淺談高等代數(shù)在中學(xué)的應(yīng)用-在線瀏覽
2024-08-02 17:17本頁(yè)面
【正文】 分解.例1分解因式.解：.例2 將分解因式.解：.例3 分解因式.解：.利用行列式分解因式的關(guān)鍵是將所給多項(xiàng)式的形式寫(xiě)成行列式的形式，并注意行列式的排列規(guī)則. 行列式在解析幾何中的應(yīng)用定理1（1）以平面內(nèi)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的的面積的絕對(duì)值.（2）通過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為.例 求過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線的方程.解 由，得直線的方程為.（3）平面內(nèi)三條直線.相較于一點(diǎn)或互相平行的充要條件是：.推論平面上三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是.定理2 通過(guò)平面上三點(diǎn)的圓的方程為.例1 平面上給出三個(gè)兩兩相交的圓，每?jī)蓚€(gè)圓有一條根軸，則三條根軸互相平行或交于一點(diǎn).證明：，它們所在的直線方程為三條直線方程的系數(shù)行列式為故三直線平行或相較于一點(diǎn).,居高臨下,讓人耳目一新.第2章 線性方程組在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。線性方程組是否有解、有解時(shí)解的數(shù)量、通解的公式表示、解的幾何意義等一系列問(wèn)題都得到了圓滿的解決,體現(xiàn)了高等代數(shù)相對(duì)于初等代數(shù)的新觀點(diǎn)、新思想、新方法的優(yōu)越性,對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有高屋建瓴的指導(dǎo)作用。并且,根據(jù)線性方程組解的理論容易知道解的只有三種情況(唯一解、無(wú)解、無(wú)窮多解)以及具體判定方法和解的結(jié)構(gòu)特征。Cramer法則的意義主要在于:明確了解的存在性與唯一性,為判斷這類方程組的有解性提供了比較直接的方法。以公式的形式給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系,為一般線性方程組公式解的表達(dá)式提供了理論依據(jù)。利用線性方程組的理論容易解決平面共點(diǎn)、共線、平行與重合的問(wèn)題。3。（2）平面族過(guò)同一平面(重合)的條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都等于1。此外線性方程組理論還可解決直角坐標(biāo)平面上四點(diǎn)共圓或者過(guò)不共線的三點(diǎn)的圓的方程等問(wèn)題。實(shí)際上,n元二次多項(xiàng)式可以和n+1元二次型聯(lián)系起來(lái)。一般地,如果n元二次多項(xiàng)式為 則稱n +1元二次型 為對(duì)應(yīng)的二次型。因此可以主要考慮二次型的分解。實(shí)數(shù)域上二次型可分解的充要條件是它的秩等于1,或者秩是2且符號(hào)差是0。考慮一個(gè) n 元二次型：，其中,.定義一個(gè)二次型經(jīng)過(guò)非線型替換變成的平方和，稱為的標(biāo)準(zhǔn)型.定理1 實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)二次型 都可以經(jīng)過(guò)非退化的線性替換變成平方和（1）的形式.定理2 一個(gè)實(shí)二次型可以分解成兩個(gè)實(shí)數(shù)系的一次齊次多項(xiàng)式乘積的充要條件是它的秩等于2和符號(hào)差為0，或秩等于1.例 1 試判斷下列多項(xiàng)式在 R 上能否分解，若能，分解之.解 1) 令,則，下面考慮的秩和符號(hào)差，對(duì)作非線性替換:， 即 有，可見(jiàn)的秩是3，有定理2，知不能分解，從而也不能分解.解 2) 令， 即 有，從而，可見(jiàn)的秩為2，符號(hào)差為0，有定理2，知可以分解，且定理2 對(duì)于n元實(shí)二次型為的特征值,則對(duì)于任意,有.例3 設(shè)是實(shí)數(shù),.解 令,則的矩陣.令,因此,特征值.由定理得,注意到,從而,所以的最大值為9,最小值為1.由此可見(jiàn),運(yùn)用高等代數(shù)中二次型定理可以順利解決二次型在條件下的取值范圍,解法流程清晰,易于掌握.第4章 矩陣與變換引入中學(xué)數(shù)學(xué)的意義及應(yīng)用新課標(biāo)中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重大變化就是把大量原屬高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容下放到中學(xué)供學(xué)生選修，以開(kāi)闊學(xué)生的視野，滿足不同學(xué)生的數(shù)學(xué)需要，、
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