【正文】 ,500 ???? PP xyzu ),12,3,4(?l ),1312,133,134(0 ?? l .13981312*5133*10134*20 ??????? Plu 2． 求下列函數(shù)的梯度 gradf （ 1） )。 3． 一個(gè)登山者在山坡上點(diǎn) )43,1,23( ?? 處，山坡的高度 z 由公式 22 25 yxz ??? 近似，其中 x 和 y 是水平直角坐標(biāo)，他決定按最陡的道路上登，問(wèn)應(yīng)當(dāng)沿什么方向上登。 4． 解： )21)(1(),21)(1( yxxyTxyyxT ?????????? 沿方向 )161,91()31,41( ???? gr adT 5． 解：設(shè)路徑為 )(xfy? ，在點(diǎn) ),( yx 處 )8,2( yxgradT ??? )(xfy? 在 ),( yx 點(diǎn)的切向量為 ),1( dxdy?? gradT? 平行于切向量 ?ydyxdx 82, ???? 4cxy?? 因?yàn)檫^(guò) 42),2,1( xy ??? 習(xí)題 15 求曲線 2,1,1 tzttyttx ????? 在對(duì)應(yīng)于 1?t 點(diǎn)處的切線及法平面方程。39。)1,2,21( ????? ???????tttttt ttzyxT 故 所求 切線方程為：2 11241 21 ?????? zyx， 即 : 8 1421 21 ?????? zyx 法平面方程為： 0)1(2)2()21(41 ?????? zyx 即 : 11682 ??? zyx 求下列空間曲線在指定點(diǎn)處的切線和法平面方程 （ 1）?????????222222zyyx 在點(diǎn) )1,1,1( 解 ：將方程兩端對(duì) x 求導(dǎo)，得 ???????????022022dxdzzdxdyydxdyyx???????????zxdxdzyxdxdy 在 )1,1,1(M 處 )1,1,1( ??T 故所求的切線方程為： 1111 ?????? zyx 法平面方程： 1??? zyx （ 2）??? ??? ??? 0 6222 zyx zyx 在點(diǎn) )1,2,1( ? 解 法 1： 將方程兩端對(duì) x 求導(dǎo)，得 ???????????????010222dxdzdxdydxdzzdxdyyx????????????????1dxdzdxdyxdxdzzdyy 當(dāng) 011 ???? xyzyJ時(shí)，有 zy xzzxJdxdy ??????? 111，zy yxxyJdxdz ??????? 111 }1,0,1{,1,1)1,2,1()1,2,1()1,2,1(???????? ???????????????? zyyxzy xzdxdzdxdyT 故所求的切線方程為：???????????021111yzx 12 法平面方程： 0)1()2(0)1( ???????? zyx 即： 0??zx 解法 2：將方程組兩端求微分：得??? ??? ??? 0 0222 dzdydx zdzydyxdx ∴曲線在點(diǎn) )1,2,1( ? 處的切向量為 3. （題略） 解：（ 1）令 F（ x， y， z） =arctgxy z, )(,21)(,21)(039。039。039。 PFPFPF zyx ??? = 16ln2，曲面在點(diǎn) P0 的切平面方程為： 4ln2（ x2） 4ln2（ y2） 16ln2（ z1） =0， 即： xy4z=0，法線方程為： 2ln16 12ln4 22ln4 2 ? ????? zyx ，即： 411 21 2 ?????? zyx 解：yxxz ???? 1?，yxyz ???? 1 }31,31{}1,1{ )2,1()2,1( ?????? yxyxz 又∵拋物線 xy 42? 在 (1,2)點(diǎn)處的切線斜率為： 1)2,1( ?dxdy 13 ∴拋物線 xy 42? 在 (1,2)點(diǎn)處偏向 x 軸正向的切線方向?yàn)?}1,1{,1)2,1(???????????? dxdyT ∴??????? 21,210T 故所求的方向?qū)?shù)為：???????????????? 21,2131,31z )2,1(T 326262 ??? 習(xí)題 16 1（題略） . 解：由 ,024 ????? xxf 024 ?????? yyf,有 x=2, y=2, 即 P0 (2, 2)為 f(x,y) 的駐點(diǎn) , 又 ,2,0,222222 ???????????? y fyx fx f D（ P0 ） =40, )(022 Pxf?? =2 故 P0 (2,2)為 f(x,y)的極大值點(diǎn) , 其極大值為 f(2,2)=8. 2（題略） . 解：由 ?????????????????0186203963 2令令xyyfyxxf有??? ??? ??? 093 01322 xy yx 駐點(diǎn)： (5,6)和 )6,1(? xxf 622 ???? 222 ???yf 62 ????? yxf ? ? 0243612)6(26 )6,5()6,5(2)6,5( ????????? xx ，而 306 )6,5()6,5(22 ???? xxf ∴ ),( yxf 在 點(diǎn) (5,6)取得極小值 88)6,5( ??f 又 ∵ ? ? 0243612)6(26)6,1()6,1(2)6,1( ?????????? ??? xx ∴ ),( yxf 在 點(diǎn) )6,1(? 不 取得極值 求 22 yxz ?? 在閉區(qū)域 44 22 ?? yx 上的最大值和最小值 14 解：由????????????????0202yyzxxz， 得 唯一駐點(diǎn) (0,0) 又∵在邊界 44 22 ?? yx 即橢圓 14 22 ??yx 上 , 222 54 yyxz ???? 1),1(??y 由 0)54( ??dy yd，得駐點(diǎn)： )1,1(0 ???y ∴所有可能的極值點(diǎn)為： (0,0) (2,0) (2,0) （ 0,1） (0,1) 相應(yīng)的函數(shù)值為： 0 4 4 1 1 求拋物線 2xy? 和直線 02???yx 之間的最短距離。 解法 1（用拉格朗日乘數(shù)法） 設(shè) )()2(21 22 xyyxL ????? ? 由????????????????????????00)1()2(221021)2(222 令令令xyLyxLxyxLyx???，即???????????????00202)21(2xyyxyx?? 得唯一駐點(diǎn))41,21( 故由實(shí)際問(wèn) 題知 拋物線 2xy? 和直線 02???yx 之間的最短距離在在，為： 8 27)41,21(m in ?? dd 解法 2（轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值） 設(shè)拋物線 2xy? 上點(diǎn) ),( 2xxP ， 它到直線 02???yx 的距離為 2 22 22 ?????? xxyxd 15 ∵ d 最小當(dāng)且僅當(dāng) 222 )2(21 ??? xxd 最小 設(shè) 22 )2(21)( ??? xxxf ∴ 0)21()2()( 2 令xxxxf ?????? ?唯一駐點(diǎn) 21?x )2(2)21()2()2()21()21()( 222 ???????????????? xxxxxxxxf ? ? 027)2(2)21()21( 2122 ????????? xxxf? ∴當(dāng) 21?x 時(shí)， )(xf 有極小值，從而該極小值就是所求的最小值 （∵唯一駐點(diǎn)） ∵21221 22??? xxd = 827 故 拋物線 2xy? 和直 線 02???yx 之間的最短距離 為 827 求拋物線 22 yxz ?? 被平面 1??? zyx 截成一橢圓，求原點(diǎn)到此橢圓的最長(zhǎng)與最短距離。 令 )1()( 22222 ?????????? zyxzyxzyxL ?? 由???????????????????????????⑤令④令③令②令①令0100202202222zyxLzyxLzLyyLxxLzyx???????? 由① ②得 0))(2(1 ??? yx? 若 1??? 代入①，得 0?? ， 再代入④， 21???z 0, 不合題意 16 1???? ， 有 yx? 代入④，⑤ 由??? ??? 122 2 zx zx ，解得 2 31???? xy ， 32??z ∴ 駐點(diǎn)為： )31,2 31,2 31(1 ??????P和 )31,2 31,2 31(2 ??????P ∴ 35911222 ????? PP zyxd ， 35922222 ????? PP zyxd 由實(shí)際問(wèn)題知，所求最大值和最小值存在，分別為 359 ? 和 359? 6（題略） . 解 : 設(shè)圓柱高為 H,圓錐高為 h ,圓柱圓錐底半徑為 r,則浮標(biāo)體積 V= hrHr 22 32?? ? , 故 :3V )23(2 hHr ?? =0 (1) 浮標(biāo)表面積 S(r,h,H)= )(222 2222 hrHrhrrrH ????? ??? 令 L(r,h,H)= )(2 22 hrHr ??? + )23(3[ 2 hHrV ?? ?? ? 由 )23(22)(222222 hHrhr rhrHrL ????????? ????=0 （ 2） 222 22 rhrrhhL ??? ????? =0 (3) 032 2 ????? rrHL ??? (4) 有 32?r? , 代入（ 3）有 03222 ??? hr h, 故 25?hr , r= 25 h,再由（ 2），有 H=h, h= r52, ( r, r52, r52)為 S(r,h,H) 唯一駐點(diǎn)，由于實(shí)際問(wèn)題存在最值，故當(dāng) H=h, 25?hr 時(shí) ,材料最省。10: ，所以 ? ? ? ?? ? ???? ? ?? ? 10 10 0 22 , x yx dzzyxfdydxdvzyxf （ 2）因?yàn)榉e分區(qū)域 ? 的上曲面為開(kāi)口向下的拋物柱面 22 xz ?? 與下曲面為開(kāi)口 向上的旋轉(zhuǎn)拋物面 22 2yxz ?? 圍成，二曲面的交線在 xoy 平面上的投影為圓 122 ??yx ，即??????????????????22222221111:xzyxxyxx，所以? ? ? ?? ? ??? ? ? ??? ???? 1 1 1 1 2 22 2 2 22 , x x x yx dzzyxfdydxdvzyxf 21 （ 3）因?yàn)榉e分區(qū)域 ? 的上曲面為開(kāi)口向上的旋轉(zhuǎn)拋物面 22 yxz ?? ，下曲面為 0?z ，積分區(qū)域 ? 在 xoy 坐標(biāo)面上的投影區(qū)域 1。 解：積分區(qū)域 ? 如圖 222 所示，當(dāng) hz??0 時(shí)，過(guò) ),0,0( z 作平行與 xoy 面的平面，與立體 ? 的截面為圓??????????????zzzhRyxDz222: ，因而 zD 的半