【正文】 mnn n nnmHH H H H E m nEE????? ? ? ? ? ??在 表象下， ?zS 112210,01?? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 微擾理論（定態(tài)） ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?20 0 00 0 0 0, ,mn mnn n nn n n mm m n m m nn m n mH HE E HE E E E? ? ???? ??? ? ? ? ? ? ?????b) 簡并 ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 * 0? ?( ) ( )m n m n m nH H r H r d? ? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 0 1 0( 0 ) ( 0 )11, , 0 , , 1 , 2 , . . . ,kki n i n i i l i n l i iiiH E c H E c i l k? ? ? ? ????? ? ? ? ???角動量（軌道和自旋） 2222? ? ?? ? ?? ? ? ?14x y zL L i LS S i SSSS??????? 1 0 0 1 0? ? ?,0 1 1 0 02 2 2z x y iS S S i ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?對兩個 Fermi子體系 : ( ) ( )1( ) ( )000 , 1sASMsASAM?????? ???? ???? ?? ?1d e t 0ij nH E I? ?? * ?il l iH H d? ? ???? ?考慮自旋： ?? ?F F d? ? ?? ?第一章 緒論 掌握微觀粒子（光和實物粒子）的波粒二象性，并舉例說明。 （如：普朗克黑體輻射理論、光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)等） 掌握玻爾的量子理論的表述（三個假設(shè)）。 掌握普朗克的能量子假設(shè)的表述。 總復(fù)習(xí)要點 波粒二象性是微觀粒子的基本稟性，是量子理論的物理基礎(chǔ)。 接著，采用 5 條假設(shè)： 波函數(shù)假設(shè) 、 基本方程假設(shè) 、 算符假設(shè) 、 測量假設(shè) 、全同性原理假設(shè) ，就能邏輯地支撐起非相對論量子理論框架。 掌握定態(tài)的概念；定態(tài)的性質(zhì)。 掌握束縛態(tài)和非束縛態(tài)的概念；一維束縛定態(tài)的性質(zhì)。 1掌握一維線性諧振子系統(tǒng)哈密頓量、能級、波函數(shù)以及宇稱的特點。 掌握宇稱、偶宇稱和奇守稱的概念。 掌握計算幾率流密度矢量的方法。 掌握態(tài)迭加原理的表述及物理意義。 掌握算符基本假定的表述；物理上可觀測量應(yīng)該對應(yīng)什么樣的算符及原因。 掌握球坐標(biāo)下角動量 z分量算符的表達式，并能解其本征值方程。 掌握氫原子在波函數(shù)所描述的狀態(tài)下的能級、角動量平方、角動量 z分量的值、能級簡并度以及宇稱的特點。 1掌握若兩個或多個力學(xué)量具有一組共同本征函數(shù)集，且組成完全系，則算符間相互對易，反之亦然；力學(xué)量的完全集合的概念。 掌握求力學(xué)量可能取值及相應(yīng)概率的方法 （測量基本假定）。 掌握守恒量的定義；守恒量的性質(zhì)；守恒量與定態(tài)的區(qū)別。 掌握算符的矩陣表示；表示力學(xué)量算符的矩陣都是厄密矩陣。 掌握算符可以用幺正變換從一個表象變換到另一個表象，本征值、對易關(guān) 系、跡不變。 掌握湮滅算符、產(chǎn)生算符、粒子數(shù)算符和占有數(shù)表象的描述方法。 第五章 微擾理論 掌握非簡并定態(tài)微擾論求能量的一級、二級微擾修正和波函數(shù)一級修正的方法； 微擾論的適用條件。 掌握光的發(fā)射與吸收三種基本過程。 掌握黃金費米規(guī)則的表述內(nèi)容。 第六章 散射 兩種基本方法： 分波法、玻恩近似法的精髓和適用范圍。 第七章 自旋與全同粒子 掌握電子自旋算符的對易和反對易關(guān)系式。 掌握泡利矩陣。 掌握自旋單態(tài)與三重態(tài)的表達式。 掌握提出電子自旋的實驗根據(jù)。 掌握波色子和費米子的概念以及全同波色子和費米子波函數(shù)的對稱性要求。 1掌握仲氦和正氦的定義及其性質(zhì)差異大、轉(zhuǎn)換效率低的原因。 簡答題范例 例 2（第二章） 簡述波函數(shù)的基體假定。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。 表示在 t時刻 r附近單位體積內(nèi)找到粒子的概率。線性是態(tài)疊加原理要求的，厄米算符的本征值是實數(shù)，可與（實數(shù)）觀測值比較。 ? ??,xx p i? ? ? ? ?2224xxp????例 1（第一章）簡述普朗克的能量子假設(shè)。 v hv證明題范例 例 1（第二章）證明：一維束縛定態(tài)，能級非簡并，相應(yīng)的能量本征函數(shù)總可以取為實函數(shù)。 12,?? E12,??均應(yīng)滿足定態(tài) Schr246。dinger方程 ()x?則 也滿足定態(tài) Schr246。 證： 若 ， 由厄米算符的定義得 ?F? ???? ? ** ? ?F d F d? ? ? ? ? ????2**?F d d d? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?左? ? ? ?* 2* * * *?F d d d d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?右? ? 2* 0d? ? ? ?? ? ??2 0d?? ??*????例 3（第三章）證明在 態(tài)中， 和 的平均值等于零。 ( 2 ) 。 解： （ 3） 將哈密頓算符改寫為 ? ?2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 11 1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2x y z z zH L L L L L LI I I I I I? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?221 2 12 2 21 2 11 1 1? ? ?,2 2 21 1 11,2 2 2l m z l mlmH Y L L YI I Il l m YI I I? ? ? ????? ??? ? ??? ???????? ??? ? ? ??? ??????進而可知能量本征值為 ? ? 2 2 21 2 11 1 11,2 2 2lmE l l mI I I??? ? ? ?????顯然， 構(gòu)成力學(xué)量完全集，且其共同本征函數(shù)系為 ，于是 ? ?2? ? ?, zH L L ? ?? ?,lmY ??相應(yīng)的本征態(tài)為球諧函數(shù) 。 ? ?,? ? ? 2?L?zL解：首先，判斷 是否是歸一化的狀態(tài)，由 ? ?,? ? ?? ? ? ?,lm lmlmcY? ? ? ? ?? ?知 2 1 2 0 3 15 1 1。于是有 0lmc ?2 5 1 1 1993lmlm c ? ? ? ??所以 已經(jīng)是歸一化的狀態(tài)。 （ 1） 球諧函數(shù) 是算符 和 的共同本征函數(shù)： ? ?,lmY ??2?L ?zL? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22? ?, 1 , , , ,l m l m z l m l mL Y l l Y L Y m Y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?角動量平方 角動量 z分量 可能取值 幾率 平均值 ? ? 223 3 1 1 2??5 1 29 9 3??135 1 89 3 9??? ? 222 2 1 6?? 01928 8 /9（ 2）因為算符 與 是對易的，所以兩者有共同本征函數(shù)系，并且可以同時取確定值。但是，由于在狀態(tài) 上測量 得 的概率為 ，所以從 出發(fā)測得 的值為 的概率應(yīng)是 。 (2) 求此時測粒子能量得到的可能值、相應(yīng)的概率及能量的平均值。55???????能量的可能值為 ： 221 22E a???思考題： 設(shè)一維無限深勢阱中運動粒子的波函數(shù)為 ? ? ? ?24 s i n c o s 0xxx x aaaa ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?求在此任意態(tài)下，粒子能量的可能測量值和相應(yīng)的幾率。相應(yīng)的概率即為展開式中本征態(tài)前面的系數(shù)的模的平方。因此， 2 s i nnnxaa?? ??? ???? 是 和 兩態(tài)的疊加，能量的可能測量值為 ? ?x? 1? 2?221 22E ma?? 223 292E ma??或 測量值為 和 的幾率各為 。 21R 2, 1nl??（ 1）試寫出電子自旋向上的幾率； （ 2）試寫出電子在 方向上的立體角元 中被測到的幾率； ? ?,?? ?d（ 3）試驗證該態(tài)均不是軌道角動量 z分量 、自旋 z分量 的本征態(tài)，但是總角動量的 z分量 的本征態(tài)； zL zSzJ（ 4）試求該態(tài)下 、 的平均值； zL zS（ 5）試求該態(tài)下的電流密度以及總礠矩的 z分量 的平均值。 ? ? ? ?31113d r r r??? ??? ? ? ?? ?21 0 1 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 1 1 , 1 1 , 112331134r d r r r d Y Y Y Y dY Y Y Y Y Y d d? ? ? ????? ? ?? ? ???????????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 0 2 1 2 2 1 1 1 2 11 1 3 2 2 3c o s , s i n3 3 4 3 3 8 iR r Y R r R r Y R r e ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 1 0 2 1 11 1 12212 ,33 zzR r Y Rs rY s?? ? ? ??? ???或 （ 3）將 、 分別作用到態(tài) 上，有 zL zS ?（ 1） ? ? ? ? ? ?? ? ? ?12 1 1 1 2 1 12 102 ,23 ,3z zL R r sY R r Y? ? ? ?? ??????? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 1 0 2 1 11 1 12212 ,33 zzR r Y Rs rY s?? ? ? ??? ???? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 0122 1 1 11,32,3R r YR r Y??????????????? ???? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?11222 1 1 0 2 1 1 12 1 1 02 1 1 11 1 1 2,2 3 2 31,1 32 2,3zzzS R r Y R r YRsrsrYRY? ? ? ? ???????????????????上式意味著 是總角動量的 z分量 的本征態(tài)（本征值為 ） ?zJ 2（ 2） ? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 02 1 1 11,113222,3z z zR r YJ L SR r Y??? ? ? ???????? ? ? ?????? 、 均不為零，且與 不是同一個態(tài)，可見 不是軌道角動量 z分量 、自旋 z分量 的本征態(tài)，然而由上面兩式結(jié)果得 ?zL ?zS ? ? zLzS? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?11222 1 1 0 2 1 1 12 1 1 02 1 1 11 1 1 2,2 3 2 31,1 32 2,3zzzS