韋達定理應用資料資料-展示頁
2025-07-08 18:05本頁面
【正文】 ）沒有實數(shù)根 （D）不能確定 ，有關(guān)問題在中考試題中出現(xiàn)的頻率非常高，多為選擇題或填空題，如： 設(shè)x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的兩根，則x12＋x22的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 3．在中考試題中常出現(xiàn)有關(guān)根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系的綜合解答題?！驹囶}答案】1. －1 2. 4，1 3. A 4. a=1或135. －3≤a≤－2 提示：分a=－3以及a≠－3討論求解6. 13例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整數(shù)根． (’94祖沖之杯數(shù)學邀請賽試題) 解：設(shè)方程的兩整數(shù)根為xx2，不妨設(shè)x1≤x2．由韋達定理，得 x1＋x2＝－p，x1x2＝q． 于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198， 即x1x2－x1－x2＋1＝199． ∴(x1－1)(x2－1)＝199． 注意到x1－x2－1均為整數(shù)， 解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0． 例2 已知關(guān)于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的兩個根都是正整數(shù)，求m的值． 解：設(shè)方程的兩個正整數(shù)根為xx2，且不妨設(shè)x1≤x2．由韋達定理得 x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1． 于是x1x2＋x1＋x2＝11， 即(x1＋1)(x2＋1)＝12． ∵xx2為正整數(shù)， 解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3． 故有m＝6或7． 例3 求實數(shù)k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整數(shù)． 解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求． 若k≠0，設(shè)二次方程的兩個整數(shù)根為xx2，由韋達定理得 ∴x1x2－x1－x2＝2， (x1－1)(x2－1)＝3． 因為x1－x2－1均為整數(shù)，所以 例4 已知二次函數(shù)y＝－x2＋px＋q的圖像與x軸交于(α，0)、(β，0)兩點，且α＞1＞β，求證：p＋q＞1． (’97四川省初中數(shù)學競賽試題) 證明：由題意，可知方程－x2＋px＋q＝0的兩根為α、β．由韋達定理得 α＋β＝p，αβ＝－q． 于是p＋q＝α＋β－αβ， ＝－(αβ－α－β＋1)＋1 ＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)． 一元二次方程根的判別式、判別式與根的個數(shù)關(guān)系、判別式與根、韋達定理及其逆定理 〖大綱要求〗 ，會判斷常數(shù)系數(shù)
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