20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)331雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程-展示頁(yè)
2024-11-28 23:22本頁(yè)面
【正文】 點(diǎn) , 兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線(xiàn)的 焦距 . 名師點(diǎn)撥 雙曲線(xiàn)的定義與橢圓的定義的異同 : ( 1 ) 兩者都是描述動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)距離的關(guān)系 ,但有本質(zhì)區(qū)別 ,雙曲線(xiàn)是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值是常數(shù) ,而橢圓則是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是常數(shù) 。 若將其改為 “ 大于 |F1F2|” ,其余條件不變 ,則這樣的曲線(xiàn)不存在 . ( 3 ) 定義中的關(guān)鍵詞 “ 絕對(duì)值 ” :若將 “ 絕對(duì)值 ” 去掉 ,其余條件不變 ,則點(diǎn)的軌跡表示的只是一支 ( 焦點(diǎn)在 x 軸上 :左支或右支 。同樣地 ,在方程x2a2?y2b2=1 中 ,只要令1a2=m , 1b2=n ,則對(duì)應(yīng)的方程為 mx2+ n y2=1. 由此可見(jiàn) ,雙曲線(xiàn)與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程都能夠化為 mx2+ n y2=1 ( 對(duì)于焦點(diǎn)在縱軸上的橢圓與雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程也不難得出相同的結(jié)論 ) .因此 ,在具體問(wèn)題中可以考慮將所要求的橢圓或雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為 mx2+ n y2=1 的形式 ,只是要注意這個(gè)方程在表示橢圓與雙曲線(xiàn)時(shí) ,對(duì)于 m , n 的要求不一樣 . 1 2 思考 3 雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1 ( a 0 , b0 ) 的焦點(diǎn)是 ( c , 0 ) , ( c , 0 ), 但焦點(diǎn)是 ( c , 0 ) , ( c , 0 ) 的雙曲線(xiàn)的方程一定是x2a2?y2b2=1 嗎 ? 提示 :根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知 ,即使其兩個(gè)焦點(diǎn)確定了 ,但定義中的常數(shù)不定時(shí) ,相應(yīng)的雙曲線(xiàn)也不定 .那么對(duì)于具體問(wèn)題中 ,如果要求與x2a2?y2b2=1 同焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 ,可以將所求的雙曲線(xiàn)方程設(shè)為x2a2+ λ?y2b2 λ=1 ( a2 λ b2) 的形式 ,從而解決問(wèn)題 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 雙曲線(xiàn)的定義及應(yīng)用 恰當(dāng)?shù)乩秒p曲線(xiàn)的定義 ,可以解決三角形的周長(zhǎng)、軌跡等問(wèn)題 ,這樣可以免去一些復(fù)雜的計(jì)算 ,提高同學(xué)們的解題能力 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例 題 1 】 已知雙曲線(xiàn)x216?y212=1 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1, F2, 過(guò)點(diǎn)F1作直線(xiàn) l 交雙曲線(xiàn)的左支于 A , B 兩點(diǎn) , 且 | AB | = 8 , 則 △ AB F2的周長(zhǎng)等于 . 解析 :由雙曲線(xiàn)的定義有 | A F2| |A F1| = 8 , | B F2| | B F1| = 8 . 兩式相加得 | A F2| + | B F2| = | A F1| + |B F1| + 1 6 = | AB | + 1 6 = 2 4 , 則 △ ABF2的周長(zhǎng)為 | AB | + | A F2|+ | B F2| = 2 4 + 8 = 3 2 . 答案 : 32 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例題 2 】 若一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P ( x , y ) 到兩個(gè)定點(diǎn) F1( 1 , 0 ), F2( 1 , 0 ) 的距離的差的絕對(duì)值為定值 a ( a ≥ 0 ), 試討論點(diǎn) P 的軌跡方程 . 思路分析 :從題設(shè)條件看 , P 點(diǎn)的軌跡似乎是雙曲線(xiàn) ,但注意到雙曲線(xiàn)定義中的條件 ,所以要確定點(diǎn) P 的軌跡方程 ,應(yīng)依據(jù)條件 ,對(duì) a 進(jìn)行分類(lèi)討論 . 解 : |F1F2| = 2 . ( 1 ) 當(dāng) a= 2 時(shí) ,軌跡是兩條射線(xiàn) y = 0 ( x ≥ 1 ) 與 y = 0 ( x ≤ 1 )。 ( 3 ) 當(dāng) 0 a 2 時(shí) ,軌跡是以 F1, F2為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn) , c= 1 , b2=1 a24, 所以方程為x2a24?y21 a24=1 。若 n m 0 ,則為焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓 。若 m 0 , n 0 ,則為焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線(xiàn) . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例題 3 】 已知雙曲線(xiàn)過(guò) P1 2 ,32 5 和 P 2 43 7 , 4 兩點(diǎn) , 求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 . 思路分析 :解法一 :因無(wú)法判定雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)所在的位置 ,可分別設(shè)為x2a2?y2b2=1 ( a0 , b0 ) 和y2a
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