binaaablack-scholes期權(quán)定價模型-在線瀏覽
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【正文】 z??2 221() 2G G G GdG a b dt bdzx t x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 2212G G Gabx t x? ? ???? ? ?22()G bx??2022/8/21 9 證券價格的變化過程 ? 目的：找到一個合適的隨機過程表達式，來盡量準確地描述證券價格的變動過程，同時盡量實現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡單性。 一般 μ和 σ 的單位都是年。也被稱為幾何布朗運動 dSd S S d t S d z d t d zS? ? ? ?? ? ? ?或2022/8/21 10 為什么證券價格可以用幾何布朗運動表示？ ? 一般認同的“弱式效率市場假說”： ? 證券價格的變動歷史不包含任何對預(yù)測證券價格未來變動有用的信息。 ? 幾何布朗運動的隨機項來源于維納過程 dz，具有馬爾可夫性質(zhì)，符合弱式假說。投資者不是期望股票價格以一定的絕對價格增長，而是期望股票價格以一定的增長率在增長。 ? 幾何布朗運動最終隱含的是：股票價格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價格為對數(shù)正態(tài)分布。 2022/8/21 11 百分比收益率與連續(xù)復(fù)利收益率 ? 百分比收益率： ? 連續(xù)復(fù)利收益率 : ? 百分比收益率的缺陷與連續(xù)復(fù)利收益率的優(yōu)點： ? 有限責任原則： ? 金融學(xué)中常常存在對實際收益率（近似）服從正態(tài)分布的隱含假定，但是在有限責任（投資者頂多賠償全部的投資，不會損失更多）原則下，百分比收益率只在－ 1和＋ ∞ 之間變化，不符合正態(tài)分布假定。 ? 多期收益率問題： ? 即使假設(shè)單期的百分比收益率服從正態(tài)分布，多期的百分比收益率是單期百分比收益率的乘積， n個正態(tài)分布變量的乘積并非正態(tài)分布變量。 ? 多期的對數(shù)收益率是單期的對數(shù)收益率之和，仍然服從正態(tài)分布。 ? 如果用對數(shù)收益率表示，兩個相互的匯率收益率絕對值正好相等而符號相反；可以滿足同時服從正態(tài)分布的假設(shè)；交叉匯率收益率可以直接相加計算。但是在很短時間內(nèi)幾乎可以認為是近似。 00TSSSSS?? 或0ln lnTSS?2022/8/21 12 幾何布朗運動的深入分析 ? 在很短的時間 Δ t后， 證券價格比率的變化值 為： ? 可見，在短時間內(nèi)， 具有正態(tài)分布特征 ? 其均值為 ，標準差為 ，方差為 。股票價格的年波動率并不是一年內(nèi)股票價格百分比收益率變化的標準差。 ? 在任意時間長度 T之后， G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為 ，方差為 。 ? 從自然對數(shù) lnS所遵循的這個隨機過程可以得到兩個結(jié)論 : 2()2dG dt dz???? ? ?2( / 2 )( )Tt???? 2()Tt? ?tT? －22~ [ ( ) ( ) , ]G T t T t?? ? ?? ? ? ?2022/8/21 15 （ 1）幾何布朗運動意味著股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。如果一個變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個變量服從對數(shù)正態(tài)分布。 ? 這正好與 μ作為預(yù)期收益率的定義相符。因此幾何布朗運動實際上意味著對數(shù)收益率遵循普通布朗運動，對數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對數(shù)收益率的標準差與時間的平方根成比例。 2022/8/21 18 參數(shù)的理解 ? μ： ? 幾何布朗運動中的期望收益率，短時期內(nèi)的期望值。由于后者涉及主觀因素，因此的決定本身就較復(fù)雜。 ? 較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ，這是因為較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。 ? 一般來說，時間越近越好；時間窗口太長也不好；采用交易天數(shù)而不采用日歷天數(shù)。 ? 根據(jù) Ito引理，可以得到衍生證券所遵循的隨機過程。因此布萊克和舒爾斯就建立起一個包括一單位衍生證券空頭和若干單位標的證券多頭的投資組合。那么，在無套利機會的情況下，該投資組合在 短期 內(nèi)的收益率一定等于無風險利率。 ? 歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán) 2022/8/21 22 股票價格和期權(quán)價格服從的隨機過程 22221( ) ( 22d S S d t S d zf f f fd f S S d t S d zS t S S??? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?股票價格: （1 ）期權(quán)價格： ）2022/8/21 23 BlackScholes微分方程 ? 推導(dǎo)過程 ? 根據(jù)（ 1）和（ 2），在一個很小的時間間隔里 S和 f的變化值分別為 ? 為了消除 ，我們可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標的證券多頭的組合。 ? 值得強調(diào)的是：上述投資組合只是在極短的時間內(nèi)才是無風險的。 t? ffSS?? ? ? ? ? ? ??22221()2ff SttS ????? ? ? ? ???rt? ? ? ? ?fS??和222212f f frS S rft S S?? ? ?? ? ?? ? ?fS??2022/8/21 25 BS公式的一個重要結(jié)論 —— 風險中性定價原理 ? 從 BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價值決定公式中出現(xiàn)的變量為標的證券當前市價（ S）、時間（ t）、證券價格的波動率（ σ ）和無風險利率 r，它們?nèi)际强陀^變量，獨立于主觀變量 —— 風險收益偏好。 ? 由此我們可以利用 BS公式得到的結(jié)論，作出一
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