計(jì)算方法第一講ppt課件-在線瀏覽
2025-06-20 07:08本頁(yè)面
【正文】 17521833) Hermite(18221901) Gauss(17771855) Cauchy(17891857) Jacobi(18041851) Adams(18191892) Chebyshev(18211894) Laguerre(18341886) 第一講數(shù)值分析的意義內(nèi)容與方法 ? 起源：尋找有效的方法獲得數(shù)學(xué)問(wèn)題的近似解。 ? 數(shù)學(xué)問(wèn)題源于物理，天文，勘測(cè)等 ? 在僅使用紙，筆，大腦，而不是計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，算法效率尤為重要。 實(shí)際問(wèn)題 數(shù)學(xué)問(wèn)題 可計(jì)算問(wèn)題 數(shù)學(xué)建模 構(gòu)造算法 計(jì)算求解 計(jì)算結(jié)果 反饋、修正、應(yīng)用 解決實(shí)際問(wèn)題 計(jì)算數(shù)學(xué)是科學(xué)計(jì)算的核心 ? 計(jì)算數(shù)學(xué) 對(duì)數(shù)學(xué)模型問(wèn)題研究數(shù)值求解方法，分析方法的性質(zhì) 數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法化為可計(jì)算問(wèn)題，然后進(jìn)行計(jì)算求得結(jié)果 ? 按研究?jī)?nèi)容可分為：數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近、數(shù)值微積分、微分方程數(shù)值解、最優(yōu)化計(jì)算、概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算、計(jì)算幾何、計(jì)算力學(xué)等。 算法及其好壞 ? 計(jì)算機(jī)的基本運(yùn)算：四則運(yùn)算、簡(jiǎn)單邏輯運(yùn)算 ? 計(jì)算機(jī)的算法可分為串行算法和并行算法 ? 好的算法： 面向計(jì)算機(jī)，易于編程和計(jì)算實(shí)現(xiàn)； 計(jì)算復(fù)雜性好：計(jì)算時(shí)間少、占用內(nèi)存少； 計(jì)算穩(wěn)定性好：能有效控制由于方法近似和舍入 誤差引起的誤差增長(zhǎng)，結(jié)果能達(dá)到所要求的精度； 適用性好。 10 1 1()nnnnp x a x a x a x a??? ? ? ? ?? 普通方法 時(shí)間： n(n+1)/2次乘法； n次加法 ? 秦九韶算法 0 0 1, , 1 , 2 , ,()k k knb a b a a b k np a b?? ? ? ??? ??時(shí)間： n次乘法； n次加法 例：計(jì)算多項(xiàng)式： 需 10次乘法 4次加法 。 這是多項(xiàng)式計(jì)算的 秦九韶 算法 。 4 3 20 . 0 6 2 5 0 . 4 2 5 1 . 2 1 5 1 . 9 1 2 2 . 1 2 9 6x x x x? ? ? ?( ( (0 . 0 6 2 5 0 . 4 2 5 ) 1 . 2 1 5 ) 1 . 9 1 2 ) 2 . 1 2 9 6x x x x? ? ? ?22[ ( 0 .5 0 .6 ) 0 .5 0 .7 ] [ ( 0 .5 0 .6 ) 0 .8 ] 0 .9x x x? ? ? ? ? ? ?例 4 解代數(shù)方程 ： 1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??/ , 1 , 2 , ,kkx D D k n??直接法：用 Cramer法則解， 若 det(A)不為 0， 數(shù)值計(jì)算的基本方法論 ? 有限近似無(wú)限：有限維空間代替無(wú)限維空間；有限和代替積分或無(wú)限級(jí)數(shù)；差商近似導(dǎo)數(shù)； ? 代數(shù)方程組近似微分方程組； ? 高階方程低階化 ? 非線性問(wèn)題線性化 ? 復(fù)雜函數(shù)用簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)代替（多項(xiàng)式泰勒展開(kāi)） ? 一般矩陣簡(jiǎn)單化 原則：復(fù)雜問(wèn)題 Q1 簡(jiǎn)單問(wèn)題 Q2 Q2與 Q1的解在一定意義下相同。 對(duì)于這類問(wèn)題的計(jì)算 ， 一定要采用 高精度計(jì)算 。 例：如在尾數(shù)為 4位的計(jì)算機(jī)上計(jì)算 其真正值為 ， 但計(jì)算結(jié)果為： ，但如果先進(jìn)行有理化在計(jì)算 ， 結(jié)果為： ， 顯然 ， 后一種計(jì)算精度高 。 9 80?2 1 010 ( 0. 31 97 ) 10 ( 0. 24 56 ) 10 ( 0. 13 52 )??例：如在尾數(shù)為 4位的計(jì)算機(jī)上計(jì)算 按兩種不同遞推計(jì)算 ， 結(jié)果為： 11011
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