【正文】 ，人們發(fā)現(xiàn)對應(yīng)于每個線性規(guī)劃問題都伴生著一個相應(yīng)的線性規(guī)劃問題。上述的線性 規(guī)劃模型（ 1）的對偶問題可表示如下： 5 ??????0..minYCYAtsYbW （ 2） 由線性規(guī)劃的對偶理論可以知道：如果原問題（ 1）有最優(yōu)解，那么對偶問題（ 2）也有最優(yōu)解 ), . . . ,( 21 myyyY? ， 并 且 兩 者 的 目 標 函 數(shù) 值 相 等 ， 即 有 ：mm bybybyYbCXZ ?????? .. .2211。影子價格的大小客觀地反映了各種資源在系統(tǒng)內(nèi)稀缺程度，會直接關(guān)系到資源的最有效利用。 影子價格的大小客觀地反映了各種不同資源在系統(tǒng)內(nèi)的稀缺程度，同時也是一種成本機會，在市場經(jīng)濟的條件下，當(dāng)某種資源的市場價格低于影子價格時，企業(yè)應(yīng)買進這種資源用于擴大生產(chǎn)；相反當(dāng)某種資源的市場價格高于影子價格，企業(yè)應(yīng)賣出這種資源。 由此可見企業(yè)資源的影子價格直接關(guān)系到資源的最有效利用，根據(jù)影子價格企業(yè)可以對有限的資源進行合理 的配置，自主地節(jié)約使用某種稀缺資源，使有限資源發(fā)揮更大的經(jīng)濟效益。同時，隨著市場環(huán)境，工藝條件和資源數(shù)量的改變，這些數(shù)據(jù)也可能發(fā)生變化。 此外，在生產(chǎn)計劃中，對于給定的目標點，要想使之成為最優(yōu)解，可以通過三條途徑來實現(xiàn) [10]，即： 通過改變模型（ 1）的目標函數(shù)中價 值系數(shù) C，使得給定的目標解成為最優(yōu)解。由于可行域D 的擴張或平移，因此，給定的目標解可以不是線性規(guī)劃原問題的可行解。由于可行域 D 的形狀發(fā)生了變化，因此，給定的目標解可以不是線性規(guī)劃原問題的可行解。若 jc 是非基變量 jx 的價值系數(shù)， jc? 為該價值系數(shù)的改變量，只要 jjc ???? ，就可以保持現(xiàn)行最優(yōu)解依舊最優(yōu)，由此可以確定價值系數(shù) jc 的可變化范圍，其中 j? 為 jx 的檢驗數(shù)。 考慮只有資源擁有量 b 的改變的情形。 考慮只有資源消耗系數(shù) A 的改變的情形。下面，只談及兩種較簡單的情形。 7 線性規(guī)劃模型在生產(chǎn)中資源配置方面的應(yīng)用舉例 一豆制品加工廠 [4,9]用黃豆生產(chǎn) A， B， C 三種豆制品， 1 公斤黃豆可以在甲類設(shè)備上用 12 小時加工成 3 公斤 A，或者在乙類設(shè)備上用 8 小時加工成 4 公斤 B，或者在丙類設(shè)備上用 6 小時加工成 4 公斤 C?，F(xiàn)在加工廠每天能得到 120公斤黃豆的供應(yīng)，每天正式工人總的工作時間為 960 小時，并且甲類設(shè)備每天至多能加工 100 公斤 A，乙類設(shè)備每天至多能加工 120 公斤 B，丙類設(shè)備的加工能力沒有限制。 若用 16 元可以買到 1 公斤黃豆，應(yīng)否作這項投資？若投資，每天最多購買多少公斤黃豆？ 若可以聘用臨時工人以增加勞動時間，付給臨時工人的工資最多是每小時幾元？ 由于市場需求變化，每公斤 C 的獲利增加到 14 元，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？ 變量說明 Z 盈利（元） 1x 生產(chǎn) A 所用的黃豆重量（公斤） 2x 生產(chǎn) B 所用的黃豆重量（公斤） 3x 生產(chǎn) C 所 用的黃豆重量（公斤） 問題分析 本問題的目標是使得該廠每天獲利最大，要做的決策是生產(chǎn)計劃，即如何合理配置黃豆，分別用多少公斤黃豆生產(chǎn)豆制品 A， B， C。按照問題，將決策變量、目標函數(shù)和約束條件用數(shù)學(xué)符號及式子表示出來，就可得到下面的線性規(guī)劃模型。 模型建立 8 ???????????????????????0,0,0120*4100*3960*6*8*12120..*48*64*72m a x32121321321321xxxxxxxxxxxtsxxxZ 模型求解 將上述模型輸入 LINDO 求解，可以得到以下結(jié)果（見圖 ）： 圖 求解結(jié)果 9 結(jié)果分析 圖 的第 2,3,4,5,6 行明確地告訴我們，這個線性規(guī)劃的最優(yōu)解為60,30,30 321 ??? xxx ，最優(yōu)值為 Z=6960，即該廠的生產(chǎn)計劃為：每天用 30 公斤黃豆生產(chǎn) A，每天用 30 公斤黃豆生產(chǎn) B，每天用 60 公斤黃豆生產(chǎn) C，這樣能使每天獲利最大，獲利 6960 元。綜上，用 16 元可以買到 1 公斤黃豆，低于1 公斤黃豆的影子價格，應(yīng)該做這項投資，但每天最多購買 30 公斤黃豆。綜上，聘用臨時工人，付給的工資應(yīng)低于勞動時間的影子價格才可以增加利潤，所以工 資最多是每小時 4 元。注意： 3x 系數(shù)的允許范圍需要 21,xx 的系數(shù)不變。 本章小結(jié) 本章所探討的線性規(guī)劃模型，常用單純形法求解。此外，對于影響決策的資源占有量 b 的影子價格，可以對現(xiàn)有 資源實現(xiàn)最大收益時估價，可以使資源合理配置，使資源發(fā)揮最大的經(jīng)濟效益。各個階段所確定的決策就構(gòu)成了一個決策序列，成為一個策略，一般來說，由于每一階段可供選擇的決策往往不止一個，因此，對于整個過程，就會有許多可供選擇的策略。在所有可供選擇的策略中，對應(yīng)效果最好的策略稱為最優(yōu)策略。它要求決策者不能用孤立的觀點看待各階段的決策。 動態(tài)規(guī)劃 (dynamic programming)是 運籌學(xué) 的一個分支，是求解決策過程 (decision process)最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。 動態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策過程最優(yōu)化問題的一種常見方法。這種“分而治之，逐步改善”的方法已在一些較難解決的問題中顯示出了優(yōu)越性，尤其是離散性問題，用動態(tài)規(guī)劃的方法去處理，比用線性規(guī)劃或非線性規(guī)劃方法有時更為有效。 迄今為止，動態(tài)規(guī)劃模型已廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟、生物、工程、軍事等許多領(lǐng)域，并取得了很好的效果。 資源分配問題上的動態(tài)規(guī)劃模型 所謂“資源分配問題”就是把一定數(shù)量的若干資源合理地分配給若干個使用者，使 11 指標函數(shù)達到最優(yōu)。其一般提法是，設(shè)某 種資源的總量為 a，擬用于n 項經(jīng)營活動，若給第 j 項活動分配 jx 個單位，其收益為 )( jj xg ，問應(yīng)如何分配，才能使這 n 項經(jīng)營活動總的收益值最大？ 對于該問題，我們可以直接表示為 ?????????????nixaxtsxgZiniiinii,...,2,1,0..)(m a x11 因此，可用非線性規(guī)劃方法求解。 13 模型假設(shè) 假設(shè) 1：設(shè)備不會出現(xiàn)故障，影響盈利； 假設(shè) 2：甲乙丙三者的單 位利潤與它們相互間箱數(shù)無關(guān)； 假設(shè) 3：甲乙丙三者的設(shè)備臺數(shù)可以是任意整數(shù)。m:分廠數(shù)量 //v[i][j]:i 臺設(shè)備提供給第 j 分廠將得到的盈利 //p[i][j]:記錄 f[i][j]的值是由哪一個子問題的解得到 . //f[i][j]:用 i 臺設(shè)備分配給后 j 個分廠將得到的盈利 int [][]f=new int[n+1][m+1]。i=n。 for(int j=1。j++) f[0][j]=0。i=n。 p[i][m]=i。j=1。i=n。k=i。 p[i][j]=k。 } public static void distribution(int n,int m,int [][]p) { //該 distribution 得到問題的最優(yōu)解，即資源分配問題的資源分配方案 int k=n。 for(int j=1。j++) { (%1d 臺設(shè)備分配給第 %1d 分廠使用 \n,p[k][j],j)。 } } 運行結(jié)果 根據(jù)以上的算法設(shè)計，可以得到該例子的運行結(jié)果（見圖 ）： 15 圖 運行結(jié)果 結(jié)果分析 根據(jù)以上的運行結(jié)果（見圖 ），可以知道總廠每年最大的盈利為 15 萬元，其中，最優(yōu)分配方案為：分別給甲、乙、丙門市部分配 0 箱， 2 箱， 3 箱。 建立動態(tài)規(guī)劃模型的步驟 (1)、根據(jù)時間或空間的自然特征，把實際問題恰當(dāng)?shù)貏澐譃槿舾蓚€階段，使問題能夠轉(zhuǎn)化成一個多階段決策問題。 (3)、確定決策變量 ku 及每個階段的允許決策集合 }{)( kkk uxU ? 。 (5)、正確的寫出指標函數(shù)。 其中如何選定狀態(tài)是關(guān)鍵的一步，狀態(tài)應(yīng)能描述過程的特征，可以直接或間接觀測，并且具有無后效性，即當(dāng)某階段的狀態(tài)給定后，過程 以后的演變與該階段以前的狀態(tài)無關(guān)。同樣，動態(tài)規(guī)劃也并不是萬能的。 16 動態(tài)規(guī)劃的優(yōu)缺點 優(yōu)點：動態(tài)規(guī)劃把較為復(fù)雜的問題劃分為若干個相互聯(lián)系的階段，每個階段的求解問題相對簡單，而通過逐段求解這一遞推過程便可得到原問題的全局最優(yōu)解。還有，由于動態(tài)規(guī)劃方法反映了動態(tài)過程演變的聯(lián)系和特征，在計算時可以利用實際知識和經(jīng)驗提高求解效率。不同的實際問題，其動態(tài)規(guī)劃模型也隨之不同，因而，實際問題的動態(tài)規(guī)劃模型的建立往往需要豐富的想象力和靈活的技巧性，這就帶來了應(yīng)用上的局限性，同時，也就需要我們在以后的研究中進一步尋求更好的算法。 論文首先介紹了最優(yōu)化方 法和資源配置方面的理論知識，提出了最優(yōu)化方法在資源配置方面的應(yīng)用的重要性。如何去真正做到資源的合理配置，僅憑經(jīng)驗，直覺等非客觀因素來做一個決策已然不可行。 論文在第二章具體介紹了最優(yōu)化方法中的線 性規(guī)劃模型及其在生活中生產(chǎn)計劃制定的實例應(yīng)用。線性規(guī)劃模型在有限資源的配置方面具有十分重要的現(xiàn)實價值。主要探討了動態(tài)規(guī)劃算法的設(shè)計思想在多階段決策問題上的應(yīng)用。 在整個論文的研究里面，可以看出最優(yōu)化方法在現(xiàn)實生活中具有重要的 現(xiàn)實意義， 17 我們應(yīng)該將數(shù)學(xué)最優(yōu)化問題最有效地結(jié)合到生活實際中。當(dāng)然在現(xiàn)實生活中，我們不能僅靠最優(yōu)化方法的理論知識直接做出資源配置的決策，還要結(jié)合個人經(jīng)驗、市場變化等各種因素，將最優(yōu)化方法的理論知識最有效的結(jié)合到生活中資源配置方面的問題上，才能確保真正做到資源合理配置，實現(xiàn)資源的有效利用，提高經(jīng)濟效益。由于個人的能力問題，所舉得的生活實例主要談及有限資源的合理配置，沒去涉及到設(shè)備更新等因素。 第二，論文中的多階段的動態(tài)規(guī)劃模型主要應(yīng)用于一種資源的分配問題。如果進一步談及動態(tài)規(guī)劃模型在多種資源的組合分配問題的應(yīng) 用，將對論文結(jié)論的說服力進一步加強，這就需要我們進一步研究探討。此外，還可以進一步結(jié)合最優(yōu)化方法中的其他優(yōu)化理論，談?wù)勂湓谫Y源配置方面的應(yīng)用。 18 參 考 文 獻 [1] 唐煥文、秦學(xué)志主編 .實用最優(yōu)化方法 [M].大連：大連理工大學(xué)出版社， 2021. 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