數(shù)列與不等式證明方法歸納(解析版)-展示頁
2025-06-27 05:08本頁面
【正文】 數(shù)列再求和（2） 放縮成差比數(shù)列再錯位相減求和（3） 放縮成可裂項相消再求和（4） 數(shù)列和比大小可比較單項 公式、定理（1） 利用均值不等式（2） 利用二項式定理（3） 利用不動點定理（4） 利用二次函數(shù)性質(zhì) 累加、累乘（1） 累加法（2） 利用類等比數(shù)列累乘 證明不等式常用方法（1） 反證法（2） 數(shù)學歸納法及利用數(shù)學歸納法結論 其它方法（1） 構造新數(shù)列（2） 看到“指數(shù)的指數(shù)”取對數(shù)（3） 將遞推等式化為遞推不等式（4） 符號不同分項放縮一、數(shù)列求和（1）放縮成等比數(shù)列再求和[典例1]已知數(shù)列。[解析]（Ⅰ）令，得（*）；又，兩式相減得，即與同號（**）；由（*）、（**）得；（Ⅱ）令，得；由（Ⅰ）得單調(diào)遞減，即；所以；即。（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設的前項和為，求證：。（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求正整數(shù)，使最小。（2） 放縮成差比數(shù)列再錯位相減求和[典例1]已知數(shù)列滿足：，求證：。[典例2]已知數(shù)列與其前項和滿足。[解析]（Ⅰ）設公差為，所以，解得，所以；因為，所以，兩式相減得；將代入原等式，解得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以（糖水原理）；所以，有錯位相減法得，所以。求證：。[典例2]已知數(shù)列滿足。[解析]（Ⅰ）因為，兩式相減得；所以，是公比為3的等比數(shù)列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得；因為；所以[典例3]設是數(shù)列前項之積，滿足。[解析]（Ⅰ）因為，所以，即，所以是公差為1的等差數(shù)列，首項為2，所以，即，所以；（Ⅱ）設，因為，即是遞增數(shù)列，所以，即不等式左端成立；又因為，即不等式右端成立；綜上。（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設的前項和為，求證：。[典例2]已知，圓：與軸正半軸的焦點為，與曲線的交點為，直線與軸的交點為。[解析]（Ⅰ）由點在曲線上可得，又點在圓上，則，從而的方程為，由點在上得：，將代入化簡得，則；（Ⅱ）原不等式化為，將不等式左右兩端分別看成
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