辛等比數(shù)列題型ppt課件-展示頁
2025-05-12 18:33本頁面
【正文】 10＝ a1q9＝12 43＝ 32. 方法 2 ：因為 a7＝ a4q3，所以 q3＝ 4. 所以 a10＝ a4q10 － 4＝ a4q6＝ 2 42＝ 32. ( 2) 方法 1 ：因為????? a2＋ a5＝ a1q ＋ a1q4＝ 18 ③a3＋ a6＝ a1q2＋ a1q5＝ 9 ④ 由④③得 q ＝12，從而 a1＝ 32. 又 an＝ 1 ，所以 32(12)n － 1＝ 1 ， 即 26 － n＝ 20，所以 n ＝ 6. 方法 2 ：因為 a3＋ a6＝ q ( a2＋ a5) ，所以 q ＝12. 由 a1q ＋ a1q4＝ 18 ，知 a1＝ 32. 由 an＝ a1qn － 1＝ 1 ，知 n ＝ 6. 等比數(shù)列與等差數(shù)列一樣，是一類特殊的數(shù)列，是中學數(shù)學的一個重要內容，因此必須熟練掌握證明等比數(shù)列的方法．證明一個數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法有： (1) 定義法：anan－1＝常數(shù) q ( n ∈ N*， q ≠ 0 ， n ≥ 2) ? { an} 為等比數(shù)列，或an＋1an＝常數(shù) q ( n ∈ N*， q ≠ 0) ? { an} 為等比數(shù)列； (2) 等比中項法： a2n＝ an－1 an＋2( n ∈ N*) ? { an} 為等比數(shù)列． [例 ] 數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn， 數(shù)列 {bn}中 b1＝ a1， bn＝ an－ an－ 1(n≥2)， 若 an＋ Sn＝ n. (1)設 ＝ an－ 1， 求證數(shù)列 {}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列 {bn}的通項公式 ． 解析： (1) ∵ a1＝ S1， an＋ Sn＝ n ， ∴ a1＋ S1＝ 1 ，得 a1＝12. 又 an ＋ 1＋ Sn ＋ 1＝ n ＋ 1 ， ∴ 2( an ＋ 1－ 1) ＝ an－ 1 ，即an ＋ 1－ 1an－ 1＝12， ( n ∈ N*) 也即cn ＋ 1cn＝12，故數(shù)列 { cn} 是等比數(shù)列． ( 2) ∵ c1＝ a1－ 1 ＝－12， ∴ cn＝－12n . an＝ cn＋ 1 ＝ 1 －12n ， an ＋ 1＝ 1 －12n ＋ 1， 故當 n ≥ 2 時， bn＝ an－ an － 1＝12n － 1－12n ＝12n . 又 b1＝ a1＝12，即 bn＝12n ( n ∈ N ＋ ) ． [變式 ] 已知數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn＝ 3an＋ 1， 求證：{an}是等比數(shù)列 ， 并求出通項公式 ． 證明： ∵ Sn＝ 3 an＋ 1 ， ∴ Sn ＋ 1＝ 3 an ＋ 1＋ 1 ， ∴ Sn ＋ 1－ Sn＝ an ＋ 1＝ (3 an ＋ 1＋ 1) － (3 an＋ 1) ＝ 3 an ＋ 1－ 3 an， ∴ 2 an ＋ 1＝ 3 an， ① 又 ∵ S1＝ a1＝ 3 a1＋ 1 ， ∴ a1＝－12≠ 0 ， 由 ① 式可知， an≠ 0 ， ∴ 由an＋1an＝32知 { an} 是等比數(shù)列． an＝－1212n － 4 . 解法 2 ：由已知 a5＝ a2q3. 則 q3＝a5a2＝－124＝－18. ∴ q ＝－12. ∴ an＝ a2qn － 2＝ 4 ( －12)n － 2 ＝ ( － 2)2 ( －12)n － 2＝ ( － 1)n(2－ d)， ∴ d＝ 0(舍去 )． 綜上 ， 可求得此三數(shù)為－ 4,2,8. [變式 ] 已知等比數(shù)列的前 3項和為 168， a2－ a5＝ 42，求 a5， a7的等比中項 ． 分析： 利用已知條件 ， 列出關于首項 a1和公比 q的方程組 ， 求出 a1和 q后 ， 問題便得以解決 ． 解析： 設該等比數(shù)列的首項為 a1， 公比為 q， 由已知得 ∵ 1 － q3＝ (1 － q )(1 ＋ q ＋ q2) ， ∴ 由 ② 247。? 1 － q3?＝ 96. 若 G 是 a a7的等比中項，則應有 G2＝ a5 q10＝962 (12)10＝ 9. ∴ a5， a7的等比中項是 177。qn－ m； (2)如果 m， n， p， q∈ N*， 且 m＋ n＝ p＋ q， 則 amaq(反之不一定成立 ， 例如常數(shù)列 )． 特別地 ， 當 m＋ n＝2p時 ， 有 am bn} ，
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