【正文】 三個(gè)三維向量線性相關(guān)，表示這三個(gè)相向量在空間共三個(gè)三維向量線性相關(guān)，表示這三個(gè)相向量在空間共面面例例 討論下列討論下列 n 維向量組的相關(guān)性維向量組的相關(guān)性有非零解有非零解向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) ? 線性方程組線性方程組推論推論 1其中其中定理：定理：齊次線性方程組齊次線性方程組 有非零解有非零解 ?系數(shù)矩陣的列向量線性相關(guān)系數(shù)矩陣的列向量線性相關(guān) 向量向量 的線性相關(guān)性與線性方程組的關(guān)系的線性相關(guān)性與線性方程組的關(guān)系若 上述結(jié)論如何？，注：此時(shí)矩陣為方陣其中其中線性相關(guān) ?推論推論 1* 矩陣矩陣 A降秩，即降秩，即? 即，矩陣即，矩陣 A是奇異的是奇異的向量組向量組 線性無關(guān) ? 線性方程組線性方程組只有零解只有零解結(jié)果結(jié)果 2向量組向量組 線性無關(guān)線性無關(guān) ?推論推論 ： 矩陣矩陣 A列滿秩，即列滿秩，即若 上述結(jié)論如何？，上述結(jié)論如何？，注：此時(shí)矩陣為方陣注：此時(shí)矩陣為方陣其中其中線性無關(guān)線性無關(guān) ?結(jié)果結(jié)果 2* 矩陣矩陣 A滿秩，即滿秩，即? 即，矩陣即，矩陣 A是非奇異的是非奇異的齊次線性方程組只有零解 ? 系數(shù)矩陣的列向量線性無關(guān)推論：設(shè)推論：設(shè) 是是 n維向量組，維向量組， 則則 線性相關(guān)。思考：上例思考：上例 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 的一般結(jié)果的一般結(jié)果 設(shè)向量組設(shè)向量組線性無關(guān)線性無關(guān) ，則向量則向量 組組 線性相關(guān)（無關(guān)）的充要條件線性相關(guān)（無關(guān)）的充要條件是什么？？是什么？？例例 設(shè)設(shè) 向量組向量組 線性無關(guān)線性無關(guān)線性無關(guān)線性無關(guān)?推論推論 1：： 若若 向量組中有部分向量線性相關(guān)，則該向量組線性相關(guān)；向量組中有部分向量線性相關(guān)，則該向量組線性相關(guān)； 若向量組線性無關(guān)，則部分向量構(gòu)成的向量組也線性無關(guān)。推論推論 2：：若若 向量組線性相關(guān)，則其截短向量組（向量組各向量截取一向量組線性相關(guān)，則其截短向量組（向量組各向量截取一些對(duì)應(yīng)位置的元素）也線性相關(guān)；些對(duì)應(yīng)位置的元素）也線性相關(guān)； 若向量組線性無關(guān)，則其延長(zhǎng)向量組若向量組線性無關(guān)，則其延長(zhǎng)向量組 （向量組各向量增加一（向量組各向量增加一些對(duì)應(yīng)位置的元素）些對(duì)應(yīng)位置的元素） 也線性無關(guān)。線性表示唯一性定理線性表示唯一性定理定理定理 ：： 若若 向量組向量組 線性無關(guān)，線性無關(guān)， 而向量組而向量組線性相關(guān)；線性相關(guān)； 則 ? 可由 線性表出，且表示唯一。推論推論 ：： 線性表出，線性表出， 則表示式唯一當(dāng)且僅當(dāng)則表示式唯一當(dāng)且僅當(dāng)線性無關(guān)。若 ? 可由加例子加例子定理定理 ：若：若 線性無關(guān)線性無關(guān) ，令令 證明證明 ：：線性相關(guān)的線性相關(guān)的 充要條件為充要條件為向量組的線性表示與線性相關(guān)向量組的線性表示與線性相關(guān)線性無關(guān)線性無關(guān) 的充要條件為的充要條件為證明：證明：的矩陣表示為的矩陣表示為為討論為討論的線性相關(guān)性，首先看其線性組合的線性相關(guān)性，首先看其線性組合其中其中 由于由于 是是 線性無關(guān)性線性無關(guān)性 的 .所以：所以： 的的 線性相關(guān)性取決于矩陣線性相關(guān)性取決于矩陣 A的秩，的秩，即即 ，若其秩等于，若其秩等于 s，則向量組，則向量組 線性無關(guān)線性無關(guān) ，否則，否則 線性相關(guān)線性相關(guān)是否有是否有 非零解非零解 ，因而這問題變?yōu)橛懻撘蚨@問題變?yōu)橛懻? AX = 0 是否有是否有 非零解非零解 。推論推論 1：： 若若 向量組向量組 可由可由 向量向量 組組 線性表出，線性表出，且 線性無關(guān)， 則推論推論 2：： 若若 向量組向量組 與向量與向量 組組 等價(jià)，等價(jià)，則 且兩組向量都線性無關(guān)且兩組向量都線性無關(guān)，推論推論 3：： 若若 向量組向量組 可由可由 向量向量 組組 線性表出，線性表出，且 線性無關(guān)， 則 線性無關(guān)，且這兩組向量等價(jià)。等價(jià)。注意：初等變換求向量組的秩及極大線性無關(guān)組的方法。證明 顯然 AB為 mm 方陣，另外一方面，因此 AB的 m個(gè)列向量線性相關(guān)，即(AB)X=0 有非零解。稱為齊次線性方程組的系數(shù)矩陣。時(shí)，有無窮多個(gè)解。？下面我們對(duì)解的情況進(jìn)行討論。 ξξ 1， ξξ 2， …， ξξ k線性無關(guān)；線性無關(guān)；（（ b）） 基礎(chǔ)解系?與極大線性無關(guān)組的概念比較與極大線性無關(guān)組的概念比較注 v 齊次線性方程組的齊次線性方程組的 基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系 不唯一不唯一 。v 基礎(chǔ)解系之間基礎(chǔ)解系之間 等價(jià)等價(jià)?與極大線性無關(guān)組的問題比較與極大線性無關(guān)組的問題比較基礎(chǔ)解系的求法基礎(chǔ)解系的求法 (舉例說明舉例說明 ) 例例 求齊次線性方程求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系組的基礎(chǔ)解系 例例 求齊次線性方程求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系組的基礎(chǔ)解系q 由于上面假設(shè)由于上面假設(shè) D≠0 ，即系數(shù)矩陣，即系數(shù)矩陣 A的前的前 r列列 列向量線性列向量線性無關(guān)，因此經(jīng)過有限次初等行變換可得矩陣無關(guān)，因此經(jīng)過有限次初等行變換可得矩陣 A的行最簡(jiǎn)的行最簡(jiǎn)階梯型為階梯型為 v假設(shè)其系數(shù)矩