加、邏輯乘用得較普遍。給定兩個(gè)命題 A、 B，對(duì)它們進(jìn)行邏輯運(yùn)算后構(gòu)成的新命題為 S，若 A、 B兩者有一個(gè)成立或同時(shí)成立， S就成立；否則 S不成立。構(gòu)成的新命題 s，叫做 A、 B的邏輯和。均讀作“ A+B”。給定兩個(gè)命題 A、 B，對(duì)它們進(jìn)行邏輯運(yùn)算后構(gòu)成新的命題 P。則這種 A、 B間的邏輯運(yùn)算，叫做邏輯乘，也叫“與”運(yùn)算。記作 A∩B=P，或記作A B=P，也可記作 AB=P，均讀作 A乘 B。 ? 根據(jù)邏輯乘的定義可知： ? 1 l=l； 1 O=0； 0 1=0； 0 0=0 ? 3)邏輯非 。這種對(duì) A所進(jìn)行的邏輯運(yùn)算，叫做命題 A的邏輯非，構(gòu)成的新命題 F叫做命題 A的邏輯非。邏輯非相當(dāng)于集合運(yùn)算的求“補(bǔ)集”。邏輯代數(shù)運(yùn)算的法則很多，有的和代數(shù)運(yùn)算法則一致，有的不一致。 ? 對(duì)合律 ： =A ? 變換律 ： A+B=B+A， AB=BA ? 結(jié)合律 ： A+(B+C)=(A+B） +C， A(BC)=(AB)C ? 分配律 ： A+BC=(A+B)(A+C)， A(B+C)=AB+AC ? 等冪律 ： A+A=A， A ? 2. 概率論的一些基本知識(shí) ? 在事故樹(shù)分析中，我們需要用到概率論的一些基本知識(shí)。為了給出概率和與概率積的計(jì)算公式，必須首先給出下列定義： ? (1)相互獨(dú)立事件 。假定有 A、 B、 C、 …N 個(gè)事件，其中每一個(gè)事件發(fā)生與否都不受其他事件發(fā)生與否的影響，則稱(chēng) A、 B、 C、 …N 為獨(dú)立事件。不能同時(shí)發(fā)生的事件。它們之間互相排斥，互不相容。 34 3． 2 事故樹(shù)分析 ? (3) 相容事件。設(shè) A、 B兩事件， B事件只有在 A事件發(fā)生的情況下才發(fā)生，反之亦然，則 A、 B事件稱(chēng)為相容事件。所以下面簡(jiǎn)單介紹 n個(gè)獨(dú)立事件的概率和與概率積的計(jì)算公式。 ? n個(gè)獨(dú)立事件的 概率積 ，其計(jì)算公式是： ? P(ABC…N)=P(A)P(B)P(C)P(N) (3 2) 35 3． 2 事故樹(shù)分析 ? ? 將事故樹(shù)中連接各事件的邏輯門(mén)用相應(yīng)的布爾代數(shù)運(yùn)算表示，就得到了事故樹(shù)的布爾代數(shù)表達(dá)式 。以圖 3． 18(事故樹(shù)結(jié)構(gòu) )為例，其布爾代數(shù)表達(dá)式及展開(kāi)過(guò)程如下： 36 ? 圖 318某 事故樹(shù)圖 : ? T=A1Xt=A2A3Xt=(A4+A5)(X5+X6)Xt =(X1+X2+X3+X4)(X5+X6)Xt ? 此式還可以繼續(xù)化筒至若干基本事件相“乘”后再相“加”的形式。對(duì)于給出的事故樹(shù)可以寫(xiě)出相應(yīng)的布爾代數(shù)表達(dá)式；相反，給出布爾代數(shù)表達(dá)式就可以繪出相應(yīng)的事故樹(shù)。 ? 如果事故樹(shù)中各基本事件是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，布爾代數(shù)表達(dá)式中各基本事件 邏輯“乘”的概率 應(yīng)為： ? g(x1x2x3…xn)=q1q2…qn= (33) ? 各基本事件 邏輯“加”的概率 應(yīng)為： ? g(x1+x2+…xn)=l (1q1)(1q2)…(1 qn)= (34) ? 式中 qi—— 第 i個(gè)基本事件的發(fā)生概率； ? ∏—— 數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，求概率積。 ）（??41iiq1 ）（??65iiq139 3． 2 事故樹(shù)分析 ? 事故樹(shù)的簡(jiǎn)化及意義 ? 在事故樹(shù)編制完成之后，為了準(zhǔn)確計(jì)算頂上事件發(fā)生的概率，需要化簡(jiǎn)事故樹(shù)，消除多余事件，特別是在事故樹(shù)的不同位置存在同一基本事件時(shí)，必須利用布爾代數(shù)進(jìn)行 整理 ，然后才能計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率，否則就會(huì)造成定性分析或 定量分析 的 錯(cuò)誤 。 40 ? 【 例 35】 如圖 319所示，在該事故樹(shù)中 3個(gè)基本事件概率為q1=q2=q3=，求頂上事件的發(fā)生概率。 43 3． 2 事故樹(shù)分析 ? 3． 2． 8 事故樹(shù)的 定性分析 ? 事故樹(shù)的定性分析是依據(jù)事故樹(shù)，對(duì)所有事件只有發(fā)生“ 1”或不發(fā)生“ 0”兩種狀態(tài)進(jìn)行分析的方法。事故樹(shù)定性分析時(shí)，除編制事故樹(shù)，找出導(dǎo)致頂上事件發(fā)生的全部事件之外，還要求出事故樹(shù)中基本事件的 最小割 ? 集和最小徑集 ，求出各基本事件的 結(jié)構(gòu)重要度 ，了解其對(duì)頂上事件的影響程度。如果事故樹(shù)中的全部基本事件都發(fā)生，則頂上事件必然發(fā)生。這些由于同時(shí)發(fā)生就能夠?qū)е马斏鲜录l(fā)生的基本事件集合稱(chēng)為割集。 ? 最小割集是指能夠引起頂上事件發(fā)生的最低數(shù)量的基本事件的集合 。 45 3． 2 事故樹(shù)分析 ? (2)求解方法。 ? 1)行列法 。其理論依據(jù)是：‘‘與門(mén)”使割集容量增加，而不增加割集的數(shù)量；“或門(mén)”使割集的數(shù)量增加，而不增加割集的容量。這樣，逐層向下，直至各基本事件，列出若干行，最后利用布爾代數(shù)化簡(jiǎn)，便得到所求的最小割集。 46 3． 2 事故樹(shù)分析 47 3． 2 事故樹(shù)分析 ? 應(yīng)當(dāng)成列擺開(kāi)，即： ? A A 2與下一層事件 B B x x x4的連接均為“與門(mén)”，所以成行排列： ? 下面依此類(lèi)推： 48 3． 2 事故樹(shù)分析 ? 整理上式得 ? 下面對(duì)這四組集合用布爾代數(shù)化簡(jiǎn)，根據(jù) Ax1=x1， x4B=A，則 x1x2 49 3． 2 事故樹(shù)分析 ? 于是，就得到三個(gè)最小割集 {X1， X2}， {X4， X5}， {X4，X6},按最小割集化簡(jiǎn)后的事故樹(shù)，如圖 324所示。這種方法的理論根據(jù)是事故樹(shù)的結(jié)構(gòu)完全可以用最小割集來(lái)表示。說(shuō)明這種方法是正確的。這種方法的理論依據(jù)是：上述結(jié)構(gòu)法完全和布爾代數(shù)化簡(jiǎn)事故樹(shù)法相似，所不同的只是“ U”與“ +”的問(wèn)題。這樣，用布爾代數(shù)化簡(jiǎn)法，最后求出的若干事件邏輯積的邏輯和，其中，每個(gè)邏輯積就是最小割集。 ? 總的來(lái)說(shuō)，三種求法都可應(yīng)用，而以第三種算法最為簡(jiǎn)單，較為普遍采用。如果事故樹(shù)中的全部基本事件都不發(fā)生，則頂上事件一定不會(huì)發(fā)生。這些不同時(shí)發(fā)生時(shí)，可以使頂上事件不發(fā)生的基本事件集合稱(chēng)為徑集。 ? 最小徑集是指能夠使得頂上事件不發(fā)生的最低數(shù)量的基本事件的集合 。 ? (2)最小徑集的求法。然后，利用上節(jié)所述方法，求出成功樹(shù)的最小割集經(jīng)對(duì)偶變換后就是事故樹(shù)的最小徑集。 53 3． 2 事故樹(shù)分析 為什么要這樣轉(zhuǎn)換呢 ? 因?yàn)?，?duì)于“與門(mén)”連接輸入事件和輸出事件的情況，只要有一個(gè)事件不發(fā)生，輸出事件就可以不發(fā)生，所以，在成功樹(shù)中換用“或門(mén)”連接輸人事件和輸出事件；而對(duì)于“或門(mén)”連接的輸入事件和輸出事件的情況，則必須所有輸入事件均不發(fā)生，輸出事件才不發(fā)生，所以，在成功樹(shù)中換用“與門(mén)”連接輸入事件和輸出事件。 T? T?1X? 2X?54 ? 例如，圖 326所示為與圖 323事故樹(shù)對(duì)偶的成功樹(shù)。 T? 6543212121 XXXXXXCBBAA ??????????? 、55 3． 2 事故樹(shù)分析 ? 用布爾代數(shù)化簡(jiǎn)法，求最小徑集： ? 這樣，就得到成功樹(shù)的四個(gè)最小割集，經(jīng)對(duì)偶變換就是事故樹(shù)的四個(gè)最小徑集，即： ? 每一個(gè)邏輯和就是一個(gè)最小徑集，則得到事敵樹(shù)的四個(gè)最小徑集為： 56 3． 2 事故樹(shù)分析 ? 同樣，也可以用最小徑集表示事故樹(shù)，如圖327所示。 57 ? (徑 )集數(shù)目的方法 ? 就一個(gè)具體的系統(tǒng)而言，如果事故樹(shù)中的與門(mén)多，或門(mén)少時(shí)，則最小割集的數(shù)目較少，分析時(shí)從最小割集人手較為簡(jiǎn)便。 ? 但是，一個(gè)系統(tǒng)往往是很復(fù)雜的，有時(shí)很難根據(jù)與門(mén)、或門(mén)的數(shù)目判定割、徑集的數(shù)目。 ? 求割集數(shù)目公式： ? 求徑集數(shù)目公式： ? 式中 i—— 門(mén)的編號(hào)或代碼； 58 ? 如圖 328所示：首先根據(jù)事故樹(shù)畫(huà)出成功樹(shù)，再給各基本事件賦予“ 1”，然后根據(jù)輸入與輸出事件之間的邏輯門(mén)確定“加”或“乘”。如果估算出某事故樹(shù)的割、徑集數(shù)目相差不多，一般從分析割集入手較好。另外，在作定量分析時(shí)，用最小割集分析，還可采用較多的近似公式，而最小徑集則不能。只有當(dāng)事故樹(shù)中沒(méi)有 重復(fù)事件 時(shí)，得到的割徑集數(shù)目才是最小割、徑集的數(shù)目。 60 3． 2 事故樹(shù)分析 ? 最小割集和最小徑集的主要作用是： ? (1)最小割集表示系統(tǒng)的危險(xiǎn)性 。 ? 一起事故的發(fā)生，并不都遵循一種固定的模式，如果求出了最小割集，就可以馬上知道，發(fā)生事故的所有可能途徑。這樣，它就直觀明了地告訴我們，造成頂上事件 (事故 )發(fā)生的途徑共三種；或者X1， X2同時(shí)發(fā)生；或者 X4， X5，同時(shí)發(fā)生；或者 X4， X6同時(shí)發(fā)生。而且對(duì)事故的預(yù)防工作提供了非常全面的信息。 61 3． 2 事故樹(shù)分析 ? (2)最小徑集表示系統(tǒng)的安全性 。例如：從圖 323所示的等效圖中知道，圖 327(最小徑集等效表示的圖 329中的事故樹(shù) )共有 4個(gè)最小徑集： {X1， X4}， {X X4}， {X1， X5， X6}，{X2， X5， X6}。 ? (3)最小割集能直觀地、概略地告訴人們，哪種事故模式最危險(xiǎn)，哪種稍次，哪種可以忽略 。一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)事件的割集比兩個(gè)事件的割集容易發(fā)生；兩個(gè)事件的割集比三個(gè)事件的割集容易發(fā)生。 62 3． 2 事故樹(shù)分析 ? (4)利用最小徑集可以經(jīng)濟(jì)地、有效地選擇采用預(yù)防事故的方案 。消除一個(gè)基本事件應(yīng)比消除兩個(gè)或多個(gè)基本事件要省力。 ? (6)利用最小割集和最小徑集計(jì)算頂上事件的發(fā)生概率和定量分析 (詳見(jiàn)頂上事件的發(fā)生概率求解 )。結(jié)構(gòu)重要度分析一般可以采用兩種方法，一種是精確求出結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)，一種是用最小割集或用最小徑集排出結(jié)構(gòu)重要度順序。在事故樹(shù)分析中，各個(gè)事件都是兩種狀態(tài)，一種狀態(tài)是發(fā)生，即 Xi=1；一種狀態(tài)是不發(fā)生，即 Xi=0。 ? 在某個(gè)基本事件 Xi的狀態(tài)由 0變成 l(即 0i→li) ，其他基本事件的狀態(tài)保持不變，頂上事件的狀態(tài)變化可能有三種情況： 64 3． 2 事故樹(shù)分析 65 3． 2 事故樹(shù)分析 ? 第一種情況和第三種情況都不能說(shuō)明 Xi的狀態(tài)變化對(duì)頂上事件的發(fā)生起什么作用，唯有第二種情況說(shuō)明 Xi的作用，即當(dāng)基本事件 Xi的狀態(tài)，從 0變到 1，其他基本事件的狀度保持不變，頂上事件的狀態(tài)Φ(0i， X)=0變到 Φ(1i， X)=1，也就說(shuō)明，這個(gè)基本事件 Xi的狀態(tài)變化對(duì)頂上事件的發(fā)生與否起了作用。 ? 現(xiàn)在，我們以圖 329所示為例，求出各基本事件的結(jié)構(gòu)重要度系數(shù)。 66 67 3． 2 事故樹(shù)分析 以基本事件 X1為例，我們可以從表 3l查出，基本事件 X1發(fā)生 (即 X1=1)，不管其他基本事件發(fā)生與否，頂上事件也發(fā)生(即 Φ(X)=1)的組合共 12個(gè)，即編號(hào) 18， 20， 2l， 22， 23， 24，26， 28， 29， 30， 3l， 32。也就是說(shuō)，在 12個(gè)組臺(tái)當(dāng)中，有 5個(gè)組合不隨基本事件 X1，的狀態(tài)