20xx屆高考數(shù)學(xué)文二輪專題復(fù)習(xí)課件蘇教版：第16講函數(shù)與方程思想-展示頁(yè)
2025-05-06 20:59本頁(yè)面
【正文】 數(shù) y ＝ f ( x ) ， 當(dāng) y ＝0 時(shí) ， 就轉(zhuǎn)化為方程 f ( x ) ＝ 0 ， 也可以把函數(shù)式 y ＝ f ( x ) 看做二元方程 y － f ( x ) ＝ 0. 函數(shù)問題 ( 例如求函數(shù)的最值 、 值域等 ) 可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解 ， 方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解 ，如解方程 f ( x ) ＝ 0 ， 就是求函數(shù) y ＝ f ( x ) 的零點(diǎn) ． ( 2 ) 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化 ， 對(duì)于函數(shù) y ＝ f ( x ) ， 當(dāng) y 0時(shí) ， 就轉(zhuǎn)化為不等式 f ( x ) 0 ， 借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)可以解決 ． 而研究函數(shù)的性質(zhì) ， 也離不開解不等式 ． ( 3 ) 數(shù)列的通項(xiàng)或前 n 項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù) ， 用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題十分重要 ． ( 4 ) 解析幾何中的許多問題 ， 例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題 ， 需要通過解二元方程組才能解決 ， 涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論 ． 第 16 講 │ 主干知識(shí)整合 (5) 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決． 函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解 ( 證 ) 不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的．許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決．函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點(diǎn)． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)一 構(gòu)造函數(shù)或方程來解決問題 例 1 已知集合 M ＝ {( x ， y )| ( x ＋ x2 ＋ 1 )( y ＋ y 2 ＋ 1 ) ＝ 1} ，則集合 M 表示的圖形是 ________ ． 【 答案 】 直線 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解析】 本題關(guān)鍵是找到變量 x ， y 的關(guān)系 ， 直接化簡(jiǎn)會(huì)很復(fù)雜 ， 如果移項(xiàng)變形 ， 化為 x ＋ x2＋ 1 ＝1y ＋ y2＋ 1＝－ y ＋ y2＋ 1 ， 構(gòu)造函數(shù) f ( x ) ＝ x ＋ x2＋ 1 ( x ∈ R ) 會(huì)輕易解決 ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 思路 1 ：把式子中的字母 x ， y 看作變量，把等式中出現(xiàn)的代數(shù)式看作函數(shù)． 等式化為 x ＋ x2＋ 1 ＝1y ＋ y2＋ 1＝－ y ＋ y2＋ 1 . 構(gòu)造函數(shù) f ( x ) ＝ x ＋ x2＋ 1 ( x ∈ R) ，則上式就是 f ( x )＝ f ( － y ) ， 由于函數(shù) f ( x ) ＝ x ＋ x2＋ 1 ( x ∈ R) 為 R 上的增函數(shù)，則 x ＝－ y ，即 x ＋ y ＝ 0. 所以，集合 M 表示的圖形是直線．這個(gè)問題的解決是函數(shù)思想的勝利． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 我們還可以用另一種函數(shù)來思考 ． 思路 2 ： 構(gòu)造一個(gè)常見的函數(shù) g ( x ) ＝ lg ( x ＋ x2＋ 1 )( x∈ R ) ， 則 g ( x ) 為 R 上的增函數(shù) ， 且為奇函數(shù) ． 又已知等式可化為 g ( x ) ＋ g ( y ) ＝ lg ( x ＋ x2＋ 1 ) ＋ lg ( y ＋ y2＋ 1 ) ＝ lg 1 ＝0 ， 于是有 g ( x ) ＝－ g ( y ) ＝ g ( － y ) ， 因此 x ＝－ y ， 即 x ＋ y＝ 0. 所以 ， 集合 M 表示的圖形是直線 ． 思路 3 ：以方程的知識(shí)為切入點(diǎn)，設(shè) s ＝ x ＋ x2＋ 1 ， t＝ y ＋ y2＋ 1 ，于是 s ， t 分別是方程 s2－ 2 xs － 1 ＝ 0 ， t2－ 2 yt－ 1 ＝ 0 的正根．由此可得 s － 2 x －1s＝ 0 ， t－ 2 y －1t＝ 0 ，相加并注意到 st ＝ 1 ，得 s ＋ t－ 2( x ＋ y ) －s ＋ tst＝ 0 ，即 x ＋ y ＝ 0.所以，集合 M 表示的圖形是直線． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 本題難在對(duì)所給的式子不會(huì)化簡(jiǎn) ， 導(dǎo)致半途而廢 ． 因?yàn)樗o式子中有兩個(gè)變量 x ， y ， 如果把所給等式整理為 x ＋ x2＋ 1 ＝1y ＋ y2＋ 1＝－ y ＋ y2＋ 1 ， 不難發(fā)現(xiàn)能構(gòu)造函數(shù) f ( x ) ＝ x ＋ x2＋ 1 ( x ∈ R ) 來解決 ． 高考中的壓軸題往往需要站在數(shù)學(xué)思想的角度來研究 ， 蠻干是不行的 ． 本題思路 3 對(duì)于學(xué)生來說要求比較高 ， 僅供同學(xué)們賞析 ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 已知函數(shù) f ( x ) ＝－ x 3 ＋ ax 2 ＋ b ( a ， b ∈ R ) ， 若函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象上任意不同的兩點(diǎn)的連線斜率小于 1 ，則 a 的取值范圍為 ____ ____ ． 【 答案 】 [ － 3 ， 3 ] 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解析】 設(shè) x 1 ， x 2 ∈ R ， 且 x 1 ≠ x 2 ，f ? x 2 ? － f ? x 1 ?x 2 － x 11 ， 不妨設(shè) x 1 x 2 ， 則 f ( x 2 ) － x 2 f ( x 1 ) － x 1 . 令 F ( x ) ＝ f ( x ) － x ， 則 F ( x ) 為 R 上的減函數(shù) ， ∴ F ′ ( x ) ＝－ 3 x2＋ 2 ax － 1 ≤ 0 對(duì) x ∈ R 恒成立 ， 即 3 x2－ 2 ax ＋ 1 ≥ 0 對(duì) x ∈ R 恒成立 ， ∴ Δ ≤ 0 ? － 3 ≤ a ≤ 3 . 第
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