【正文】 每根桿水平和豎直方向合力都為零，合力矩也應(yīng)為零，有對(duì)桿1，取上端為參考點(diǎn) 對(duì)桿2，取上端為參考點(diǎn) 桿1和桿2關(guān)聯(lián)的幾何條件 上述三式得 和聯(lián)立得令，上述方程變?yōu)?多項(xiàng)式的圖像為用數(shù)值解，的到四個(gè)解，, 在范圍內(nèi)的解為，上頂角為兩個(gè)側(cè)頂角為兩個(gè)下頂角為用虛功原理求解體系只有一個(gè)自由度。解：因左右兩側(cè)對(duì)稱，只需求出和，五邊形的五個(gè)頂角就都知道了，即上頂角為，兩個(gè)側(cè)頂角為，兩個(gè)下頂角為設(shè)每根桿的質(zhì)量為，長(zhǎng)度為。例子 五根質(zhì)量分布均勻、質(zhì)量和長(zhǎng)度完全相同的細(xì)桿，用光滑鉸鏈互相聯(lián)結(jié)并懸掛起來(lái)。平衡條件：塊磚所受總重力作用線不能超出最底下那塊磚與壁的支持面，即，得 最上面第1塊磚要平衡，其重力作用線不能超出其下第2塊磚的邊緣，故第1塊磚伸出的最大長(zhǎng)度為；第2兩塊磚合起來(lái)總長(zhǎng)度為，重心在中間，即第2塊磚伸出。自由度為1時(shí)，自由度為2時(shí)，如果勢(shì)能在平衡位置取極大值，則是不穩(wěn)定平衡；勢(shì)能是常數(shù)則是隨遇平衡飛檐問(wèn)題：建造屋頂邊緣時(shí)，用長(zhǎng)度為的長(zhǎng)方形磚塊，一塊壓著下面一塊并伸出磚長(zhǎng)的，如果不用水泥粘緊，則最多可以堆幾層同樣的磚剛好不翻到？這樣的幾層磚最多可使屋緣“飛”出多長(zhǎng)？解：一塊磚的重心在處，疊放一塊磚后，由于伸出，兩磚總長(zhǎng)，共同重心在總長(zhǎng)一半。一般與重心高度和支持面大小有關(guān)，重心越低，支持面越大越穩(wěn)定。穩(wěn)度—物體穩(wěn)定的程度。在地球表面近似與質(zhì)心重合。注意：所有外力對(duì)某一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和為零時(shí)，則對(duì)任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和都等于零。有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡—力矩的代數(shù)和為零。地球相對(duì)于日心系有公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)，嚴(yán)格說(shuō)不是慣性系，但由于這種加速度很小，在一定精度范圍內(nèi)，地球仍可視作慣性系。一切相對(duì)慣性系做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系也是慣性系。其數(shù)學(xué)表達(dá)式 第三定律：兩個(gè)物體間的相互作用力總是等值反向且沿同一直線。牛頓第一、二、三運(yùn)動(dòng)定律 慣性參考系的概念第一定律：任何物體都保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直到其它物體的作用迫使改變這種狀態(tài)為止。 平動(dòng)慣性力：在相對(duì)于慣性系加速平動(dòng)的參考系里附加的力； 慣性離心力：轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中附加力2 視重跟緯度的關(guān)系 可以近似得到考慮地坪扁平在兩極處最大，在赤道最小。設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為，太陽(yáng)中心到地球中心的距離為，則有由于地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的速度為，相對(duì)地球只要。三個(gè)宇宙速度第一宇宙速度（環(huán)繞速度）：人造天體環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的速度，設(shè)地球的半徑為，則第二宇宙速度（脫離速度）：人造天體發(fā)射到地球引力以外的最小速度。第二定律（面積定律）：對(duì)每個(gè)行星來(lái)說(shuō)，太陽(yáng)和行星的聯(lián)線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積（面積速度=Costant）第三定律（周期定律）：所有行星的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等（）。若均勻?qū)嵭那蛸|(zhì)量為，半徑為，則在距離球心為的質(zhì)點(diǎn)所受到的引力為，勢(shì)能為均勻球殼對(duì)殼內(nèi)和殼外質(zhì)點(diǎn)的引力公式（不要求導(dǎo)出） 球內(nèi)：球外：開(kāi)普勒定律第一定律（軌道定律）：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)。其中適用條件：適用于兩質(zhì)點(diǎn)之間的力；兩個(gè)質(zhì)量均勻分布的球體間的引力，可把各自質(zhì)量集中于各自球心。動(dòng)摩擦因素與靜摩擦因素 摩擦角 判斷物體不發(fā)生滑動(dòng)的條件：全反力與的夾角靜摩擦力方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反，滑動(dòng)摩擦力方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反。大小：；方向：豎直向下。有平動(dòng)慣性力、慣性離心力、科里奧利力等`。等效力：合力、分力、向心力、力偶等。 力學(xué)中常見(jiàn)的幾種力力：物體間的相互作用。特點(diǎn)是：剛體上的各點(diǎn)都在與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，但半徑可不相等，各點(diǎn)角速度都相同，因而某一時(shí)刻剛體上所有各點(diǎn)的角度，角速度，角加速度都相同 ，勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，為常量，為初始角速度，為初始角度。特點(diǎn)是：任意兩點(diǎn)A和B其軌跡相似，且，剛體的平動(dòng)可用剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代替。剛體的平動(dòng)和繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體—在外力作用下，大小、形狀等都保持不變的物體；或組成物體的所有質(zhì)點(diǎn)之間的距離始終保持不變。圓上各點(diǎn)曲率相同：，對(duì)曲線上各點(diǎn)，對(duì)應(yīng)地有半徑的圓，叫曲率圓，曲率圓圓心叫曲率中心。分析：質(zhì)點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度分為切向加速度和法向加速度，前者反映質(zhì)點(diǎn)速率變化快慢，后者反映質(zhì)點(diǎn)速度方向變化快慢。圓周運(yùn)動(dòng) 圓周運(yùn)動(dòng)—軌跡是圓的運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)—在任何相等時(shí)間內(nèi)通過(guò)的圓弧長(zhǎng)度都相等的圓周運(yùn)動(dòng)各量之間關(guān)系， ；， 非勻速圓周運(yùn)動(dòng)—線速度的大小在不斷改變的圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度方向不變，大小在不斷改變。離開(kāi)斜面上升過(guò)程的最大位移若小球初速度為，方向與水平成角（），則小球沿斜面方向的分運(yùn)動(dòng)是初速度為、加速度為的勻加速度運(yùn)動(dòng)；對(duì)于確定的速度，小球落回斜面的時(shí)間，取決于初速度；而在斜面上的落點(diǎn)與拋出點(diǎn)的距離即小球在時(shí)間內(nèi)的位移應(yīng)為，與的平方成正比。方向夾角）加速度：直角坐標(biāo)系 ， 自然坐標(biāo)系 ， 軌跡 斜拋運(yùn)動(dòng)—質(zhì)點(diǎn)只在重力作用下，且初速度與水平方向成一定夾角的運(yùn)動(dòng)位移：水平方向 豎直方向 速度：水平方向 豎直方向 加速度 直角坐標(biāo)系 ， 軌跡 幾個(gè)特征量飛行時(shí)間 射高 射程 有空氣阻力情況下的拋體運(yùn)動(dòng)設(shè)空氣阻力與拋體運(yùn)動(dòng)速度的次方成正比，為正常量。 拋體運(yùn)動(dòng) 平拋運(yùn)動(dòng)—質(zhì)點(diǎn)只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的運(yùn)動(dòng)位移：水平方向 豎直方向 合位移 方向 （為位移與水平等時(shí)性原理 合運(yùn)動(dòng)是同一物體在同一時(shí)間內(nèi)同時(shí)完成幾個(gè)分運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，對(duì)同一物體同時(shí)參與幾個(gè)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行合成才有意義。解：桿與凸輪在A點(diǎn)接觸，桿上A點(diǎn)的速度是豎直向上的，輪上A點(diǎn)速度是水平向右的，根據(jù)接觸系觸點(diǎn)速度相關(guān)特點(diǎn)，兩者沿接觸面法向的分速度相同（兩者在法向無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)機(jī)，即棒始終沒(méi)有離開(kāi)凸輪，而沿切向有滑動(dòng)），即 得桿相對(duì)于凸輪的速度的切向分量：加速度：， 問(wèn)題 在離水平面高度為的岸邊，有人用繩子拉船靠岸，若人收繩的速率恒為，試求船在離岸邊距離處時(shí)的速度與加速度的大小各為多少？解：沿繩方向“收短”的分速度和垂直于繩方向的轉(zhuǎn)動(dòng)分速度合成實(shí)際速度，由幾何關(guān)系易得 ，而在時(shí)間內(nèi)，船頭從A點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，繩繞滑輪轉(zhuǎn)過(guò)一小角度，速度增量，加速度直接計(jì)算：算與的函數(shù)關(guān)系考慮初始條件，積分得標(biāo)量：矢量矢量的合成和分解 *矢量的標(biāo)積和矢積 勻速及勻變速直線運(yùn)動(dòng)及其圖像 （略） 運(yùn)動(dòng)的合成 當(dāng)物體實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)較復(fù)雜時(shí)，可將其等效為同時(shí)參與幾個(gè)簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)，前者稱為合運(yùn)動(dòng)，后者稱為物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)。 1 如圖示，物體A置于水平面上，物體A前固定有動(dòng)滑輪B，D為定滑輪，一根輕繩繞過(guò)B、D后固定在C點(diǎn)，BC段水平，當(dāng)以速度拉繩頭時(shí)，物體A沿水平面運(yùn)動(dòng)，若繩與水平面夾角為，物體A運(yùn)動(dòng)的速度多大？ 解：任何時(shí)刻繩BD段上各點(diǎn)有與繩D端相同的沿繩BD段方向的分速度設(shè)A右移速度為，則相對(duì)于A，繩上B點(diǎn)是以速度從動(dòng)滑輪中抽出的，即根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成法則，在沿繩BD方向上，繩上B點(diǎn)速度是相對(duì)于參考系A(chǔ)的速度與參考系A(chǔ)相對(duì)于靜止參考系速度的合成，即得解法二 位移關(guān)系 兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo) 得2 半徑為的半圓凸輪以等速沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)從動(dòng)桿AB沿豎直方向上升，O為凸輪圓心，P為其頂點(diǎn)。要定量計(jì)算就要建立具體坐標(biāo)系（由實(shí)物構(gòu)成的參考系的數(shù)學(xué)抽象），坐標(biāo)系相對(duì)參考系是靜止的。全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽課內(nèi)容一、理論基礎(chǔ)力學(xué)參照系 —描述機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)選定做參考的物體。實(shí)際上是假定不動(dòng)的物體。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移：直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)速度：，相對(duì)速度：物系相關(guān)速度桿或繩約束物系各點(diǎn)速度的相關(guān)特征是：在同一時(shí)刻必具有相同的沿桿、繩方向的分速度；接觸物系接觸點(diǎn)速度的相關(guān)特點(diǎn)是：沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的分速度在無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)相同；線狀相交物系交叉點(diǎn)的速度是相交雙方沿對(duì)方切向運(yùn)動(dòng)分速度的矢量和。求當(dāng)時(shí)，AB桿的速度。遵循如下原理：獨(dú)立性原理 構(gòu)成一個(gè)合運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)分運(yùn)動(dòng)是彼此獨(dú)立、互不相干的，物體的任意一個(gè)分運(yùn)動(dòng)，都按其自身規(guī)律進(jìn)行，不會(huì)因有其它分運(yùn)動(dòng)的存在而發(fā)生變化。矢量性原理 描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行合成與分解時(shí)應(yīng)按矢量法則即平行四邊形法則作相應(yīng)物理量的運(yùn)算。方向夾角）速度：水平方向 豎直方向 合速度 方向 （為位移與水平其運(yùn)動(dòng)微分方程為，其數(shù)值解如下：?jiǎn)栴} 從傾角為的斜坡頂端以初速度水平拋出一小球，不及空氣阻力，若斜坡足夠長(zhǎng)，則小球拋出后離開(kāi)斜坡的最大距離是多少？解：以小球拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，沿斜坡向下為軸，垂直斜坡向上為軸建立坐標(biāo)系，則小球沿軸方向的分運(yùn)動(dòng)是初速度為，加速度為的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，小球勻減速地沿軸遠(yuǎn)離斜面，當(dāng)速度減為零時(shí)，與斜面距離最大，而后又勻加速地返回斜面，小球與斜面的距離只需考察垂直于斜面方向的分運(yùn)動(dòng)?？偨Y(jié)：研究斜面上的拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，合理分解運(yùn)動(dòng)，正確判斷運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和列出方程；注意由斜面傾角制約著的分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)間的幾何關(guān)系。問(wèn)題 質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿半徑為的圓周作速率均為增大的運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度與速度方向夾角為，質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的弧所對(duì)的圓心角為，試確定與的關(guān)系。解：在A點(diǎn)時(shí) ，而， 其中是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間，聯(lián)立有，而 所以曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡是曲線，在數(shù)學(xué)上，曲率描述曲線（連續(xù)曲線）彎曲程度，曲線上某點(diǎn)的曲率定義為，為弧長(zhǎng)兩端切線方向變化角度。圓是曲率中心處處相同的曲線，一般曲線各點(diǎn)曲率不盡相同。剛體的平動(dòng)—?jiǎng)傮w內(nèi)所作的任一直線始終保持和自身平行。剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)—?jiǎng)傮w繞某一固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上某點(diǎn)有 ，是點(diǎn)到軸的距離。作用：碰撞、擠壓、拉伸、摩擦等直接作用；吸引、排斥等間接相互作用。慣性力：選擇的參考系為非慣性時(shí)，要附加的力。重力：由于地球的吸引而使物體收到的力。彈力：彈簧彈力 彈簧的串聯(lián) 彈簧的并聯(lián) 靜摩擦力：接觸的兩物體有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)產(chǎn)生的阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的力； 動(dòng)摩擦力：接觸的兩物體有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)的力。萬(wàn)有引力定律：有質(zhì)量的相距足夠遠(yuǎn)的兩個(gè)物體間的相互吸引力的大小與其質(zhì)量乘積成正比，與其距離的平方成反比，方向沿兩物體的連線。間距為兩球球心的距離；均勻球殼對(duì)殼內(nèi)和殼外質(zhì)點(diǎn)的引力公式，一個(gè)質(zhì)量為的均勻薄球殼和一質(zhì)量為，距離球心為的質(zhì)點(diǎn)之間的引力如下：（a） 如果質(zhì)點(diǎn)在球殼外，引力大小為；（b） 如果質(zhì)點(diǎn)在球殼外，引力大小零。太陽(yáng)在這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。人造衛(wèi)生的運(yùn)動(dòng)也滿足上述三定律行星和人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng) 繞力心作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。由機(jī)械能守恒當(dāng)?shù)谌钪嫠俣龋ㄌ右菟俣龋喝嗽焯祗w發(fā)射到太陽(yáng)引力范圍以外的最小發(fā)射速度?？紤]地球引力的存在，必須克服地球引力做功，所以而 *慣性力的概念 慣性力：因參考系為非慣性系而附加的等效力（假想力）。重力加速度近似公式其中是赤道處的值。第二定律：物體受外力作用時(shí)，物體所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比，并與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同。慣性系：牛頓運(yùn)動(dòng)定律成立的參考系。實(shí)驗(yàn)證明，以太陽(yáng)中心為原點(diǎn)，指向任一恒星的直線為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的日星系也是至今最精確的慣性系。3．物體的平衡 共點(diǎn)力作用下物體的平衡 合外力為零，若是三力平衡問(wèn)題，此三力不平行必共點(diǎn)且必共面。力矩 剛體體的平衡條件合外力為零，以過(guò)某點(diǎn)的軸為轉(zhuǎn)動(dòng)軸的合力矩也為零。重心：重力的作用中心。物體平衡的種類 不穩(wěn)定平衡—物體在平衡位置受到擾動(dòng)偏離平衡位置后不再回到平衡位置穩(wěn)定平衡—物體在平衡位置受到擾動(dòng)偏離平衡位置后會(huì)回到平衡位置隨遇平衡物體在平衡位置受到擾動(dòng)偏離平衡位置后，如果和外力仍為零，而能繼續(xù)保持平衡狀態(tài)。破壞一個(gè)平衡需要的能量越多，穩(wěn)度越高。保守體系平衡位置穩(wěn)定性的拉格朗日定理：如果在某一位置，保守體系的勢(shì)能有嚴(yán)格的極小值，則此位置是體系的穩(wěn)定平衡位置。設(shè)有塊相同的磚疊放，每塊均伸出，則總長(zhǎng)為，而總重心在總長(zhǎng)度的中間。設(shè)第3塊磚的伸出量為，由力矩平衡知，第塊磚伸出量的通項(xiàng)公式：“七級(jí)飛檐”最多能飛出的長(zhǎng)度：例子 均勻桿AB長(zhǎng)，重，A端與粗造的豎直墻接觸，B端用不可伸長(zhǎng)的繩懸掛于豎直墻的C點(diǎn)，桿呈水平狀態(tài)，繩與桿的夾角為試問(wèn)：（1）為了使桿達(dá)到靜力平衡，桿A端與豎直墻之間的摩察系數(shù)應(yīng)滿足什么條件？ （2）若在桿上懸掛另一重量為的重物，為了使桿仍維持平衡，所需摩察系數(shù)的最小值與懸點(diǎn)的位置有何關(guān)系？ 解：受力情況如圖示