孫會(huì)元固體物理基礎(chǔ)第三章能帶論課件33緊束縛近似-展示頁(yè)
2025-06-21 18:47本頁(yè)面
【正文】 的兩個(gè)格點(diǎn)上的波函數(shù)的重疊積分，它依賴于 與 的重疊程度 , 重疊最完全，即 Jss 最大，其次是 最近鄰格點(diǎn) 的波函數(shù)的重疊積分 ,涉及較遠(yuǎn)格點(diǎn)的積分甚小 ，通?？珊雎圆挥?jì)。 ( ) ( ) 0nnnnik R ati i s nRik Ri s at m i nReke r R V r R r R d? ? ?? ? ??? ?? ?????? ? ? ???? ?0? ( ) ( )ati n i i nH r R r R? ? ?? ? ?考慮到 ： 方程變?yōu)椋? /22 ( ) ( )21 ( ) ( ) 0nnmik Rat m iRat nRine V r R kN V r R r Rm ? ?? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ??????令 /( ) ( ) ( )s n i s a t m i nJ r R V r R r R d? ? ??? ? ? ? ???? ? /( ) 0s s nni k R i k R i k Rati i s s s nRe k e J e J?? ???? ? ? ? ??? ?( ) 0snnik R ik Rati i snRe k e J???????? ? ? ??從而： ( ) 39。 ati?(2)晶體中電子運(yùn)動(dòng)方程 ? ( , ) ( ) ( , )i i iH k r k k r? ? ?? 電子繞格點(diǎn) 處原子運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程 : nR電子繞原子軌道運(yùn)動(dòng)的波函數(shù) rnRO nrR?晶體電子的哈密頓 和波函數(shù)前面已經(jīng)給出 將上面的波函數(shù)代入薛定諤方程 ? ( ) ( ) ( )ikkH r k r? ? ??4. 晶體電子的能量本征值和能帶的形成 22 / 39。 nR()atinrR? ?nRati? /? ()ma t mRH V r R? ???rnRO nrR?其中 為孤立原子中電子的哈密頓 為其它原子的周期微擾勢(shì)。0? ? ?( ) ( )2 ma t n a t mRH V r R V r R H Hm? ? ? ? ? ? ? ? ??220? ()2 a t nH V r Rm? ? ? ? ? 如果不考慮原子間的相互影響，在格點(diǎn) 附近的電子將以原子束縛態(tài) 繞 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。( ) ( )ma t n a t mRV r V r R V r R? ? ? ??1 1 2 2 3 3()a t n nR n a n a n aV r R ? ? ?? 表 示 位 于 的 孤 立 原 子 在mmnRr R R?? /處 的 勢(shì) 場(chǎng) ， 表 示 求 和 不 含 一 項(xiàng)因此，緊束縛近似下晶體電子的哈密頓為 22 / 39。 ati?這些波函數(shù)對(duì)應(yīng)于同樣的能量 是 N重簡(jiǎn)并的 (對(duì)整個(gè)晶體而言 )。 ()imrR? ?( ) ( )nn i nRr a r R????? * ( ) ( )i n i m m nr R r R d r? ? ?? ? ??由布洛赫定理，組合后的波函數(shù) ( ) ( )nn i nRr a r R?????應(yīng)為 布洛赫函數(shù) 為此取 1nik RnaeN??則晶體中的單電子波函數(shù)變?yōu)椋? 1( ) ( )nnik RinkRr e r RN?? ????下面驗(yàn)證 為布洛赫函數(shù) ()k r?()1( ) ( )mmnnRikmnkRRmiRr R rNRe R?? ????? ???1( ) ( )nni k RinkRr e r RN?? ????()1 )()(nnmmRRnmi k i k RiRRRe e rN????? ???n m lR R R??令 ：1 ()m llik RR ikilRe r RNe ??? ?? ?()m kik Re r???得證。 i?ati?如 1s， 2s， 2p， … 等量子態(tài)。因而較適合于原子較內(nèi)層的電子的情況。緊束縛近似得到的結(jié)果除了使布洛赫電子的波函數(shù)和能帶進(jìn)一步具體化以外，還 能初步解釋半導(dǎo)體和絕緣體中所有電子的能帶 ，尤其對(duì)過(guò)渡族金屬中的 3d電子的能帶比較適用。第三節(jié) 緊 束 縛 近 似 (tight binding approximation) 本節(jié)主要內(nèi)容 : 一、緊束縛近似的模型及其能帶 二、 萬(wàn)尼爾函數(shù) (Wannier function) 近自由電子近似是把晶體中運(yùn)動(dòng)的電子看作在弱周期場(chǎng)中接近自由運(yùn)動(dòng)的一種極端的情形，適用于金屬中的傳導(dǎo)電子。緊束縛近似則是另一種極端的模型，是 1928年布洛赫提出的第一個(gè)能帶計(jì)算方法 緊束縛近似認(rèn)為晶體中的電子態(tài)與組成晶體的原子在其自由原子態(tài)時(shí)差別不大， 晶體電子的波函數(shù)可以用原子軌道線性組合來(lái)構(gòu)成 ，因而較適合于原子較內(nèi)層的電子的情況。 一、緊束縛近似的模型及其能帶 — 原子軌道線性組合 (LCAO) (Linear Combination of Atomic Orbitals) 緊束縛近似 認(rèn)為晶體中的電子在某個(gè)原子附近時(shí)主要受該 原子勢(shì)場(chǎng) 的作用，以 孤立原子的電子態(tài)作為零級(jí)近似 ， 其它原子的作用是次要的，被看作微擾 。 ()at mV r R? 假設(shè)原子位于簡(jiǎn)單晶格的格點(diǎn)上 ,格矢 : ，有一個(gè)電子在其附近運(yùn)動(dòng)，若不考慮其它原子的影響，則電子滿足孤立原子中運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程 1 1 2 2 3 3nR n a n a n a? ? ?電子運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程 22? ( ) ( ) ( ) ( )2ata t i n a t n i n i i n
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