青海省西寧三校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷理含答案-在線瀏覽
2025-03-03 03:35本頁面
【正文】 再把不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0化為g（x+2015）＞g（﹣3），利用單調(diào)性求出不等式的解集．【解答】解：根據(jù)題意，令g（x）=x3f（x），其導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=3x2f（x）+x3f′（x）=x2[3f（x）+xf′（x）]，∵x∈（﹣∞，0）時，3f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增；又不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0可化為（x+2015）3f（x+2015）＞（﹣3）3f（﹣3），即g（x+2015）＞g（﹣3），∴0＞x+2015＞﹣3；解得﹣2015＞x＞﹣2018，∴該不等式的解集是為（﹣2018，﹣2015）．故答案為：（﹣2018，﹣2015）．【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式的解集的問題，是綜合性題目． 三、解答題：本大題共5小題，共計70分．解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟17．已知正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn且滿足a1+a5==63．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式an；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足b1=a1且bn+1﹣bn=an+1，求數(shù)列的前n項和Tn．【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知條件建立方程組，通過解方程求出首項和公差，進一步求出數(shù)列的通項公式．（Ⅱ）首先利用疊加法求出數(shù)列的通項公式，進一步利用裂項相消法求數(shù)列的和．【解答】解：（Ⅰ）法一：設(shè)正項等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，an＞0則，得∴an=2n+1法二：∵{an}是等差數(shù)列且，∴，又∵an＞0∴a3=7．…∵，∴d=a4﹣a3=2，∴an=a3+（n﹣3）d=2n+1． （Ⅱ）∵bn+1﹣bn=an+1且an=2n+1，∴bn+1﹣bn=2n+3當(dāng)n≥2時，bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3=n（n+2），當(dāng)n=1時，b1=3滿足上式，bn=n（n+2）∴=．【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法，利用裂項相消法求數(shù)列的和，屬于基礎(chǔ)題型． 18．某超市從2014年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機抽取100個，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分組，得到頻率分布直方圖如下：假設(shè)甲、乙兩種酸奶獨立銷售且日銷售量相互獨立．（Ⅰ）寫出頻率分布直方圖（甲）中的a的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為，試比較與的大小；（只需寫出結(jié)論）（Ⅱ）估計在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于20箱且另一個不高于20箱的概率；（Ⅲ）設(shè)X表示在未來3天內(nèi)甲種酸奶的日銷售量不高于20箱的天數(shù)，以日銷售量落入各組的頻率作為概率，求X的數(shù)學(xué)期望．【考點】離散型隨機變量及其分布列；頻率分布直方圖；離散型隨機變量的期望與方差．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）按照題目要求想結(jié)果即可．（Ⅱ）設(shè)事件A：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于20箱；事件B：在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于20箱；事件C：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個高于20箱且另一個不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）a=； …s12＞s22．…（Ⅱ）設(shè)事件A：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于20箱；事件B：在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于20箱；事件C：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個高于20箱且另一個不高于20箱．則P（A）=+=，P（B）=+=．…所以．…（Ⅲ）由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3．…P（X=0）=C30=，P（X=1）=C31=，P（X=2）=C32=，P（X=3）=C33=．所以X的分布列為X0123P…所以X的數(shù)學(xué)期望EX=0+1+2+3=．…【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列期望的求法，獨立重復(fù)試驗概率的求法，考查計算能力． 19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60176。求PD：AD的值．【考點】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【專題】計算題；證明題；空間角；空間向量及應(yīng)用．【分析】（I）根據(jù)PD⊥平面ABCD，得到AC⊥PD，結(jié)合菱形ABCD中AC⊥BD，利用線面垂直判定定理，可得AC⊥平面PBD，從而得到平面EAC⊥平面PBD；（II）連接OE，由線面平行的性質(zhì)定理得到PD∥OE，從而在△PBD中得到E為PB的中點．由PD⊥面ABCD得到OE⊥面ABCD，可證出平面EAC⊥平面ABCD，進而得到BO⊥平面EAC，所以BO⊥AE．過點O作OF⊥AE于點F，連接OF，證出AE⊥BF，由二面角平面角的定義得∠BFO為二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45176。設(shè)AD=BD=a，則OB=a，OA=a，在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=Rt△AOE中利用等積關(guān)系，可得OA?OE=OF?AE即a?OE=a?，解之得OE=∴PD=2OE=，可得PD：AD=：2即PD：AD的值為．【點評】題給出一個特殊四棱錐，要我們證明面面垂直，并在已知二面角大小的情況下求線段的比值，著重考查了空間垂直位置關(guān)系的判斷與證明和二面角平面角的求法等知識，屬于中檔題． 20．已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|=|FD|．當(dāng)點A的橫坐標為3時，△ADF為正三角形．（1）求C的方程；（2）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E，證明直線AE過定點，并求出定點坐標．【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，求出的p值；（2）設(shè)出點A的坐標，求出直線AB的方程，利用直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E，求出點E的坐標，寫出直線AE的方程，將方程化為點斜式，可求出定點．【解答】解：（1）由題意知F（，0），設(shè)D（t，0）（t＞0），則FD的中點為（，0），因為|FA|=|FD|，由拋物線的定義知：3+=|t﹣|，解得t=3+p或t=﹣3（舍去）．由=3，解得p=2．所以拋物線C的方程為C的方程為y2=4x．（2）由（1）知F（1，0），設(shè)A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，∴D（x1+2，0）
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