【正文】 C和 ∠ DOB都是直角 , 如果 ∠ AOB=150176。1539。30″,∠ C=176。,∠ B=20176。, 則 ? ( ) A.∠ A∠ B∠ C B.∠ B∠ A∠ C C.∠ A∠ C∠ B D.∠ C∠ A∠ B 答案 A ∵∠ A=20176。1539。1839。. ? 圖 4327 錯(cuò)因分析 射線 OC需分在 ∠ AOB的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況 .當(dāng) OC在 ∠ AOB的內(nèi)部時(shí) ,∠ AOC等于 ∠ AOB與 ∠ BOC的差 。. 所以 ∠ AOC的度數(shù)為 45176。+45176。=45176。. 分以下兩種情況 : (1)當(dāng) OC在 ∠ AOB的內(nèi)部時(shí) (如圖 4327① ), ∠ AOC=∠ AOB∠ BOC=90176。. ? 圖 4326 正解 因?yàn)?∠ AOB=90176。45176。,∠ AOB=2∠ BOC,所以 ∠ BOC=45176。. 121212點(diǎn)撥 解這類題目要從角平分線入手找角的數(shù)量關(guān)系 ,利用圖形中角的 和差轉(zhuǎn)化求解 . 易錯(cuò)點(diǎn) 沒有分類討論 ,導(dǎo)致漏解 例 已知 ∠ AOB=90176。=45176。, 所以 ∠ DOE=∠ COE∠ COD=65176。. (2)因?yàn)?∠ COE=65176。,那么 ∠ BOE是多少度 ? 解析 (1)因?yàn)?OC是 ∠ AOD的平分線 , 所以 ∠ COD=? ∠ AOD. 因?yàn)?OE是 ∠ BOD的平分線 ,所以 ∠ DOE=? ∠ BOD. 所以 ∠ COD+∠ DOE=? ∠ AOD+? ∠ BOD=? (∠ AOD+∠ BOD). 因?yàn)?∠ COD+∠ DOE=∠ COE,∠ AOD+∠ BOD=∠ AOB, 所以 ∠ COE=? ∠ AOB. 因?yàn)?∠ AOB=130176。. 題型三 角的平分線與角的和差的綜合運(yùn)用 例 3 如圖 4325,OC是 ∠ AOD的平分線 ,OE是 ∠ DOB的平分線 . ? 圖 4325 (1)如果 ∠ AOB=130176。+38176。,∠ AOD=(x+19)176。. 因?yàn)?∠ COD=19176。, 求 ∠ AOB的度數(shù) . ? 圖 4324 解析 設(shè) ∠ AOC=x176。5239。60″247。3=39176。3739。3139。3639。3139。+739。423″, 423″=739。47″9=315176。45″. (3)因?yàn)?35176。15″=45176。36176。1739。4239。5939。5939。. (2)將 82176。12″+176。, 所以 152176。+176。12″=176。. 解法二 :因?yàn)?152176。12″+176。, 所以 152176。5939。1039。4939。1039。3. 解析 (1)解法一 :因?yàn)?176。3739。47″9。 (3)35176。4239。 (2)82176。4939。=22176。. ∴∠ BOD=∠ AOD∠ AOB=64176。. ∵ OD平分 ∠ AOC, ∴∠ AOD=? ∠ AOC=? 128176。+86176。,∠ BOC=86176。,∠ BOC=86176。在 ∠ DOB內(nèi)部 ,從頂點(diǎn) O出發(fā) 只有一條射線 OC把 ∠ DOB分成兩部分 ,即 ∠ DOB是 ∠ COD與 ∠ COB的 和 .(2)∠ AOB在 ∠ AOC的內(nèi)部 ,也在 ∠ AOD的內(nèi)部 ,因此用兩個(gè)角差的形 式表示 ∠ AOB可以有兩種方法 .(3)先用角的和差表示出 ∠ AOC與 ∠ DOB,再看它們的大小關(guān)系 . 解析 (1)∠ AOC是 ∠ AOB與 ∠ BOC的和 ,∠ DOB是 ∠ COD與 ∠ BOC的和 . 即 ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC,∠ DOB=∠ COD+∠ BOC. (2)∠ AOB是 ∠ AOC與 ∠ BOC的差 ,或 ∠ AOB是 ∠ AOD與 ∠ DOB的差 . 即 ∠ AOB=∠ AOC∠ BOC=∠ AOD∠ DOB. (3)∠ AOC=∠ DOB. 理由 :因?yàn)?∠ AOB=∠ COD, 所以 ∠ AOB+∠ BOC=∠ COD+∠ BOC. 即 ∠ AOC=∠ DOB. 知識(shí)點(diǎn)三 角的平分線 定義 從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā) ,把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線 ,叫做這個(gè)角 的平分線 舉例 如圖 ,射線 OC把 ∠ AOB分成兩個(gè)相等的角 ,射線 OC叫做 ∠ AOB的平分 線 ? 基本性 質(zhì)和判 定方法 (1)角的平分線的基本性質(zhì) :如上圖 ,若 OC是 ∠ AOB的平分線 ,則 ∠ BOC =∠ AOC=? ∠ AOB。 (3)兩角的另一邊落在重合邊的同側(cè) 。 (5)∠ DOE ∠ BOD. 解析 (1)OB重合 ,OD在 ∠ AOB的內(nèi)部 ,故 ∠ AOB∠ BOD.(2)OA重合 , OB在 ∠ AOE的內(nèi)部 ,故 ∠ AOE∠ AOB.(3)OB重合 ,OD在 ∠ FOB的內(nèi)部 , 故 ∠ BOD∠ FOB.(4)OB重合 ,OF與 OA重合 ,故 ∠ AOB=∠ FOB.(5)OD重 合 ,OB在 ∠ DOE的內(nèi)部 ,故 ∠ DOE∠ BOD. 答案 (1) (2) (3) (4)= (5) 點(diǎn)撥 用疊合法比較角的大小的一般步驟 :(1)頂點(diǎn)重合 。 (3)∠ BOD ∠ FOB。 ? 重 要 提 示 (1)角的大小關(guān)系和角的度數(shù)的大小關(guān)系是一致的 ,是從“數(shù)”的方面來進(jìn)行比較的 . (2)使用疊合法時(shí)應(yīng)注意頂點(diǎn)重合 ,一邊重合 ,兩個(gè)角的另一邊落在重合一邊的同側(cè) . (3)兩個(gè)角的比較還可用中間值法 .通過兩個(gè)角與中間值的比較 ,得出大小關(guān)系 例 1 如圖 4321所示 ,點(diǎn) D在 ∠ AOB的內(nèi)部 ,點(diǎn) E在 ∠ AOB的外部 ,點(diǎn) F在 射線 OA上 ,試比較下列各角的大小 . ? 圖 4321 (1)∠ AOB ∠ BOD。O39。 (2)使兩個(gè)角的另一邊落在重合一 邊的同側(cè) 。B39。, ∠ AOB∠ A39。B39。, ∠ A39。 (3)讀數(shù) —— 讀出角的另一邊所對(duì) 的度數(shù) 。第四章 幾何圖形初步 初中數(shù)學(xué)（人教版） 七年級(jí) 上冊(cè) 知識(shí)點(diǎn)一 角的大小比較 內(nèi)容 方法 舉例 度 量 法 先用量角器量出角的度數(shù) ,再比 較其大小 (1)對(duì)“中” —— 角的頂點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)量 角器的中心 。 (2)重合 —— 角的一邊與量角器的 零刻度線重合 。 (4)比較度數(shù) —— 根據(jù)度數(shù)的大小 確定兩個(gè)角的大小 ∠ AOB=70176。O39。=40176。O39。 疊 合 法 把兩個(gè)角的頂點(diǎn)和一邊重合 ,兩 個(gè)角的另一邊落在重合邊的同 側(cè) ,根據(jù)另一邊的位置關(guān)系來比 較 (1)將兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合 。 (3)由兩個(gè)角的另一邊的位置確定 兩個(gè)角的大小 ∠ AOB∠ A39。B39。 (2)∠ AOE ∠ AOB。 (4)∠ AOB ∠ FOB。(2)一邊重合 。(4)觀察兩個(gè)角的另一邊的位置關(guān) 系 ,給出結(jié)論 . 知識(shí)點(diǎn)二 角的和、差、倍、分 角的運(yùn)算 敘述 圖例 角的 和、差 如圖例 ,(1)∠ AOC是 ∠ AOB與 ∠ BOC的和 ,記 作 ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC. (2)∠ AOB是 ∠ AOC與 ∠ BOC的差 ,記作 ∠ AOB=∠ AOC∠ BOC ? 角的 倍、分 如圖例 ,(1)如果 2個(gè) ∠ 1的和是 ∠ 2,那么 ∠ 2是 ∠ 1的 2倍或 ∠ 1是 ∠ 2的 ? ,記作 ∠ 2=2∠ 1或 ∠ 1=? ∠ 2. (2)如果 3個(gè) ∠ 1的和是 ∠ 3,那么 ∠ 3是 ∠ 1的 3 倍或 ∠ 1是 ∠ 3的 ? ,記作 ∠ 3=3∠ 1或 ∠ 1=? ∠ 3 ? 重要提示 (1)角的和、差是指角的度數(shù)的和、差 . (2)角的單位換算是 60進(jìn)制 ,因此在角的運(yùn)算中要注意單位的換算 . (3)初中數(shù)學(xué)中角的度數(shù)是一個(gè)非負(fù)數(shù) ,所以在角的運(yùn)算中不能出現(xiàn)負(fù)值 11例 2 根據(jù)圖 4322回答下列問題 : ? 圖 4322 (1)∠ AOC是哪兩個(gè)角的和 ?∠ DOB是哪兩個(gè)角的和 ? (2)∠ AOB是哪兩個(gè)角的差 ? (3)如果 ∠ AOB=∠ COD,那么 ∠ AOC與 ∠ DOB的大小關(guān)系如何 ?并說明 你的理由 . 分析 (1)在 ∠ AOC內(nèi)部 ,從頂點(diǎn) O出發(fā)只有一條射線 OB把 ∠ AOC分成 兩部分 ,即 ∠ AOC是 ∠ AOB與 ∠ BOC的和 。 (2)角的平分線的基本判定方法 :若 ∠ AOC=∠ BOC=? ∠ AOB,則 OC是 ∠ AOB的平分線 重要 提示 角的平分線是一條在角的內(nèi)部的射線 ,不是線段 ,也不是直線 12 12圖 4323 例 3 如圖 4323,∠ AOB=42176。,OD為 ∠ AOC的平分線 ,求 ∠ BOD的度數(shù) . 分析 根據(jù) ∠ BOD=∠ AOD∠ AOB可知 ,要求出 ∠ BOD的度數(shù) ,首先要 求出 ∠ AOD的度數(shù) ,由角的平分線的定義得 ∠ AOD=? ∠ AOC,而 ∠ AOC =∠ AOB+∠ BOC. 12解析 ∵∠ AOB=42176。, ∴∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=42176。=128176。=64176。42176。. 12題型一 角的運(yùn)算 例 1 計(jì)算下列各題 : (1)152176。12″+176。36176。15″。3639。 (4)41176。247。=20176。48″, 152176。12″+20176。48″=172176。60″=173176。4939。=173176。4939。, 176。=173176。4939。=173176?；癁?81176。60″, 81176。60″36176。15″=45176。45″, 所以 82176。4239。1739。3639。32439。3″,32439。=5176。,