【正文】 能量弱目標（或小目標）。而能量弱目標則用另一種形式的信噪比來描述，其定義為： （）式中分子表示目標像素的灰度能量和，分母則表示背景噪聲像素的灰度能量和。運動弱小目標檢測跟蹤問題的關(guān)鍵在于沿未知目標軌跡的快速能量積累問題，即把運動目標檢測問題看成目標軌跡搜索及能量積累后作出判決的過程。文獻[3]中Chu認為，對一個未投影的10dB的數(shù)據(jù)而言，一個最優(yōu)投影方法相對于多維最優(yōu)匹配濾波器有不可恢復的3dB的性能損失。近期TBD方法主要包括：三維匹配濾波器方法、三維搜索方法、假設(shè)檢驗方法、動態(tài)規(guī)劃算法和基于差分圖像的方法。該方法可以在低信噪比的情況下消除紅外起伏和隨機噪聲的影響，有效的檢測出點目標。文獻[6]講述Lee等人在處理用紅外圖像序列解決對海上船只的控制和跟蹤時，提出用灰度分割方法首先完成對可能的運動目標的檢測及標記，然后將這些待確定的目標放到后續(xù)的圖像中進行檢驗，看它們是否在一定數(shù)目的后續(xù)幀中出現(xiàn)，若是，則任務(wù)目標時真實的，并在后續(xù)幀中繼續(xù)跟蹤，否則認為目標是虛假的并摒棄該目標，對目標的跟蹤是以計算不同幀中目標的對比度差值來完成。文獻[7]為有效地實現(xiàn)復雜背景下小目標的檢測，利用背景分析的思想，提出了紋理模型驅(qū)動的基于背景分析的小目標檢測方法，可提高對小目標的檢測精度且具有較強抗噪能力。將預(yù)處理后的圖像投影到單幀圖像上，可以得到改善的性能。其檢測的方法大致總結(jié)后可以分為兩類：(1) 先檢測后跟蹤(簡稱 DBT)，對每幀圖像都做出單幀檢測后將若干個單幀檢測結(jié)果相關(guān)聯(lián)，利用目標信息穩(wěn)定性來確認出真正的目標。這種方法主要用于在背景簡單，噪聲較強的圖像中的弱小目標檢測。I．DBT 檢測算法：主要分為單幀檢測和多幀關(guān)聯(lián)兩步，其中單幀檢測又可分為背景抑制和目標提取兩步，每步都有各種不同方法，而整個DBT算法就是這些方法的排列組合。針對常見的點目標檢測，人們已經(jīng)發(fā)展了一系列比較成熟的濾波預(yù)處理算法用于背景抑制，這些方法原理簡單，易于實現(xiàn)，因而得到了廣泛地應(yīng)用。由于目標較小，濾波時很有可能將目標濾掉，此時濾波的模版的選擇就較為重要，除一般的四聯(lián)通和八聯(lián)通模板外，一種帶保護帶的濾波模板和改進的中值濾波模板都可以良好的完成濾波。數(shù)學形態(tài)學是一種用于數(shù)字圖像處理和識別的理論和方法，能夠去除高頻噪聲和背景邊沿高頻分量的干擾，是一種有效的弱小目標檢測方法。常用的運算包括腐蝕、膨脹、開運算和閉運算等。此外，使用 Tophat 算子也可達到較好的背景抑制效果。對于弱小目標而言，許多研究者將其等同于噪聲，試圖估計出沒有弱小目標的圖像，與原圖像相減，在殘差圖像上檢測出弱小目標。估計背景圖像的方法主要為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法。隨著小波理論的發(fā)展，這種方法被頻繁用于弱小目標的檢測。(2) 目標提取方法。閾值分割主要采用自適應(yīng)閾值分割的方法，直接將目標從背景中分離出來。(3) 多幀關(guān)聯(lián)方法。經(jīng)過單幀檢測后得到的圖像含有的主要信息為弱小目標和噪聲。而隨機噪聲因其隨機性則不具備上述特點。II．TBD 檢測算法：概括起來包含三個步驟：一是背景抑制；二是可疑目標跟蹤；三是目標檢測。這種算法是在加性背景雜波及噪聲的圖像序列中檢測已知速度大小和方向的目標的最優(yōu)三維線性匹配濾波器(平面二維，時間一維)。這種方法可以實現(xiàn)多條航跡的同時檢測。(2) 多級假設(shè)檢驗方法。檢測的方法是：根據(jù)限定的速度及方向，沿著軌跡上的像素灰度累加值與兩個門限進行比較，超過上門限的軌跡認為是目標軌跡，低于下門限的軌跡作為噪聲軌跡，介于上下門限之間的軌跡繼續(xù)延伸，在下一幀上進行同樣的判斷。但在低信噪比下，候選目標軌跡的起始點非常多，導致計算量迅速增大，同時在檢測過程中會出現(xiàn)檢測幀數(shù)大于固定長度假設(shè)檢驗算法幀數(shù)。動態(tài)規(guī)劃檢測方法是由 Barniv首先提出來的，利用動態(tài)規(guī)劃分段優(yōu)化的思想，將目標軌跡搜索問題分解為分級優(yōu)化的問題?；趧討B(tài)規(guī)劃的檢測方法是基于像素級的操作運算，能在低信噪比下檢測出做直線運動的點目標軌跡且計算量小。(4) 投影變換方法。檢測方法是每一幀圖像經(jīng)過門限處理，檢測出投影在同一個平面上的點，再對投影平面進行門限處理，采取計算量較小的后處理方法檢測出目標運動的軌跡，最后采用投影法確定目標軌跡在三維空間的大致范圍，將檢測出的目標軌跡還原到三維空間進行匹配濾波。(5) 時域濾波方法。檢測方法是當目標靠近某一像素點時會出現(xiàn)幅值上升，離開該像素點時幅值降，從而出現(xiàn)先升后降的特性，而背景則無此特征，時域濾波正是利用此差別來進行檢測的。此外，對于弱小目標的識別算法的研究可以發(fā)現(xiàn)，弱小目標不具有形狀特性，因此弱小目標的識別框架只包含少數(shù)的幾種，主要包含了噪聲點、紅外星體、真實目標和伴隨誘餌四種。因此許多文章將弱小目標檢測和識別當作一個概念進行研究。最常用的是將不同紅外圖像傳感器得到的信息進行融合，增強信息的互補性，提高識別能力，分步實現(xiàn)弱小目標識別。也有利用改進證據(jù)組合公式，將多幀圖像進行像素級融合，也得到了不錯的識別效果。由于傅立葉分析使用的是一種全局變換，對信號性質(zhì)的討論要么完全在時域，要么完全在頻率域。為了克服傅立葉分析的缺陷，1946年，Dennis Gabor引入短時傅立葉變換。短時傅立葉變換將待處理信號分成許多小的時間間隔的信號，再用傅立葉變換分析每一個時間間隔，以便確定該時間間隔存在的頻率。其本質(zhì)上僅具有單一分辨率，若要改變分辨率就必須要重新選擇窗函數(shù)。這些都是短時傅立葉變換無能為力的。80年代末期與90年代初期，Grossman、Meyer、Coifmann以及Daubechies等人建立起小波分析理論的框架，尤其是Daubechies對小波的構(gòu)造做出了小波史上具有里程碑意義的貢獻。該算法在小波分析中的地位與傅立葉分析中的FFT地位相同。小波變換理論經(jīng)過了十多年的研究發(fā)展，現(xiàn)在已經(jīng)取得了一系列豐碩的理論成果。其應(yīng)用研究存在如下需要解決的問題：基于小波變換的圖像壓縮技術(shù)仍然存在實時性較差，所需存儲空間偏大，以及不同的圖像源，采用同一小波其壓縮圖像恢復質(zhì)量存在差別的問題。同時選擇最佳的小波變換使得圖像處理技術(shù)得到很好的發(fā)展十分重要。1995年Seweldens通過研究完全構(gòu)濾器的相位矩陣分解，利用經(jīng)典的Euclidean算法，提出了基于提升格式表示的小波濾波器分解算法。2001年Oraintara、Tran、Heller以及Nguyen等人將Vaidyanathan建立的多采樣率理論與小波變換的消失矩性質(zhì)相結(jié)合。另外，在2001年我國的水鵬朗給出了一種有效的M帶正交尺度函數(shù)的設(shè)計方法。其中雙正交小波的提出更進一步的體現(xiàn)小波理論應(yīng)用于圖像檢測的優(yōu)越性。本文各章節(jié)的主要內(nèi)容安排如下：第一章是緒論，簡要介紹了課題的研究背景和意義、國內(nèi)外弱小目標檢測技術(shù)的研究現(xiàn)狀和小波理論的發(fā)展概況；第二章是本文的重點之一，為小波變換的理論和應(yīng)用。總結(jié)論文與創(chuàng)新點，并加以展望。 小波變換理論基礎(chǔ) 小波變換的定義及特點（1）小波變換的概念小波（wavelet），即小區(qū)域的波，是一種特殊的長度有限并且平均值為零的波形。傳統(tǒng)的傅里葉分析所用的正弦波在時間上沒有限制，從負無窮到正無窮，但小波傾向于不對稱。小波的定義：設(shè)函數(shù)，為平方可積空間，即為能量有限的函數(shù)，且滿足條件 （）其中是的傅立葉變換，則稱是基本小波或母小波。 母小波通過伸展和平移變換，得到連續(xù)小波： （）其中，a是小波函數(shù)的時間軸尺度伸縮參數(shù)，它反應(yīng)一個特定基函數(shù)的尺度(寬度)，b是時間平移參數(shù)，不同b值的小波沿時間軸移動到不同的位置。同時，還可以看出，母小波的能量集中在原點，而小波函數(shù)的能量集中在b點。小波變換繼承和發(fā)展了Garbor變換局部化的思想，同時又克服了窗口固定等不足，它在時域和頻域都具有良好的局部化性質(zhì)，可以聚焦到對象的任何細節(jié)，它和傅里葉變換非常類似，即是把原始函數(shù)分解為另一空間的一組基函數(shù)的加權(quán)和，其目的是利用基函數(shù)更簡單并能更直觀地表達原始信號某些特征(如邊緣)的特點。信號的小波變換有內(nèi)積和卷積兩種表達方式，二者的本質(zhì)是相同的。設(shè)滿足允許條件，令，則可得到f(t)的卷積型小波變換： ()進行小波變換首先要選擇母小波，母小波的選擇既不是唯一的，也不是任意的，它必須滿足允許條件()。因為母小波必須滿足條件因為母小波必須滿足條件 ， （） 這說明波函數(shù)具有衰減性和波動性，且平均值為0，它們是一系列有限寬度的波。因此，小波變換的實質(zhì)就是把信號和一個尺度伸縮的小波進行卷積，假設(shè)小波是實函數(shù)，因為小波的積分為0，所以小波系數(shù)度量的是以b為中心、半徑大小與a成比例的任何鄰域內(nèi)信號的局部變化。（2）小波變換的特點根據(jù)小波及小波變換的定義，我們可以看出小波變換具有以下特點：① 有多分辨率，也叫多尺度的特點。由于傅里葉變換的尺度特性可知這組濾波器具有品質(zhì)因數(shù)恒定，即相對帶寬（帶寬與中心頻率之比）恒定的特點。小波分析的主要優(yōu)點就是能夠分析信號的局部特征，例如可以發(fā)現(xiàn)疊加在一個非常規(guī)范的正弦信號上的一個非常小的畸變信號的出現(xiàn)時間。利用小波分析可以非常準確的分析出信號在什么時候發(fā)生畸變。還能以非常小的失真度實現(xiàn)對信號的壓縮和消噪，它在圖像數(shù)據(jù)壓縮方面的潛力已經(jīng)得到了確認。 多分辨率分析1988年，[8]，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，多分辨率分析是小波分析中最重要的概念之一它從函數(shù)空間的高度研究函數(shù)的多分辨率表示，將一個函數(shù)表示為一個低頻成分和不同分辨率下的高頻成分。正交小波變換的快速算法如Mallat算法也是以多分辨率分析為基礎(chǔ)產(chǎn)生的。其分解的最終目的是力求構(gòu)造一個在頻率上高度逼近空間的正交小波基（或者是正交小波包基），這些頻率分辨率不同的正交小波基相當于帶通濾波器。② 函數(shù)空間序列，j∈Z的逼近性：,。伸縮性體現(xiàn)了尺度的變化、逼近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性。⑤ Riesz基存在性：存在，使得構(gòu)成的Riesz基。定義函數(shù)， （）則函數(shù)系是規(guī)范正交的。從包容關(guān)系,我們很容易得到尺度函數(shù)的一個極為有用的性質(zhì)。另一方面，由于，故,這意味著小波基函數(shù)可以用的子空間的正交基展開，令展開系數(shù)，即有 （）這就是小波函數(shù)的雙尺度方程[9]。 綜上所述，為了使構(gòu)成子空間的正交基，生成元應(yīng)該具備以下性質(zhì)：① 尺度函數(shù)的容許條件。③ 尺度函數(shù)具有正交性，即。⑤ 跨尺度的尺度函數(shù)與相關(guān)，也就是滿足小波函數(shù)的雙尺度方程（）。同時，尺度函數(shù)還應(yīng)該是R域上的實值函數(shù)，并且是r次可微的。Mallat算法是利用多分辨分析的特征進行快速小波變換的算法，它在小波分析中的地位相近于FFT在經(jīng)典Fourier分析中的地位。可以證明，圖中G為高通濾波器，H為低通濾波器，和分別為G、H的鏡像濾波器。它的逆過程是：低尺度和低分辨率的信號逼近通過兩個樣本之間插入零值進行拉伸，再經(jīng)過低通濾波器H得到在高尺度下的低分辨率的逼近；低尺度和低分辨率的細節(jié)同樣經(jīng)過提升尺度后得到高尺度下的細節(jié)；將它們相加就可以重構(gòu)原始信號 ()下面介紹下分解與重構(gòu)的過程：假定選擇了空間和函數(shù)，且是正交的，設(shè)是相伴的正交小波基，和是實的。數(shù)據(jù)列構(gòu)成的函數(shù)f： （）或者 （）顯然，這函數(shù)屬于，對于這個函數(shù)用上一節(jié)的多分辨分析。由于的元素f可以被分解為它的屬于和的分支： （）各個分支對應(yīng)的正交基為和，被擴展為 （） （）序列表示原數(shù)據(jù)列的平滑形式，而表示和之間的信息差，序列和可以作為的函數(shù)用下式計算，由于是的正交基，有 （）其中， （）注意這里的包括正規(guī)化因子。于是得到 （）或者寫為 ()類似可以得到 ()根據(jù)需要多次迭代后得到 （）其中。迭代是原始越來越低的分解形式，每次采樣點比它前一步少一倍。并且在每一步中，Mallat算法都保持非零元總數(shù)。 正交尺度函數(shù)與正交小波（1） 正交尺度函數(shù)在第二小節(jié)里已經(jīng)提出了尺度函數(shù)的方程式，從各種小波構(gòu)造和小波算法來看，小波函數(shù)總是和尺度函數(shù)密切聯(lián)系在一起，在第二節(jié)里多分辨分析的時候可以知道小波函數(shù)的構(gòu)造實際上是從構(gòu)造尺度函數(shù)開始的，為此，我們在構(gòu)造函數(shù)之前先研究下正交尺度函數(shù)的構(gòu)造方法。下面來看方程是否有解，如何求解兩尺度方程。下面采用頻域迭代法來構(gòu)造：對雙尺度方程（）和（）兩邊進行傅立葉變換得到 （） （）其中，稱，為雙尺度符號。由式（）可以得到 （）若無窮乘積收斂，則。，下面給出一種簡單的代數(shù)構(gòu)造法。具體的定義過程和理論基礎(chǔ)將在第5小節(jié)里討論。 （）可以看出，若能求得，則可構(gòu)造對偶的尺度函數(shù)。（2）正交小波假設(shè)滿足小波母波公式的容許條件，如果其二進伸縮和平移得到的小波基函數(shù)，即， （）構(gòu)成的規(guī)范正交基。 從第二小節(jié)多分辨率分析討論可知，任意給定一個多尺度分析，就可以相應(yīng)地得到小波基函數(shù)以及一