【正文】 n | | .22xax a d x x a x x a C? ? ? ? ? ? ?? ?22 2 2 2 2 2l n (2 .)2xax a d x x a x x a C? ? ? ? ? ? ??22 2 2 2 2 12 l n | |x x a a x x a Cx a d x? ? ? ? ? ? ???22aa??Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 注 2. 類似的 , 下列函數(shù) s i n , c o s , , l n , a r c t a n ,( ) s i n , ( ) c o s , ( ) l n , ( s i n )k k k a x k m kaxx b x x b x x e x x x xp x m x p x m x p x x p x e 等等.的不定積分?？捎梅植糠e分法可得 . 注 3. 使用分部積分法，有時(shí)須連續(xù)使用若干次；有時(shí)使用若 干次之后，常會(huì)重新出現(xiàn)原來所求的那個(gè)積分，從而成 為求積分的方程式，解之可得所求積分；有時(shí)應(yīng)特別注 意如下情形： c o s 1 c o ssin 1 0 1sin sin sin ?xxd x d x d xx x x? ? ? ? ?? ? ?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是初等函數(shù) , 但求不定積分卻不那么 簡(jiǎn)單 , 有些不定積分不能用初等函數(shù)來表示 , 如 ?,s i n,s i n, 22 dxxdxx xdxe x ? ?? ?是非初等函數(shù) , 即 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù) . Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 () ( ) ( ) .( ) ( )T x dx P x F xdx dxQ x Q x? ??由于 易求, 因之 求 關(guān)鍵在于求() ,()FxQx對(duì)于有理真分式 由代數(shù)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解, 可設(shè)22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,Q x x a x b x p x q x r x s? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?22, , ( ) , , , ,( ) , , , , ,a b Q x x p x qx r x s Q x????? ? ? ?????其中， 分別是 的 重實(shí)根，都沒有實(shí)根，有共軛復(fù)根，即 有 重共軛復(fù)根； 是自然數(shù).Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 方法一 ： 將 (﹡ )式右端通分，得 )()()( )()( )( xRxForxQ xRxQ xF ??( ) ( )F x R x? 與 同次冪的系數(shù)相等. 由此得到一次聯(lián)立 方程組，求解即得.方法二： 使用 “賦值法” 簡(jiǎn)化對(duì)待定系數(shù)的求解 . Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 例 16. 2222( 1 ) ( 1 )xxx???分解 為簡(jiǎn)單分式之和.解： 方法二 1 1 2 22 2 2 2 222 .( 1 ) ( 1 ) 1 1 ( 1 )B x C B x CxAx x x x x??? ? ? ?? ? ? ? ?設(shè) ).1)(()1)(1)(()1(22 2221122 ?????????? xCBxxCxBxAx有1 4 4 , 1 .x A A? ? ?令 ，有 121 1 2 20 , 2 .1 , 0 4 4 4 2 2 .x A C Cx A B C B C? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?有有2 2 2 22 , 2 .B C B C? ? ? ? ? ?得1 1 2 21 , 1 , 1 , 2 , 0 .A B C B C? ? ? ? ? ? ? ?聯(lián)立解之得2 2 2 2, 2 2 ( ) ,x i i B C B C i? ? ? ? ? ? ? ?有Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 dxqpxxBpCpxBdxqpxxCBx?? ?????????222)2(2224ptxpaq????????????????????令簡(jiǎn)化！?????????????)4()2()2()2()(2 2222pqpxpxdBpCqpxxqpxxdB22222l n( ) a r c ta n .2 44B C B p x px px q Cq p q p??? ? ? ? ???In fact, Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 422[ ( ) ( ) ]24() nn ndxppxqdxIx p x q?? ? ???? ??12 2 2 2 11 1 1()2 ( 1 ) ( )n nI t da a n t a? ?? ? ????natdttn)()2)(1(22 ???（分部積分法） 22() ndtta? ??2 2 22 2 21() nt a t dta t a??????12 2 2 2 1 2 2 111 [ ] ,2 ( 1 ) ( ) ( )n nnt d tIa a n t a t a? ??? ? ?? ? ??22,(4 )2ppt x a q? ? ? ?令 Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 1 ( 1 ) 1nI n I n n??只是針對(duì) 中的 而言, 應(yīng)與題設(shè)中 區(qū)別.注 2. 有理函數(shù)總存在初等函數(shù)的原函數(shù) . 注 1. 例 16. 2222( 1 ) ( 1 )x dxxx????求 .解： 2 2 2121 1 ( 1 )d x x xd x d xx x x?? ? ?? ? ?? ? ?原式222 2 2 21 ( 1 ) ( 1 )1 2 1 1 ( 1 )d x d x d x d xx x x x??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2211l n | 1 | l n( 1 ) a r c ta n .21x x x Cx? ? ? ? ? ? ??Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 例 18. 求 解： .)1)(21( 1 2? ?? dxxxdxxxdxx ?? ?????? 2151522154? ?? dxxx )1)(21( 1 2dxxdxxxx ?? ?????? 22 1 1511 251)21l n (52.ar c t an51)1l n (51)21l n (52 2 Cxxx ??????Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 于是則設(shè) ,)( ),( , dttdxtcta bdtxtdcx bax nnn ?? ???? ?????( , )n a x bR x d xc x d??? ( ( ) , ) ( ) .R t t t dt?? ??積分 有理化 ( ) ( )tt?? ?由 于 與 皆 為 有 理 函 數(shù) ， 故 求 這 個(gè) 有 理 函 數(shù) 的 不 定積 分 即 可 .12( , , , , )knnna x b a x b a x bR x d xc x d c x d c x d? ? ?? ? ??推廣求 型的積分，12 ( , , , )n ka x b t n n n nc x d? ??可 令 其 中 為 的 最 小 公 倍 數(shù) 使 其 有有理化求解 . Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 例 2. 11 .1x dxxx???解： 22 2 21 1 4 , , , 1 1 ( 1 )x t tt x d x d tx t t??? ? ?? ? ?設(shè) 則 有222 2 2 2 214 = 41 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )t t tt d t d tt t t t? ? ? ?? ? ? ???原 式 1 1dt dt dtt t t? ? ? ?? ? ?? ? ?Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 2221 ( 1 ) ( 2 1 )l n | 1 | 32 1 ( 2 1 ) 3d t t d ttt t t? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???21 2 1l n | 1 | l n ( 1 ) 3 a r c ta n .2 3tt t t C?? ? ? ? ? ? ? ? ?31( ) .1xtx???例 4. 21 2 3x dxxx???解： 22221 ( 1 2 3 ) 163 411 2 33 ( )331 1 3 1l n 1 2 3 a r c s in .32 33d x x d xxxxxx x C??? ? ??????? ? ? ? ? ???Yunnan University 167。 2. 不定積分的計(jì)算 此積分形式同 ： 22 ,a r c s i nd x x Caax ????或 2222 .l n |