千萬(wàn)不要迷信規(guī)律——大反例合集-在線(xiàn)瀏覽
2024-09-14 14:35本頁(yè)面
【正文】 ？上圖顯示的就是 n 分別為 2 、 3 、 4 的情況。規(guī)律似乎非常明顯：圓周上每多一個(gè)點(diǎn)，劃分出來(lái)的區(qū)域數(shù)就會(huì)翻一倍。此時(shí)，大家都會(huì)覺(jué)得證據(jù)已經(jīng)充分，不必繼續(xù)往下驗(yàn)證了吧。最有名的素?cái)?shù)生成公式1772 年，Euler 曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)，當(dāng) n 是正整數(shù)時(shí)， n2 + n + 41 似乎總是素?cái)?shù)。第一次例外發(fā)生在 n = 40 的時(shí)候，此時(shí) 402 + 40 + 41 = 402 + 40 + 40 + 1 = (40 + 1)(40 + 1) = 41 41。 x20 1 分解因式后等于(x 1) (x + 1) (x2 + 1) (x4 x3 + x2 x + 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) (x8 x6 + x4 x2 + 1)對(duì)于所有的正整數(shù) n ， xn 1 因式分解后各項(xiàng)系數(shù)都只有可能是 1 或者 1 嗎？據(jù)說(shuō)有人曾經(jīng)算到了 x100 1 ，均沒(méi)有發(fā)現(xiàn)反例，終于放心大膽地做出了這個(gè)猜想。似乎有這樣的規(guī)律： n 能整除 2n 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) n 是一個(gè)素?cái)?shù)。國(guó)外數(shù)學(xué)界一直傳有“中國(guó)人 2000 多年前就發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律”的說(shuō)法，后來(lái)發(fā)現(xiàn)其實(shí)是對(duì)《九章算術(shù)》一書(shū)的錯(cuò)誤翻譯造成的。第一個(gè)反例是 n = 341，此時(shí) 341 能夠整除 2341 2 ，但 341 = 11 31 。不過(guò)，它的逆定理卻是不成立的，上面提到的 341 便是一例。由于這種素?cái)?shù)判定法的反例出人意料的少，我們完全可以用它來(lái)做一個(gè)概率型的素?cái)?shù)判定算法。Perrin 偽素?cái)?shù)定義 f(n) = f(n 2) + f(n 3) ，其中 f(1) = 0 ， f(2) = 2 ， f(3) = 3 。似乎有這么一個(gè)規(guī)律： n 能整除 Perrin 數(shù)列的第 n 項(xiàng) f(n) ，當(dāng)且僅當(dāng) n 是一個(gè)素?cái)?shù)。根據(jù) MathWorld 的描述，1899 年 Perrin 本人曾經(jīng)做過(guò)試驗(yàn)，隨后 Malo 在 1900 年， Escot 在 1901 年，以及 Jarden 在
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