【正文】 ???則,9|,1|,7||（ ）A．只有一個 B．有二個 C．有四個 D．有無窮多個解：注意到 32+112=130=72+92，由于 ，則0?DA2= )(DCD??=AB2+BC2+CD2+2（ +222()BCABBA ??????= ，)BCA??? ))(2 DC???即 ， 只有一個值 0，故選 ??? DD??3．△ABC 內(nèi)接于單位圓，三個內(nèi)角 A、B、C 的平分線延 長后分別交此圓于 AB C 1，則 的值為（ ）sinsin2cos2co2co1????高中數(shù)學(xué)競賽講義 13 A．2 B．4 C．6 D．8解：如圖，連 BA1，則AA1=2sin(B+ )2cos()2sin() CBA????? )2cos(sco)2c2os CA????? ?,sii)(BC??同理 nsc1AB??,sinc1B?? ),sin(2o2o1 CA?原式= 選 A..sinsin)(2?CB4．如圖，ABCD— 為正方體，任作平面 a 與對DA??角線 AC′垂直，使得 a 與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為 S，周長為 l，則（ ）A．S 為定值， l 不為定值 B．S 不為定值，l 為定值C．S 與 l 均為定值 D．S 與 l 均不為定值解：將正方體切去兩個正三棱錐 A—A′BD 與 C′— 后，得到一個以平行平面CBD?A′BD 與 為上、下底面的幾何體 V，V 的每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多BD?邊形 W 的每一條邊分別與 V 的底面上的一條邊平行，將 V 的側(cè)面沿棱 剪開，展A?平在一張平面上，得到一個 □ ，而多邊形 W 的周界展開后便成為一條與1B?平行的線段（如圖中 ） ，1A? 1E?顯然 ，故 l 為定值 .1E???當(dāng) E′位于 中點時，多邊形 W 為正六邊形，而當(dāng) E′移至 A′處時，W 為正三角B形，易知周長為定值 l 的正六邊形與正三角形面積分別為 ，故 S 不為定22364ll與值.選 B.5．方程 表示的曲線是 （ ）13cos23sin2i ????yxA．焦點在 軸上的橢圓 B．焦點在 軸上的雙曲線xC．焦點在 y 軸上的橢圓 D．焦點在 y 軸上的雙曲線河大附中校本課程 14 解：，)23cos()2cos(,2320,32 ??? ???????????即 ，sini又 ，0cs,0cs,os,2,0??方程表示的曲線是橢圓.）…（423sin(2si)3cs2()3sin(i ???????*） .4,2,02si,02 ??? ???????.(*),)43sin(??式?即 . 曲線表示焦點在 y 軸上的橢圓，選 ???6．記集合 T={0，1，2，3，4，5，6}，M= ，}4,321,|77{4321 ???iTaai將 M 中的元素按從大到小的順序排列，則第 2022 個數(shù)是 （ ）A． B．432767?43265C． D．01 7017?解：用 表示 k 位 p 進(jìn)制數(shù)，將集合 M 中的每個數(shù)乘以 74，得pka][21? },321,|]{[}4,321,|77{ 4321433 ?????????? iTaiTaMii，M′中的最大數(shù)為 [6666]7=[2400]10.在十進(jìn)制數(shù)中，從 2400 起從大到小順序排列的第 2022 個數(shù)是 2400－2022=396，而[396]10=[1104]7將此數(shù)除以 74，便得 M 中的數(shù) .故選 ?二、填空題（本題滿分 54 分，每小題 9 分）高中數(shù)學(xué)競賽講義 15 7．將關(guān)于 的多項式 表為關(guān)于 y 的多項式x 2022321)( xxxf ??????，其中 ，則029210)( yayayg??? 4?.6512022a?解：由題設(shè)知， 和式中的各項構(gòu)成首項為 1，公比為 的等比數(shù)列，由等比)(xf x?數(shù)列的求和公式，得： .)221???xf令 ，取 有5)4(),421???ygyx得 ,y 615)(220210 ???gaa?8．已知 是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，若 成(f 43)(??ff立，則 ??a或解：∵ 在（0，+∞ ）上定義，又)(xf，)1(314。AB ，? AC= AB， ①65∵ BD⊥AC，CE⊥AB ，? B、E、D、C 共圓，?AC(AC－15)=AB (AB－7)，? AB( AB－15)=AB( AB－18)，65 65∴ AB=25，AC=30．?AE=18 ，AD=15．2418 7252015EF BCDAG HKP河大附中校本課程 10 ∴ DE= AC=15．12延長 AH 交 BC 于 P， 則 AP⊥BC．∴ AP .......5 分()fx??,??4t?????22()()()max()in())1tgtffxf????????高中數(shù)學(xué)競賽講義 9 ......10 分225181(5)6tt??????????（Ⅱ）證：2216(3)4coscoss(tan)1699iiiii ii uug????22164(,3)9cos9cosi iuu???....15 分33 32 211 11(6)(69)sin)(tan)i ii ii ug?? ??????????，而均值不等3 33221 11s,(0,),sin(i)ii iiui u?? ??????且式與柯西不等式中，等號不能同時成立，......20 分12313(759)6(tan)(t)(tan)46gugu????二試題一．(本題滿分 50 分)在銳角三角形 ABC 中，AB 上的高 CE 與 AC 上的高 BD 相交于點 H，以 DE 為直徑的圓分別交 AB、AC 于 F、G 兩點， FG 與 AH 相交于點 K，已知BC=25， BD=20，BE=7，求 AK 的長．解：∵ BC=25，BD=20，BE=7，∴ CE=24，CD=15．∵ AC??（Ⅰ）求 ；()ma()in()gtfxf?（Ⅱ）證明：對于 ，若 0,1,23iu???123sinisin1,uu??。3?2k?綜合得直線 L 的斜率 k 的取值范圍是有限集 。 ......15 分1k情況 2：直線 L 不經(jīng)過點 B 和 C（即 ） ，因為 L 與 S 有兩個不同的交點，所12k??以 L 與雙曲線 T 有且只有一個公共點。表明直線(2)xy???(34)0y?54(,)3E或 F(,)BD 與曲線 T 有 2 個交點 B、 E；直線 CD 與曲線 T 有 2 個交點 C、F。這時，L 與點 P 的軌跡恰有 3 個公共點0k?只能有兩種情況：情況 1：直線 L 經(jīng)過點 B 或點 C，此時 L 的斜率 ，直線 L 的方程為12k??。直線 L 經(jīng)過 D，且與點 P123d?1(,)2D的軌跡有 3 個公共點，所以，L 的斜率存在，設(shè) L 的方程為 ③12ykx??（i）當(dāng) k=0 時， L 與圓 S 相切，有唯一的公共點 D；此時，直線 平行于 x 軸，表明 L 與雙曲線有不同于 D 的兩個公共點，所以 L 恰好與點 P 的軌跡有 3 個公共點。依設(shè)，1231|43|,|4|,|55dxydxyd???????，即2 2,|6()|得，化簡得點 P 的軌跡方程為226()0,16(4)50xyxy或圓 S： ......5 分23178y??????與 雙 曲 線 T:8（Ⅱ）由前知，點 P 的軌跡包含兩部分圓 S： ①220xy與雙曲線 T： ②178y???8因為 B（－1，0）和 C（1，0）是適合題設(shè)條件的點，所以點 B 和點 C 在點 P 的軌跡上，且點 P 的軌跡曲線 S 與 T 的公共點只有 B、C 兩點。解：（Ⅰ）直線 AB、AC、BC 的方程依次為 。 ........20 分12022243PA??（說明：第 2，3 關(guān)的基本事件數(shù)也可以列舉出來）1在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，給定三點 ，點 P 到直線 BC 的4(0,),(,)3BC?距離是該點到直線 AB，AC 距離的等比中項。222345671360152CC????過此關(guān)的概率為： 。 ........10 分265()()1PA???第 3 關(guān)：事件 所含基本事件為方程 當(dāng) a 分別取 3，4，5，6，7，8 時的3xyz?正整數(shù)解組數(shù)之和。即有 （個） 。6n第 1 關(guān)：事件 所含基本事件數(shù)為 2（即出現(xiàn)點數(shù)為 1 和 2 這兩種情況） ，1過此關(guān)的概率為： 。 .......5 分（Ⅱ）設(shè)事件 為“第 n 關(guān)過關(guān)失敗”，則對立事件 為“第 n 關(guān)過關(guān)成功”。即這是一個不可能事件，過關(guān)的概率為 0。 ）解：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的。問：2n（Ⅰ）某人在這項游戲中最多能過幾關(guān)？（Ⅱ）他連過前三關(guān)的概率是多少？（注：骰子是一個在各面上分別有 1，2，3，4，5，6 點數(shù)的均勻正方體。??橫坐標(biāo)為 1。,07)?和 39。MPN?解：經(jīng)過 M、N 兩點的圓的圓心在線段 MN 的垂直平分線 y=3－x 上，設(shè)圓心為S（a，3－a） ，則圓 S 的方程為： 222()(3)()xaya????對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時，經(jīng)過 M，N，P 三點的圓 S 必與 X 軸相切于點 P，即圓