02-謂詞邏輯-展示頁
2024-08-31 00:52本頁面
【正文】 因此 ， 可以對(duì)謂詞公式 α 中的約束變?cè)拿Q符號(hào) ， 這種遵守一定規(guī)則的更改 ，稱為 約束變?cè)膿Q名 。 示 例 (4) ?x(P(x)??xQ(x,z)??yR(x,y))?Q(x,y) 28 為了避免由于變?cè)募s束與自由同時(shí)出現(xiàn) ， 引起概念上的混亂 ， 故可對(duì)約束變?cè)M(jìn)行 換名 。 示 例 (3) (?x)(?y)(P(x,y)?Q(y,z))?(?x)P(x,y) 27 解 : (?x)的作用域是 (P(x)?(?x)Q(x,z)?(?y)R(x,y))， 其中 ， x 和 y都是約束變?cè)?， z是自由變?cè)?， 但 Q(x,z)中的 x是受 ?x的約束 ， 而不是受 ?x的 約束 。 (?x)的作用域是 P(x,y), 其中 x是約束變?cè)?，y是自由變?cè)?。 (2) (?x) (P(x) ? (?y)R(x,y)) 解： (?x)的作用域是 (P(x)→ (?y)R(x,y)， (?y)的作用域是 R(x,y)， x,y都是約束變?cè)?。 25 例 說明以下各式的作用域與變?cè)s束的情況 。在 α中除去 約束變?cè)酝馑霈F(xiàn)的變?cè)Q作 自由變?cè)?。這里 ?、 ?后面所跟的 x叫做量詞的 指導(dǎo)變?cè)?或 作用變?cè)?， P(x)叫做相應(yīng) 量詞的作用域 或 轄域 。 R：今天有雨； S：今天有雪； M(x)： x是人； F(x)： x摔倒。 解 2 設(shè) A(x): x是書柜 . B(x): x是大的 . C(x): x是紅的 . D(y): y是古老的 . E(y): y是圖書 . F(x,y): x擺滿 y. a: 這只 b: 那些 A(a)? B(a) ?C(a)? D(b)? E(b)? F(a,b) 22 示例 例題 5 沒有最大的自然數(shù) N(x)： x是自然數(shù)； G(x,y)： x大于 y。 P(x)： x聰明。 則 ?(?x)(M(x) ? ? F(x)) 例題 3 盡管有人聰明但未必一切人都聰明。 解：設(shè) M(x)： x是人 。 Q(x)： x是有理數(shù)。 20 例題 1 并非每個(gè)實(shí)數(shù)都是有理數(shù)。 (4)如果 A是合式公式， x是 A中出現(xiàn)的任何變?cè)? 則 (?x) A和 (?x)A都是合式公式。 (2)若 A是合式公式，則 ┒ A 是一個(gè)合式公式。 則 (1)可表示為： ?x(M(x)?D(x)) (2)可表示為： ?x(M(x)∧ G(x)) 19 23 謂詞公式與翻譯 定義 謂詞演算的合式公式，可由下述各條組成。 示 例 解： 必須引入一個(gè) 特性謂詞 將人從其他的一切事物中分離出來。 (2) 存在著個(gè)體，它是人并且它活百歲以上?！? (2) “有的人活百歲以上。 則 (2)可表示為 ?x G(x)。 則 (1)可表示為 ?x D(x)。 2. 全總個(gè)體域 17 當(dāng) x的 個(gè)體域 E為全體人 組成的集合時(shí)，符號(hào)化上述命題。而對(duì)客體的真正取值范圍，用 特性謂詞 加以限制。 16 定義： 各種個(gè)體域綜合在一起作為客體取值范圍的域稱為 全總個(gè)體域 。 ?含有量詞的命題函數(shù)表達(dá)式的形式與個(gè)體域有關(guān)。 15 說明 ?含有量詞的命題函數(shù)的真值與個(gè)體域有關(guān)。 ?存在唯一量詞 ?！ 用來表達(dá)“恰有一個(gè)”，“存在唯一一個(gè)”等詞。 ?存在量詞 ? 用來表達(dá)個(gè)體域中，“存在一些”、“至少有一個(gè)”、“對(duì)于一些”客體等意義。 222 量詞和全總個(gè)體域 14 1. 量詞 ?全稱量詞 ? 用來表達(dá)個(gè)體域中，“所有的”、“每一個(gè)”、“任一個(gè)”客體等意義。 示 例 13 使用謂詞、命題函數(shù)等概念，還不足以表達(dá)日常生活中的各種命題。 ?如果 P(x,y)解釋為“ x距離 y10米”，若 x,y,z表示地面上的房子，那么“ x距離 y10米且 y距離 z10米”。 ?如果 P(x,y)解釋為“ x為 y的兒子”，當(dāng) x,y,z都指人，有“若 x為 y的兒子且 y是 z的兒子則 x是 z的兒子”。 示 例 12 例 2 (P(x,y)?P(y,z))→ P(x,z) ?若 P(x,y)解釋為“ x小于 y”，當(dāng) x,y,z都在實(shí)數(shù)域中取值，則這個(gè)式子表示為：“若 x小于 y且y小于 z，則 x小于 z”。 ?如果 x的討論范圍為某中學(xué)里班級(jí)中的學(xué)生 ,則R(x)是永假式。 ?客體變?cè)谀切┓秶鷥?nèi)取值，對(duì)是否成為命題及命題的真值有影響。 多元謂詞其變?cè)蓙碓从诓煌恼撚颉? 例如： 若 L(x,y)表示 “ x小于 y”，則 L(2,3)表示一個(gè)真命題。 例如： H(x)， L(x,y,z)均是簡(jiǎn)單命題函數(shù)。 22 命題函數(shù)與量詞 9 定義 由一個(gè)謂詞和若干個(gè)客體變?cè)M成的命題形式稱為 簡(jiǎn)單命題函數(shù) ，表示為 P(x1,x2,…,x n)。 觀察上述命題的形式，可以發(fā)現(xiàn)它們具有共同的形式，即 H(x) 。 8 例： 設(shè)謂詞 H：是大學(xué)生， a表示客體張三， b表示客體李四， c表示客體王五。代表客體名稱的字母，它在 n元謂詞表達(dá)式中出現(xiàn)的次序與事先約定有關(guān)。 謂詞的表示 例 （ 1）李明是學(xué)生；（ 2）張亮比陳華高； （ 3）陳華坐在張亮與李明之間。 ?把謂詞字母后填以客體所得的式子稱為 謂詞填式。 ?用 大寫字母表示謂詞 ， 小寫字母表示客體 名稱。主語一般是 客體 ，客體可以獨(dú)立存在，即可以是具體的，也可以是抽象的。 Q：蘇格拉底是人。 3 第二章 謂詞邏輯 ?謂詞的概念與表示 ?命題函數(shù)與量詞 ?謂詞公式與翻譯 ?變?cè)募s束 ?謂詞演算的等價(jià)式與蘊(yùn)含式 ?前束范式 ?謂詞演算的推理理論 4 命題的局限性 例如：所有的人都是要死的，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死的。離散數(shù)學(xué) 第二章 謂詞邏輯 2 在命題邏輯中，主要研究命題和命題演算，其基本組成單位是原子命題，實(shí)際上，原子命題還可以進(jìn)一步分解，特別是兩個(gè)原子命題間，常常有一些共同特征，為了刻劃命題內(nèi)部的邏輯結(jié)構(gòu)，需要研究謂詞邏輯。 此外，命題邏輯的推證中有很大的局限性，有些簡(jiǎn)單的論斷不能用命題邏輯進(jìn)行推證，例如蘇格拉底三段論。 (蘇格拉
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