空間向量及立體幾何練習(xí)試題和答案解析-在線瀏覽
2024-09-02 04:50本頁(yè)面
【正文】 面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng)．【分析】（Ⅰ）取AB中點(diǎn)F，連接MF、NF，由已知可證MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，則MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90176。 WORD格式整理 1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求證：M為PB的中點(diǎn)；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．【分析】（1）設(shè)AC∩BD=O，則O為BD的中點(diǎn)，連接OM，利用線面平行的性質(zhì)證明OM∥PD，再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點(diǎn)；（2）取AD中點(diǎn)G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)可得PG⊥平面ABCD，則PG⊥AD，連接OG，則PG⊥OG，再證明OG⊥AD．以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBD與平面PAD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大??；（3）求出的坐標(biāo)，由與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值．【解答】（1）證明：如圖，設(shè)AC∩BD=O，∵ABCD為正方形，∴O為BD的中點(diǎn)，連接OM，∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，則，即M為PB的中點(diǎn)；（2）解：取AD中點(diǎn)G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，則PG⊥AD，連接OG，則PG⊥OG，由G是AD的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，可得OG∥DC，則OG⊥AD．以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），．設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，則由，得，取z=，得．取平面PAD的一個(gè)法向量為．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小為60176。；（3）解：，平面BDP的一個(gè)法向量為．∴直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos＜＞|=||=||=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角與面面角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求空間角，屬中檔題． 2．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90176。．可以A為原點(diǎn)，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面MEN與平面CME的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，進(jìn)一步求得正弦值；（Ⅲ）設(shè)AH=t，則H（0，0，t），求出的坐標(biāo)，結(jié)合直線NH與直線BE所成角的余弦值為列式求得線段AH的長(zhǎng)．【解答】（Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)F，連接MF、NF，∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴MF∥BD，∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N為BC中點(diǎn)，∴NF∥AC，又D、E分別為AP、PC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，則NF∥DE．∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，則MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90176。得到的，G是的中點(diǎn)．（Ⅰ）設(shè)P是上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CBP的大??； （Ⅱ）當(dāng)AB=3，AD=2時(shí)，求二面角E﹣AG﹣C的大?。痉治觥浚á瘢┯梢阎镁€面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，結(jié)合∠EBC=120176。； （Ⅱ）法一、取的中點(diǎn)H，連接EH，GH，CH，可得四邊形BEGH為菱形，取AG中點(diǎn)M，連接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，說(shuō)明∠EMC為所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大?。ǘ?、以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE，BP，BA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出A，E，G，C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出平面AEG與平面ACG的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大?。窘獯稹拷猓海á瘢逜P⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP?平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP?平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120176。； （Ⅱ）解法一、取的中點(diǎn)H，連接EH，GH，CH，∵∠EBC=120176。由余弦定理得：EC2=22+22﹣222cos120176。．解法二、以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE，BP，BA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，3），C（﹣1，0），故，．設(shè)為平面AEG的一個(gè)法向量，由，得，取z1=2，得；設(shè)為平面ACG的一個(gè)法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小為60176。且二面角D﹣AF﹣E與二面角C﹣BE﹣F都是60176?！郃F⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF為正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60176。如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，
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