二面角求法及經(jīng)典題型歸納-在線瀏覽
2025-05-11 06:31本頁(yè)面
【正文】 建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。 定義法： 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。二面角求法歸納18題，通常是立體幾何（1214分），本題考查空間線面平行、線面垂直、面面垂直的判斷與證明，考查二面角的求法以及利用向量知識(shí)解決幾何問題的能力，同時(shí)考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力。以下是求二面角的五種方法總結(jié)，及題形歸納。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。例1（2009全國(guó)卷Ⅰ理）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)M在側(cè)棱上，=60176。證（I）略 FG解（II）：利用二面角的定義。則即為所求二面角. ∵，則，又∵，∴∵，∴△是等邊三角形，∴FG在△中，∴∴二面角的大小為例2. （2010全國(guó)I理，19題，12分）如圖，四棱錐SABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC平面SBC .（Ⅰ）證明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角ADEC的大小 .(Ⅱ) 由知.故為等腰三角形.取中點(diǎn)F,連接,則.連接，則.所以，是二面角的平面角.連接AG,AG=,所以，二面角的大小為120176。 （Ⅱ）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值.分析：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過證AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命題獲證，而第2題，則首先必須在找到最大角正切值有關(guān)的線段計(jì)算出各線段的長(zhǎng)度之后，考慮到運(yùn)用在二面角的棱AF上找到可計(jì)算二面角的平面角的頂點(diǎn)S，和兩邊SE與SC，進(jìn)而計(jì)算二面角的余弦值。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。（1） 證明：直線EE//平面FCC；（2） 求二面角BFCC的余弦值。BF=FC，H為BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：FH∥平面EDB；（Ⅱ）求證：AC⊥平面EDB；（Ⅲ）求二面角B—DE—C的大?。ㄟ^F作ＤＥ的垂線，交ＤＥ的延長(zhǎng)線于Ｋ，則∠ＢＫＦ即為所求。向量法。求二面角的大?。ㄒ?yàn)?，故為異面直線與CD的夾角，.設(shè)，故面，又作，K為垂足，連接，由三垂線定理，得，因此為二面角的平面角.）例4（2010湖北理18題，12分）如圖, 在四面體ABOC中，OC⊥OA, OC⊥OB,∠AOB=120176。（I） 求直線AD與平面PBC的距離；[來源:]（II） 若AD=，求二面角AECD的平面角的余弦值。（答案：二面
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