【正文】 答想開始做研究。1988年9月底，我走進(jìn)丘成桐先生的辦公室，開始了我在哈佛的學(xué)習(xí)生活。那么我們應(yīng)該如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)呢？我去美國留學(xué)時(shí)，隨身只帶了兩本書，一本是丘成桐與Schoen著的“微分幾何”，一本是Gilbarg與Trudinger的“二階橢圓偏微分方程”。正所謂“妙在無窮，美即有用”。物理學(xué)家特別青睞“無窮”，甚至有時(shí)候不惜以犧牲“嚴(yán)格性”作為代價(jià)，比如SL(2,Z)對稱，大N極限的陳Simons理論，路徑積分。哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)教授Taubes 曾說，“物理學(xué)家先學(xué)指標(biāo)理論，然后才是黎曼幾何”。有人形容他們就像從未來時(shí)空穿梭回來的一樣，只記住了未來數(shù)學(xué)支離破碎的景象，憑著記憶敘述出來，成了挑戰(zhàn)當(dāng)代數(shù)學(xué)家的猜測。要指出的是物理學(xué)家對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)不僅僅限于預(yù)測數(shù)學(xué)結(jié)論，很多時(shí)候，他們也用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言為我們指出數(shù)學(xué)上重要的研究對象。這種交流激發(fā)了數(shù)學(xué)與物理學(xué)無盡的活力。無論你研究哪一個(gè)方向，總會在弦理論中找到用武之地。數(shù)學(xué)和物理學(xué)的相互交織造就了科學(xué)史上的多次革命，大家熟知的有“微積分與牛頓力學(xué)定律”，“廣義相對論與黎曼幾何”，近年來的大小例子更是層出不窮，“量子場論與指標(biāo)理論結(jié)合得到橢圓虧格剛性定理”，“共形場論給出的?？臻gVerlinde公式”，“YangMills場與4維拓?fù)洹?，“陳Simons理論與3維拓?fù)?，紐結(jié)理論”，“關(guān)于弦理論中鏡像對稱與Calabi丘空間的鏡公式”，“關(guān)于陳Simons理論，Calabi丘空間與romovWitten不變量的MarinoVafa猜想”，“弦理論與Ricci流，3維拓?fù)涞年P(guān)系”，“鏡像對稱與數(shù)論的關(guān)系”等等。這是非常令人感到驚奇的！為了解決物理學(xué)家提出的數(shù)學(xué)猜想，我們發(fā)展了全新的數(shù)學(xué)理論，發(fā)現(xiàn)了不同數(shù)學(xué)分支之間意想不到的聯(lián)系。從我讀研究生開始，我的工作就一直圍繞著物理學(xué)中出現(xiàn)的幾何與拓?fù)鋯栴}。種種感想促成了這篇文章，希望我自身的經(jīng)歷與體會能起到拋磚引玉的作用。這樣的教育只能培養(yǎng)給別人打工的工匠，不可能培養(yǎng)出真正的科學(xué)家。在大學(xué)里，有些老師的知識就過于陳舊和狹窄，更不可能拓寬學(xué)生的知識面了。見多才能識廣，而沒有寬廣的知識面，想象力就是無源之水。迄今已有許多文章對我們的教育體制提出批評，認(rèn)為它扼殺了學(xué)生們的想象力。第一篇：004年首屆西湖青年數(shù)學(xué)家論壇上的演講004年首屆西湖青年數(shù)學(xué)家論壇上的演講 浙大數(shù)學(xué)系主任 劉克峰在國內(nèi)工作一年多，接觸了許多中學(xué)生，大學(xué)生和研究生。為了吸引優(yōu)秀的學(xué)生到數(shù)學(xué)中來，我與他們進(jìn)行了許多的對話與交流，這引發(fā)了我對數(shù)學(xué)教育從各方面的思考。但我覺得我們的教育從中學(xué)起就過分強(qiáng)調(diào)技巧，根本沒有開拓學(xué)生的知識面才是根本的弊病。在中學(xué)里，以奧數(shù)為甚的題海戰(zhàn)術(shù)使學(xué)生忘記了做題的目的是為了理解知識，只是機(jī)械地為做題而做題，不是為個(gè)人的喜歡與好奇心。許多學(xué)生也以能做上萬道習(xí)題為榮，或者早早就把自己限制在某個(gè)狹隘的研究方向。我覺得對數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，要首先拓寬眼界，不僅在數(shù)學(xué)里的各個(gè)學(xué)科之間，更包括物理等相關(guān)學(xué)科，然后在盡可能的融會貫通，激發(fā)出想象力。我將結(jié)合自己的治學(xué)經(jīng)驗(yàn)討論一下知識的重要性以及知識，技巧與想象力的關(guān)系。物理學(xué)家需要數(shù)學(xué)作為工具，反過來他們又借助物理理論提出數(shù)學(xué)上的猜想，雖然物理學(xué)家的推導(dǎo)很多時(shí)候是不嚴(yán)格的，但是這些猜想往往最后都被證明是正確的。這些數(shù)學(xué)上的革命又為物理學(xué)的繼續(xù)發(fā)展提供了嚴(yán)格的理論基石。近20年數(shù)學(xué)菲爾茲獎(jiǎng)得主的獲獎(jiǎng)工作，有一半與量子場論，弦理論有關(guān)。而弦論學(xué)家們也貪婪和迫不及待地注視著數(shù)學(xué)中每一點(diǎn)一滴的新進(jìn)展，迅速地理解并應(yīng)用到他們的理論中2去。這也使得我們有理由猜測：上帝根據(jù)數(shù)學(xué)公式創(chuàng)造了世界？但毫無疑問，數(shù)學(xué)是開啟大自然的鑰匙。Witten和Vafa是兩位杰出的代表，他們的數(shù)學(xué)甚至要好過絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)家。物理學(xué)家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式也許值得我們借鑒，Witten他們大概從來不做數(shù)學(xué)習(xí)題，但卻用最快的速度學(xué)到他們所需要的數(shù)學(xué)。我覺得我們數(shù)學(xué)家不僅要時(shí)刻留意物理學(xué)的發(fā)展，更要注意物理學(xué)家掌握知識的技巧，那就是在研究中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中研究。雖然Feynman的路徑積分還缺少嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，該理論因其物理上的直觀性和便于形式演算在現(xiàn)代量子物理中產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。這種不嚴(yán)格也給了他們無窮的想象空間。我想在分析與幾何里大展身手，就不需要學(xué)習(xí)別的了。他問我，想開始做研究還是繼續(xù)學(xué)更多的數(shù)學(xué)。可是丘先生對我說，“你要盡可能多的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，因?yàn)楫厴I(yè)以后要想學(xué)什么新東西都不容易了。但這卻深刻影響了我的學(xué)術(shù)生涯和人生軌跡。知識與技巧，到底哪一個(gè)更加重要呢？我的觀點(diǎn)是，對年輕人而言，知識更重要！知識讓我們站得更高，看到正確的方向，因?yàn)榉较蝈e(cuò)了，一切努力都不會有結(jié)果。做個(gè)比喻，一個(gè)武林高手，學(xué)了很多門派的武功，但是內(nèi)功不行，就容易走火入魔?，F(xiàn)在國內(nèi)熱衷的中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，就太過于強(qiáng)調(diào)技巧。我最近讀的牛頓傳記就寫的非常精彩。下面我將聯(lián)系自己的經(jīng)歷討論擁有寬廣知識面的重要性，數(shù)學(xué)與物理、及其它學(xué)科交叉的必要性，以及與朋友學(xué)術(shù)上交流的好處。那時(shí)很少有機(jī)會能聽到前沿的課程。這對每個(gè)人來說都是非常重要的，我們需要培養(yǎng)自己對于數(shù)學(xué)的鑒賞力。后來在我研究中成為重要工具的局部化思想也是在國內(nèi)學(xué)習(xí)與做碩士論文期間掌握的。從我來到哈佛大學(xué)開始，讓我感觸最深的就是那里教授和學(xué)生勤奮工作的作風(fēng)。一流的大學(xué)其實(shí)就是這樣一流的氛圍。哈佛舉辦各種討論班，參加的學(xué)生非常積極，座位不夠了，甚至?xí)诘厣?。Witten的文章“超對稱與Morse理論”，對我的工作影響是最大的，還有哈佛大學(xué)教授Bott“厚積薄發(fā)，舉重若輕”的研究風(fēng)格也令我頗多受益。就是說做數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)要順流而下，不要太費(fèi)勁，太勉強(qiáng)，要追求“輕舟已過萬重山”般的流暢，但也不要隨波逐流，兩方面要協(xié)調(diào)好，否則就談不上創(chuàng)新。這就要求我們在掌握豐富知識的基礎(chǔ)上更具創(chuàng)造性的思考問題，才能在數(shù)學(xué)發(fā)展的前沿占有一席之地。舉幾個(gè)學(xué)科間交叉的例子，微積分與線性代數(shù)結(jié)合創(chuàng)造了微分幾何；Faltings用綜合代數(shù)數(shù)論與代數(shù)幾何的Arakelov理論證明Mordell猜測；從對稱函數(shù)或更一般的，從緊群表示論出發(fā)，可以得到陳類，K理論，RiemannRoch公式和指標(biāo)理論；集模形式，表示論和拓?fù)溆谝惑w的橢圓虧格；物理學(xué)家揭示的弦論中的各種