根據(jù)遞推公式求數(shù)列通項公式的常用方法總結(jié)歸納-在線瀏覽
2024-12-22 20:27本頁面
【正文】 標(biāo)與 角標(biāo)的關(guān)系 從而得到，無論 n 取奇數(shù)還是偶數(shù)， 總結(jié)：（ 1）類比高斯算法將首尾分組進(jìn)行“配對”，發(fā)現(xiàn)需要對 n 取奇偶進(jìn)行討論，思路自然，容易掌握。 naa?1nnnn aaaaS ?????? ? ?? 1221)(2 1 nn aanS ???nnnnn aaaaaS ??????? ????? ?? 12 12 112 11)( 1 naa ?2 11)(2 1 ????? nnn aaanS2)(21 2 12 11?? ????? nnnaaaan)(2 1 naan ??)(2 1 nn aanS ?? 方法二： 對 n 的奇偶進(jìn)行討論有點(diǎn)麻煩，能否回避對 n 的討論呢？接下來給出實際問題： 伐木工人是如何快速計算堆放在木場的木頭根數(shù)呢？由此引入倒序相加求和法。 （ 2） 倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，方法比公式本身更為重要，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。 三、 一般 的遞推數(shù)列通項公式的常用方法 一、 公式法 例 已知無窮數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ，并且 *1( )nna S n N? ? ?，求 ??na 的通項公式？ 【解析】： 1nnSa?? ， ? 1 1 1n n n n na S S a a? ? ?? ? ? ?， ? 1 12nnaa? ?，又1 12a?， ? 12nna ???????. 反思：利用相關(guān)數(shù)列 ??na 與 ??nS 的關(guān)系： 11aS? , 1n n na S S ??? ( 2)n? 與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵 . 二、 歸納猜想法 ：由數(shù)列前幾項用不完全歸納猜測出數(shù)列的通項公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法 . 例 已知數(shù)列 ??na 中， 1 1a? ， 12 1( 2)nna a n?? ? ?， 求數(shù)列 ??na 的通項公式 . nnn aaaaS ????? ? 121 ?121 aaaaS nnn ????? ? ?)(2 1 nn aanS ??)(2 1 nn aanS ??? 【解析】： 1 1a? ， 12 1( 2)nna a n?? ? ?， ? 2121aa??3? ， 3221aa??7? ???? 猜測 21nna ?? *()nN? ，再用數(shù)學(xué)歸納法證明 .（略） 反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性 . 三 、 累加法 ：利用 1 2 1 1( ) ( )n n na a a a a a ?? ? ? ? ??? ?求通項公式的方法稱為累加法。 四 、累乘法 :利用恒等式 321 1 2 1 ( 0 , 2)nnnnaaaa a a na a a ?? ??? ? ?求通項公式的方法稱為累乘法 ,累乘法是求型如 : 1 ()nna g n a? ? 的遞推數(shù)列通項公式的基本方法 (數(shù)列 ()gn 可求前 n 項積 )。 例 已知數(shù)列 ??na 中 , 1 1a? , 12 1( 2)nna a n?? ? ?,求 ??na 的通項公式 . 【解析】 :利用 1( ) 2 ( )nna x a x?? ? ?,求得 11 2( 1)nnaa?? ? ?,?? ?1na? 是首項為 1 12a?? ,公比為 2 的等比數(shù)列 ,即 12nna ?? , 21nna? ? ? 反思：構(gòu)造新數(shù)列的實質(zhì)是通過 1( ) ( )nna x q a x? ? ? ?來構(gòu)造一個我們所熟知的等差或等比數(shù)列 . 六 、 倒數(shù)變換 ：將遞推數(shù)列1
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