【正文】 22 bac ?? （一個(gè) Rt 三角形 ） （ 2）焦點(diǎn)在 y 軸上，中心在原點(diǎn)： 12222 ??bxay （ a＞ b＞ 0）； 焦點(diǎn) F1（ 0， － c）， F2（ 0， c）。 ②平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和一定直線的距離的比是小于 1的正常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，即點(diǎn)集 M={P| edPF?， 0＜ e＜ 1的常數(shù) ? 。 1 橢圓 一．知識(shí)清單 ： ①平面內(nèi)與兩定點(diǎn) F1， F2的距離的和等于定長(zhǎng) ? ?2122 FFaa ? 的 動(dòng) 點(diǎn) P 的軌跡，即點(diǎn)集 M={P| |PF1|+|PF2|=2a， 2a＞ |F1F2|}；（ 212 FFa ? 時(shí)為線段 21FF ， 212 FFa? 無(wú)軌跡）。其中兩定點(diǎn) F1， F2 叫焦點(diǎn)，定點(diǎn)間的距離叫焦距。（ 1?e 為拋物線； 1?e 為雙曲線） （利用第二定義 ,可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化 ，定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線 ） . 2 標(biāo)準(zhǔn)方程： （ 1）焦點(diǎn)在 x軸上，中心在原點(diǎn)： 12222 ??byax （ a＞ b＞ 0）； 焦點(diǎn) F1（ － c， 0）， F2（ c， 0）。其中 22 bac ?? 注意： ①在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有 a＞ b＞ 0， 22 bac ?? 并且橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上； ② 兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示： Ax2+By2=1 （ A＞ 0， B＞ 0， A≠ B），當(dāng) A＜ B時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在 x軸上，A＞ B 時(shí)焦點(diǎn)在 y 軸上。 |PF1|= 左r =a+ex0， |PF2|= 右r =aex0； |PF1|=下r =a+ey0， |PF2|=上r =aey0 caPFcaPF ???? m inm a x , ，左加右減， 上減下加 ⑥ 通徑： 過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱(chēng)為橢圓通徑，通徑最短 = ab22 平面幾何性質(zhì)： ⑦ 離心率： e= 222 1c c ba a a??? ? ? ????（焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比） ? ?1,0? ； e 越大越扁， 0?e 是圓。 6． 焦點(diǎn)三角形 應(yīng)注意以下關(guān)系： (1) 定義： r1＋ r2＝ 2a (2) 余弦定理： 21r ＋ 22r － 2r1r2cos? ＝ (2c)2 (3) 面積：21FPFS?＝21r1r2 sin? ＝21 題型 2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例 ，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為 24 － 4，求此橢圓方程 . 考點(diǎn) 2 橢圓的幾何性質(zhì) 題型 1:求橢圓的離心率（或范圍） 例 4. 在 ABC△ 中， 3,2||,30 0 ???? ? A B CSABA ．若以 AB， 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) C ，則該橢圓的離心率e? ． 題型 2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對(duì)稱(chēng)性等） 例 5. 已知實(shí)數(shù) yx, 滿足 12422 ?? yx,求 xyx ?? 22 的最大值與最小值 O x y D P A B C Q 4 考點(diǎn) 3 橢圓的最值問(wèn)題 題型 1: 動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí) 涉及的距離、面積的最值 例 191622 ??yx上的點(diǎn)到直線 l: 09???yx 的距離的最小值為 ___________． 題型 2. 一、 的最值 若 A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)（異于焦點(diǎn)）， P 是 C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， F 是 C的一個(gè)焦點(diǎn)， e 是 C 的離心率，求 的最小值。 分析：注意到式中的數(shù)值“ ”恰為 ，則可由橢圓的第二定義知 等于橢圓上的點(diǎn) P 到左準(zhǔn)線的距離。 例 8 已知橢圓 內(nèi)有一點(diǎn) A（ 2， 1）， F為橢圓的左焦點(diǎn)， P 是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求 的最大值與最小值。 故 的最大值為 ，最小值為 。 例 9. 已知橢圓 外一點(diǎn) A（ 5， 6）， 為橢圓的左準(zhǔn)線， P 為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P 到 的距離為 d，求的最小值。 故 的最小值為 10。 考點(diǎn) 4 直線與橢圓相交問(wèn)題 題型 1 直線與橢圓相交求弦長(zhǎng) (1) 常用分析一元二次方程 解的情況，僅有△還不夠，且用數(shù)形結(jié)合的思想。 221 2 1 2211 1 1A B k x x y y kka ?? ? ? ? ? ? ? ? 1212bxxacxxa? ? ?????? ???（ a,b,c 為方程的系數(shù)） 例 l 過(guò)橢圓 7298 22 ?? yx 的一個(gè)焦點(diǎn)，斜率為 2， l 與橢圓相交于 M、 N 兩點(diǎn)，求弦 MN 的長(zhǎng)。“設(shè)而不求”的思想。 步驟： A(x1,y1) B(x2,y2)分別代入橢圓方程； ),( 00 yxp 為 AB 的中點(diǎn)。 ：根據(jù)條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn) (x， y)，直接列出動(dòng)點(diǎn)所應(yīng)滿足的方程。其關(guān)鍵是列出 P、 Q 兩點(diǎn)的關(guān)系式??? ?? ),( ),(0 yxyy yxfxo ：通過(guò)對(duì)軌跡點(diǎn)的分析，發(fā)現(xiàn)與某個(gè)圓錐曲線的定義相符，則通過(guò)這個(gè)定義求出方程。 常用的參數(shù)有斜率 k 與角 ? 等。 （ I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ II）過(guò)點(diǎn) 1F 的直線 l 與該橢圓交于 ,MN兩點(diǎn)，且22 2 2 63F M F N??，求直線 l 的方程。 已知橢圓 C: 的離心率為 ，過(guò)右焦點(diǎn) F 的直線 l與 C 相交于 A、 B 22 兩點(diǎn)，當(dāng) l的斜率為 1 時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn) O 到 l的距離為 10 綜合訓(xùn)練 B組 1．下列命題是真命題的是（ ） A．到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓 B．到定直線cax 2?和定點(diǎn) F(c， 0)的距離之比為ac的點(diǎn)的軌跡是橢圓 C．到定點(diǎn) F(－ c， 0)和定直線cax 2??的距離之比為ac(ac0)的點(diǎn)的軌跡 是左半個(gè)橢圓 D．到定直線cax 2?和定點(diǎn) F(c， 0)的距離之比為ca(ac0)的點(diǎn)的軌跡是橢圓 2．若橢圓的兩焦點(diǎn)為（－ 2， 0）和（ 2， 0），且橢圓過(guò)點(diǎn) )23,25( ?，則橢圓方程是（ ） A． 148 22 ??xy B． 1610 22 ??xy C． 184 22 ??xy D． 1610 22 ??yx 3．若方程 x2+ky2=2 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為（ ） A．（ 0， +∞） B．（ 0， 2） C．（ 1， +∞） D．（ 0， 1） 4．設(shè)定點(diǎn) F1（ 0，－ 3）、 F2（ 0， 3），動(dòng)點(diǎn) P 滿足條件 )0(921 ???? aaaPFPF，則點(diǎn) P 的軌跡是（ ） A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段 5．橢圓 12222 ??byax 和 kbyax ??2222 ? ?0?k 具有（ ） A． 相同的離心率 B． 相同的焦點(diǎn) C． 相同的頂點(diǎn) D． 相同的長(zhǎng)、短軸 6．已知 ? ?yxP , 是橢圓 125144 22 ?? yx上 的點(diǎn)，則 yx? 的取值范圍是 ________________ ． 7．已知橢圓Ｅ的短軸長(zhǎng)為 6，焦點(diǎn)Ｆ到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離等于９，則橢圓Ｅ的離心率等于 __________________． )0(12222 ??? bbyx 的左、右焦點(diǎn)分別是 1F 、 2F ，其一條漸近線方程為 xy? ，點(diǎn) ),3( 0yP 在雙曲線上 .則 1PF 求 21tan PFF . 12．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) )22,0(1 ?F ，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為 249??y ，且離心率 3432和為e 的等比中項(xiàng) .（ 1）求橢圓方程，（ 2）是否存在直線 l與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M、 N，且線段 MN 恰為直線 21??x 平分？若存在，求出直線 l的傾斜角的范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 13．橢圓的中心是原點(diǎn) O，它的短軸長(zhǎng)為 22 ，相應(yīng)于焦點(diǎn) F（ c， 0）（ 0?c ）的準(zhǔn)線 l 與 x軸相交于點(diǎn) A， |OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn) A的直線與橢圓相交于 P、 Q 兩點(diǎn) . （ 1）求橢圓的方程及離心率； （ 2）若 0??OQOP ，求直線 PQ 的方程； （ 3）設(shè) AQAP ?? （ 1?? ），過(guò)點(diǎn) P 且平行于準(zhǔn)線 l 的直線與橢圓相交于另一點(diǎn) M，證明 FQFM ??? . 14 基礎(chǔ)訓(xùn)練 A組 答案： 1． A 2． C 3． D 4． C 5． C 6． 12736 22 ??xy 7． 11015 22 ??yx ：設(shè)切點(diǎn) 00( , )Px y ，則切線的斜率為039。 解：（Ⅰ）設(shè) ? ?,0,cF 當(dāng) l 的斜率為 1 時(shí)，其方程為 Ocyx ,0??? 到 l 的距離為 2200 cc ??? 故 222?c， 1?c 15 由 33??ace 得 3?a ， 22 cab ?? = 2 （Ⅱ） C 上存在點(diǎn) P ，使得當(dāng) l 繞 F 轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有 OBOAOP ?? 成立。 （ⅱ）當(dāng) l 垂直于 x 軸時(shí)，由 )0,2(?? OBOA 知， C上不存在點(diǎn) P使 OBOAOP ?? 成立。 2PF ＝ 01)32)(32()1,32)(1,32( ??????????? 9 【 解 析 】 對(duì) 于 ? ?,0Aa ， 則 直 線 方 程 為 0x y a??? ， 直 線 與 兩 漸 近 線 的 交 點(diǎn) 為 B ， C ，22, , ( , )a a b a a bBCa b a b a b a b?? ???? ? ? ???， 則 有 222 2 2 222( , ) , ,a b a b a b a bB C A Ba b a b a b a b??? ? ? ???? ? ? ???，因222 , 4 , 5A B B C a b e? ? ? ? ?． 10【解析】由已知得到 2,3,1 22 ????? bcacb ，因?yàn)殡p曲線