計算二重積分的幾種方法數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文-展示頁
2025-01-22 17:47本頁面
【正文】 加性，得 （5）對積分作換元，即令，則面的區(qū)域對應面上的區(qū)域，如圖（6）所示 又因為是關于的偶函數(shù)，于是可得 ，將上式帶入（5）式得 用完全類似的方法可證明定理的第二部分.定理5 如果積分區(qū)域關于軸、軸都對稱，被積函數(shù)關于、都是偶函數(shù)，是中第一象限的部分，則 證明 由于關于軸對稱，不妨設為的位于軸右側部分，又因為是關于的偶函數(shù)，由定理4得 （6）由條件知又關于軸對稱，若是的位于軸上側的部分，且因被積函數(shù)是關于的偶函數(shù)，由定理4的第二部分得： （7） 由上面（6）（7）式可得.定理6 如果積分區(qū)域關于軸（或軸）對稱，被積函數(shù)是關于 (或)的奇函數(shù)，則 證明 由定理4的證明過程得.將上式代入（5）式得.例6 求圓錐截圓柱面所得有界部分立體的體積.解 立體在平面上的投影為根據(jù)積分區(qū)域是關于軸對稱并且被積函數(shù)是的偶函數(shù)，那么所得立體體積為 ，令，則變?yōu)椋杂? .例7 計算二重積分，其中是平面以為頂點的三角形區(qū)域，是在第一象限的部分如圖（7）所示. 解 如圖（7）所示，作輔助線OB，則 .因區(qū)域BOC關于軸對稱，且為關于的奇函數(shù)，故又因為,而區(qū)域關于軸對稱，為關于的奇函數(shù)，故為關于的偶函數(shù)，故.因此 用分部積分法求二重積分 分部積分公式由兩個函數(shù)乘積的求導公式得到，主要用于被奇函數(shù)是兩個函數(shù)乘積時的積分求法，通常根據(jù)被積函數(shù)類型按次序“反對冪指三” 作為，其他的湊成，實現(xiàn)積分的轉移。在解決一些幾何、物理
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