【正文】 感和電容 )的個數(shù) + R L C + u C i L u i 二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 ? 狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對動態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數(shù)學(xué)模型 ,它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對系統(tǒng)進行分析和綜合的基礎(chǔ)。 例如：純電阻電路就沒有狀態(tài)變量，因為在這類電路的元件上，任意時間的電流、電壓僅取決于該時刻的激勵，其形成是一個瞬時的作用， 元件過去的歷史（初始條件）對確定電路中任意元件上的響應(yīng)是無關(guān)的，輸入輸出之間僅是一般的代數(shù)關(guān)系 ，這種系統(tǒng)屬于瞬時（無記憶）系統(tǒng)，所以這種系統(tǒng)就不能用狀態(tài)變量法來分析。 圖 22 二維空間的狀態(tài)軌線 狀態(tài)變量選取的特點： ?狀態(tài)變量的選取具有 非唯一性 ：即可用某一組， 也可用另一組數(shù)目最少的變量。 x 1 x 2 x ( t 0 ) x ( t 1 ) x ( t 2 ) x ( t ) ? 隨著時間的推移 ,狀態(tài)不斷地變化 ,t?t0各瞬時的狀態(tài)在狀態(tài)空間構(gòu)成一條軌跡 ,它稱為狀態(tài)軌線。 ?可以說輸出變量僅僅是狀態(tài)變量的外部表現(xiàn) ,是狀態(tài)變量的輸出空間的投影 ,一個子集。 ? 而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合 (濾波、優(yōu)化與控制等 )時所關(guān)心的系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動態(tài)特性 ,并非系統(tǒng)的全部動態(tài)特性。 ? 它可以是能直接測量或觀測的量 ,也可以是不能直接測量或觀測的量； ? 可以是物理的 ,甚至可以是非物理的 ,沒有實際物理量與之直接相對應(yīng)的抽象的數(shù)學(xué)變量。 ?增加則一定存在線性相關(guān)的變量 ,冗余的變量 ,毫無必要。即描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量組的各分量是相互獨立的。 ? 動態(tài)時域行為 。 一、狀態(tài)空間的基本概念 ? “狀態(tài)”定義的三要素 ? 完全描述 。 ? 該變量組的每個變量稱為狀態(tài)變量。 ? “狀態(tài)”的定義如下。 ? 狀態(tài) ? 狀態(tài)變量 ? 狀態(tài)空間 ? 狀態(tài)空間模型 1. 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量 ? 動態(tài) (亦稱動力學(xué) )系統(tǒng)的“狀態(tài)”這個詞的字面意思就是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在將來的運動狀況。 ? 更突出的優(yōu)點是 ,它能夠方便地利用數(shù)字計算機進行運算和求解 ,甚至直接用計算機進行實時控制 ,從而顯示了它的極大優(yōu)越性。 ?狀態(tài)空間分析法不僅適用于 SISO線性定常系統(tǒng) ,也適用于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、 MIMO系統(tǒng)以及隨機系統(tǒng)等。 ? 它能反映系統(tǒng)的全部獨立變量的變化 ,從而能同時確定系統(tǒng)的全部內(nèi)部運動狀態(tài) ,而且還可以方便地處理初始條件?？刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)空間模型 ?現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。 ? 在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時 ,系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述的。 ? 因而 ,狀態(tài)空間模型反映了系統(tǒng)動態(tài)行為的全部信息 ,是對系統(tǒng)行為的一種完全描述。 ? 因而 ,狀態(tài)空間分析法適用范圍廣 ,對各種不同的系統(tǒng) ,其數(shù)學(xué)表達形式簡單而且統(tǒng)一。 第一節(jié) 狀態(tài)和狀態(tài)空間模型 ? 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上的 ,因此 ,對這些基本概念進行嚴格的定義和相應(yīng)的討論 ,必須準(zhǔn)確掌握和深入理解。 ? 正確理解“狀態(tài)”的定義與涵義 ,對掌握狀態(tài)空間分析方法十分重要。 ? 定義 動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài) ,是指能夠 完全描述 系統(tǒng) 時間域動態(tài)行為的一個 最小變量組 。 ? 該最小變量組中狀態(tài)變量的個數(shù)稱為系統(tǒng)的階數(shù)。即給定描述狀態(tài)的變量組在初始時刻 (t=t0)的值和初始時刻后 (t?t0)的輸入 ,則系統(tǒng)在任何瞬時 (t?t0)的行為 ,即系統(tǒng)的狀態(tài) ,就可完全且唯一的確定。 ? 最小變量組 。 ?減少變量 ,描述不全。 ? 若要完全描述 n階系統(tǒng) ,則其最小變量組必須由 n個變量 (即狀態(tài)變量 )所組成 ,一般記這 n個狀態(tài)變量為 x1(t),x2(t), …, xn(t). ? 若以這 n個狀態(tài)變量為分量 ,構(gòu)成一個 n維變量向量 ,則稱這個向量為狀態(tài)變量向量 ,簡稱為狀態(tài)向量 ,并可表示如下 : 1212[ .. . ]...nnxxx x xx???????????????x 系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài) x 1 , x 2 ,…, x n u 1 u 2 u r y 1 y 2 y m … … 多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖 ? 狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性行為的變量。 狀態(tài)空間 ? 狀態(tài)變量與輸出變量的關(guān)系 ? 狀態(tài)變量是能夠完全描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性行為的變量。 ? 因此 ,狀態(tài)變量比輸出變量更能全面反映系統(tǒng)的內(nèi)在變化規(guī)律。 輸出 空間 空間映射 x y 2. 系統(tǒng)的狀態(tài)空間 ? 若以 n個狀態(tài)變量 x1(t),x2(t),…, xn(t)為坐標(biāo)軸 ,就可構(gòu)成一個 n維歐氏空間 ,并稱為 n維狀態(tài)空間 ,記為 Rn. ? 狀態(tài)向量的端點在狀態(tài)空間中的位置 ,代表系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)。 ? 狀態(tài)軌線如圖 22所示。 ?狀態(tài)變量個數(shù)的選取具有 唯一性 ： ? 要注意的是 狀態(tài)變量雖然具有非唯一性，但不是所有的變量都可以作為狀態(tài)變量。因此， 選狀態(tài)變量的條件是： 各狀態(tài)變量間不能用代數(shù)方法互求，且其數(shù)目對于給定系統(tǒng)是確定的。 ? 狀態(tài)空間模型由 ?描述系統(tǒng)的動態(tài)特性行為的 狀態(tài)方程 和 ?描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的 輸出方程 所組成。 ? 例 某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型如圖所示。 ? 解 1. 根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機理列出各物理量所滿足的關(guān)系式。 ? 狀態(tài)變量的個數(shù)應(yīng)為獨立一階儲能元件的個數(shù)。 ? 每個狀態(tài)變量對應(yīng)一個一階微分方程 ,導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)為 1,非導(dǎo)數(shù)項列寫在方程的右邊。 ? 對本例 其中 5. 將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫在一起 ,即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型 ???????xyuxxCBA]10[0/10/1/1/][][21????????????????????????CLBCLLRAuuxxCiyux? 由上述例子 ,可總結(jié)出狀態(tài)空間模型的形式為 ABCD? ???????x x uy x u其中 x為 n維的狀態(tài)向量 。 y為 m維的輸出向量 。 B為 n?r維的輸入矩陣 。 D為 m?r維的直聯(lián)矩陣 (前饋矩陣 ,直接轉(zhuǎn)移矩陣 )。 ? 輸出方程 描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系。 ? 輸入矩陣 B又稱為控制矩陣 , ?它表示輸入對狀態(tài)變量變化的影響。 ? 直聯(lián)矩陣 D則表示了輸入對輸出的直接影響 ,許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關(guān)系 ,即直聯(lián)矩陣 D=0。 1. 非線性時變系統(tǒng) ( , , )( , , )tt? ?????x f x uy g x u其中 f(x,u,t)和 g(x,u,t)分別為如下 n維和 m維關(guān)于狀態(tài)向量 x、 輸入向量 u和時間 t的非線性向量函數(shù) f(x,u,t)=[f1(x,u,t) f2(x,u,t) … fn(x,u,t)]? g(x,u,t)=[g1(x,u,t) g2(x,u,t) … gm(x,u,t)]? 2. 非線性系統(tǒng) ( , )( , )? ?????x f x uy g x u其中 f(x,u)和 g(x,u)分別為 n維和 m維狀態(tài) x和 輸入 u的非線性向量函數(shù)。 3. 線性時變系統(tǒng) ( ) ( )( ) ( )A t B tC t D t? ???????x x uy x u其中各矩陣為時間 t的函數(shù) ,隨時間變化而變化 。 ? 在采用模擬或數(shù)字計算機仿真時 ,它是一個強有力的工具。 圖 24 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的三種基本元件 x 2 x 1 x 1 + x 2 ∫ 2xk x ( t ) x kx (