【正文】 則 E（ 0,2， 2） .∵ DE ＝（－23， 0,2）， 1AC ＝（－ 3,0，4）， ∴121 ACDE ?， ∴ DE∥ AC1. 點(diǎn)評(píng)： 平行問題的轉(zhuǎn)化： 面面平行 線面平行 線線平行； 主要依據(jù)是有關(guān)定義及判定定理和性質(zhì)定理 ． 例題 4. （ 北 京 市 東 城區(qū) 2020 年 綜 合 練習(xí) ） 如圖 ， 在棱 長為 2 的正 方 體ABNBCMBDODCBAA B C D 為的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為中 , 11111?的中點(diǎn)， P 為 BB1 的中點(diǎn) . （ I）求證： CBBD 11 ? ； （ II）求證 MNPBD 平面?1 ； （ III）求異面直線 MCOB 11 與 所成角的大小 . 分 析 ： 本小題考查直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力 . 解法一：（ I）連結(jié) BC1 由正方體的性質(zhì)得 BC1 是 BD1 在 平面 BCC1B1 內(nèi)的射影 11 BCCB ?且 ， 所以 CBBD 11 ? (II)又 MPMMN ?? ， .1 M N PBD 平面?? （ III）延長 OBBMBCB , 1連結(jié)使到 ? .// .,// 11 1111MCQB BCQMBCQM? ?且則 .111 所成的角與是異面直線 MCOBQOB?? 由于正方體的棱長為 2， 共 28 頁 第 8 頁 1515532)6()5()3(c os.6,5,322212121122111?????????????QOBQOOOOQOA B C DBQBBQBOB可求得的中點(diǎn)為設(shè)底面則 即異面直線 MCOB 11 與 所成角的大小為 arccos 1515 . 解法二：（ I）如圖建立空間直角坐標(biāo)系 . 則 B（ 2， 2， 0）， C（ 0， 2， 0） B1（ 2， 2， 2）， D1（ 0， 0， 2） . ),2,0,2(),2,2,2(11??????DBBD ?????? 3 分 CBBDCBBD1111 .0404?????? CBBD 11 ?? （ II） )0,1,2(),1,2,2(),0,2,1( NPM ， ,0022,0202),0,1,1(),1,0,1(11 ???????????????MNBDMPBDMNMP? , ., 11 MPMMN MPBDMNBD ? ??? ?又 M N PBD 平面?? 1 . （ III） ?所成的角為與設(shè)異面直線 MCOBCO 111 ),2,2,0(),1,1,1( ， ).2,0,1(),1,1,1( 11 ?????? MCOB則 .1)2()1(0)1(1111 ???????????? MCOB .51553 1|||| ||c os 11 11 ??????? MCOB MCOB? 即 異面直線 MCOB 11 與 所成角的大小為 arccso .515 共 28 頁 第 9 頁 點(diǎn)評(píng)： 證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直即 可 .這些從 本題 證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來 考點(diǎn)三 求空間圖形中的角與距離 根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一 .解題時(shí)注意各種角的范圍： 異面直線所成角的范圍是 0176。其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是 0176。其解法是作垂線、找射影；二面 角 0176。其方法是：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 另也可借助空間向量求這三種角的大小 . 例題 5. （ 河南省開封市 2020 屆高三年級(jí)第三次質(zhì)量檢測(cè) ） 在長方體 ABCD— A1B1C1D1 中，AA1=1， AD=DC= 3 . （ 1）求直線 A1C 與 D1C1 所成角的正切值； （ 2）在線段 A1C 上有一點(diǎn) Q，且 C1Q=31C1A1，求平面 QDC 與平面 A1DC 所成銳二面角的大小 . 分析 ： 求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，向量法辦新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解法一：（ I） ,//11 CDDC? CDA1?? 為異面直線 A1 C 與 D1C1 所成的角 連 A1 D，在 Rt△ A1 DC 中， CD= 3 ， A1 D=2， .3 32ta n 1 ??? CDA （ II）過 Q 作 EF（在平面 A1 C1 內(nèi) ）使 EF//A1 B1 ， CDEF//? 連 B1C、 CF、 DF，（面 EFCD 即平面 QDC；面 A1B1CD 即平面 A1DC） , ,1 11 CFDCCBDC BB C CDC ??? ? 面? CFB1??即為二面角 A1— DC— Q 的平面角 . QFCACQC1111 ,31 ???~21, 11111 ???? QA QCEA FCQEA. 221 1 1 1 122111113 2 3 2 3, . 2 , ,3 3 33, c o s ,C F B F B C CF CC C FCB CF B FB CF B CFCB CF? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??又在 中 共 28 頁 第 10 頁 ?301 ??? CFB ，即所求二面角大小為 30176。 EH DBCAC 1A 1B 1共 28 頁 第 11 頁 分析 ： 本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識(shí) , 本題實(shí)質(zhì)上求解角度和距離 ,在求此類問題中，要將這些量處于三角形中 ,最好是直角三角形 ,這樣有利于問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法 . 解答 ： （ 1）證明：建立如圖所示， )0,2,1( )0,1,2( 1 ????? DAAE )3,0,0( ??BD ∵ 0221 ???? DAAE 0)3(000 ?????? BDAE ∴ BDAEDAAE ?? ,1 即 AE⊥ A1D， AE⊥ BD ∴ AE⊥面 A1BD （ 2）設(shè)面 DA1B 的法向量為 ),( 1111 zyxn ? 由??????? ??????? 02 0)3(0 0 111111 yxzBDnDAn ∴取 1 (2,1,0)n ? 設(shè)面 AA1B 的法向量為 0,0),( 12122222 ????? AAnBAnzyxn ，則由 )3,0,3( 02 032 22222 ????? ? ????? ny zyx 取 515125 6, 21 ????? nn 由圖可知二面角 D— BA1— A 為銳角， ∴它的 大小為 arcos 515 （ 3） )0,2,0(1 ?BB ，平面 A1BD 的法向量取 )0,1,2(1 ?n 則 B1 到平面 A1BD 的距離 d=5 5252|||| 1 11 ???n nBB 點(diǎn)評(píng)： 立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計(jì)算，這是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容 ,本題實(shí)質(zhì)上求解角度和距離 ,在求此類問題中 ,盡量要將這些量處于三角形中 ,最好是直角三角形 ,這樣計(jì)算起來 ,比較簡單 ,此外用向量也是一種比較好的方 法 ,不過建系一定要恰當(dāng) ,這樣坐標(biāo)才比較好寫出來 . 共 28 頁 第 12 頁 考點(diǎn)四 探索性問題 例題 7. (2020 安徽 ， 即 2sin 2?? π0 2???∵ ， π4?∴ = ． 故交 π4?= 時(shí)，直線 BC 與平面 VAB 所成的角為 π6 ． 解法 3：（ Ⅰ ）以點(diǎn) D 為原點(diǎn)，以 DC DB， 所在的直線分別為 x 軸、 y 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 2 2 2( 0 0 0) 0 0 0 0 0 02 2 2D A a B a C a? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，220 ta nV a a ????????， ，于是 220 ta nD V a a ?????????， ， 2 002D C a????????， ，(0 2 0)AB a? ， ， ． 從而 (0 2 0)A B D C a? ， ，即 AB DC? ． 同理 22( 0 2 0) 0 ta n 0A B D V a a a ???? ? ?????， ， ， ， ， 即 π π πsin 02 2 4? ? ?? ? ?， ，∵ ∴ =． 故交 π4?? 時(shí)， 即 直線 BC 與平面 VAB 所成角為 π6 ． 考點(diǎn)五 折疊、展開問題 例題 8．（ 2020 年遼寧高考） 已知正方形 ABCD新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ E 、 F 分別是 AB 、 CD 的中點(diǎn) ,將 ADE沿 DE 折起 ,如圖所示 ,記二面角 A DE C??的大小為 (0 )? ? ???新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ (I) 證明 //BF 平面 ADE 。 考點(diǎn)六 球體與多面體的組合問題 例題 9． 設(shè)棱錐 M— ABCD 的底面是正方形，且 MA＝ MD， MA⊥ AB，如果Δ AMD 的面積為 1，試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑 . 分析 ：關(guān)鍵是找出球心所在 的三角形，求出內(nèi)切圓半徑 . 解： ∵ AB⊥ AD， AB⊥ MA， ∴ AB⊥平面 MAD， 由此，面 MAD⊥面 AC. 記 E 是 AD 的中點(diǎn)，從而 ME⊥ AD. ∴ ME⊥平面 AC， ME⊥ EF. 設(shè)球 O 是與平面 MAD、平面 AC、平面 MBC 都相切的球 . 不妨設(shè) O∈平面 MEF，于是 O 是Δ MEF 的內(nèi)心 . 設(shè)球 O 的半徑為 r，則 r＝ MFEMEF S MEF?? △2 設(shè) AD＝ EF＝ a,∵ SΔ AMD＝ 1. ∴ ME＝ a2 .MF＝ 22 )2(aa ? , 共 28 頁 第 16 頁 r＝22 )2(22aaaa ???≤222 2?＝ 2 1。注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長間的關(guān)系；多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系。； ○2 證明兩條異面直線的方向量相互垂直。 （ 3） 直線和平面垂直 證明方法： ○1 證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直， ○2 證明直線的方向量與這個(gè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量都垂直； ○3 證明直線的方向量與這個(gè)平面的法向量相互平行。； ○2 證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個(gè)平面； ○3 證明兩個(gè)平面的法向量相互垂直。 （ 1） 兩條異面直線的距離 求法：利用公式||| ○2 等體積法。|nnABd ? （其中 A 為已知點(diǎn)， B 為這個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)， n 這個(gè)平面的法向量） 3． 求角 （ 1） 兩條異面直線所成的角 求法： ○1 先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面 直線所成的角，然后通過解三角形去求得； ○2 通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是 ]2,0( ? ，向量所成的角范圍是 ],0[ ? ，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。 ○2 向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角為 ???2 或 2??? 。 ○2 通過射影面積來求原射影Scos S?? （在其中一個(gè)平面內(nèi)找出一個(gè)三角形，然后找這個(gè)三角形在另外一個(gè)平面的射影，那么這個(gè)三角形的射影面積與原三角形面積之比即為 cosα，注意到我們 要求的角為α或π－α）； ○3 向量法，先求兩個(gè)平面的法向量所成的角為α，那么這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角為α或π－α。 （ 2） 我們?nèi)绻峭ㄟ^解三角形去求角、距離的時(shí)候，做到“一找二證三求”，解題的過程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“∠α是我們所要求的角”、“線段 AB 的長度就是我們所要求的距離”等等。 （ 3） 用向量來求兩條異面直線所成角時(shí)，若求出 cosα＝ x，則這兩條異面直線所成的角為α＝ arccos|x| （ 4） 在求直線與平面所成的角的時(shí)候，法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方向量所成角的補(bǔ)交與我們所要求的角互余，所以要 ???2 或 2??? ，若求出的角為銳角，就