【正文】 銷售單價 x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大？ （ 3）現(xiàn)商場規(guī)定該文具每天銷售量不少于 120 件，為使該文具每天的銷售利潤最大，該文具定價多少元時，每天利潤最大？ 24．在正方形 ABCD 中，點 E， F 分別在邊 BC， CD 上，且 ∠ EAF=∠ CEF=45176。得到 △ ABG（如圖 ① ），求證： △ AEG≌△ AEF； （ 2）若直線 EF 與 AB， AD 的延長線分別交于點 M， N（如圖 ② ），求證： EF2=ME2+NF2； （ 3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖 ③ ），請你直接寫出線段 EF， BE， DF 之間的數(shù)量關(guān)系． 25．如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的對稱軸為直線 x=﹣ 1，求拋物線經(jīng)過 A（ 1， 0）， C（ 0， 3）兩點， 與 x 軸交于 A、 B 兩點． （ 1）若直線 y=mx+n 經(jīng)過 B、 C 兩點，求直線 BC 和拋物線的解析式； （ 2）在該拋物線的對稱軸 x=﹣ 1 上找一點 M，使點 M 到點 A 的距離與到點 C的距離之和最小，求出點 M 的坐標； （ 3）設(shè)點 P 為該拋物線的對稱軸 x=﹣ 1 上的一個動點，求使 △ BPC 為直角三角形的點 P 的坐標．（提示：若平面直角坐標系內(nèi)兩點 P（ x1， y1）、 Q（ x2， y2），則線段 PQ 的長度 PQ= ）． 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 3 分，共 36 分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的） 1．下列事件中，屬于必然事件的是（ ） A．明天我市下雨 B．拋一枚硬幣，正面朝下 C．購買一張福利彩票中獎了 D．?dāng)S一枚骰子，向上一面的數(shù)字一定大于零 【考點】 隨機事件． 【分析】 必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是 1 的事件． 【解答】 解： ∵ A， B， C 選項為不確定事件，即隨機事件，故不符合題意． ∴ 一定發(fā)生的事件只有 D，擲一枚骰子，向上一面的數(shù)字一定大于零，是必然事件，符合題意． 故選 D． 2．有一種推理游戲叫做 “天黑請閉眼 ”， 9 位同學(xué)參與游戲，通過抽牌決定所扮演的角色，事先做好 9 張卡牌（除所寫文字不同，其余均相同），其中有法官牌 1張，殺手牌 2 張，好人牌 6 張．小易參與游戲，如果只隨機抽取一張，那么小易抽到殺手牌的概率是（ ） A． B． C． D． 【考點】 概率公式． 【分析】 找到小易抽到殺手牌的個數(shù)除以 9 張卡牌是小易抽到殺手牌的概率． 【解答】 解：小易抽到殺手牌的概率 = ． 故選 C 3．如圖，將 △ AOB 繞點 O 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 60176。則 ∠ AOD 的度數(shù)是（ ） A． 15176。 C． 45176。 【考點】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù) ∠ AOD=∠ DOB﹣ ∠ AOB 求解． 【解答】 解： ∵ 將 △ AOB 繞點 O 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 60176。 ∵∠ AOB=15176。﹣ 15176。． 故選： C． 4．已知 y 與 x﹣ 1 成反比例，那么它的解析式為（ ） A． y= ﹣ 1（ k≠ 0） B． y=k（ x﹣ 1）（ k≠ 0） C． y= （ k≠ 0） D． y=（ k≠ 0） 【考點】 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式． 【分析】 根據(jù) y 與 x﹣ 1 成反比例，直接列出解析式即可． 【解答】 解： ∵ y 與 x﹣ 1 成反比例， ∴ y= （ k≠ 0）； 故選 C． 5．如圖， △ ODC 是由 △ OAB 繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 31176。則 ∠ DOB 的度數(shù)是（ ） A． 34176。 C． 38176。 【考點】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出 ∠ AOD 和 ∠ BOC 的度數(shù)，計算出 ∠ DOB 的度數(shù)． 【解答】 解：由題意得， ∠ AOD=31176。又 ∠ AOC=100176。﹣ 31176。=38176。那么 ∠ BOD=（ ） A． 128176。 C． 64176。 【考點】 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理． 【分析】 由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角知， ∠ A=∠ DCE=64176。． 【解答】 解： ∵ 四邊形 ABCD 內(nèi)接于 ⊙ O， ∴∠ A=∠ DCE=64176。． 故選 A． 7．已知圓內(nèi)接正三角形的邊心距為 1，則這個三角形的面積為（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 【考點】 正多邊形和圓． 【分析】 作 AD⊥ BC 與 D，連接 OB，則 AD 經(jīng)過圓心 O， ∠ ODB=90176。得出 OA=OB=2OD，求出AD、 BC， △ ABC 的面積 = BC?AD，即可得出結(jié)果． 【解答】 解：如圖所示： 作 AD⊥ BC 與 D，連接 OB， 則 AD 經(jīng)過圓心 O， ∠ ODB=90176。 ∴ OA=OB=2OD=2， ∴ AD=3， BD= ， ∴ BC=2 ， ∴△ ABC 的面積 = BC?AD= 2 3=3 ； 故選： B． 8．已知 ⊙ O 的半徑為 6， A 為線段 PO 的中點，當(dāng) OP=10 時，點 A 與 ⊙ O 的位置關(guān)系為（ ） A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．不確定 【考點】 點與圓的位置關(guān)系． 【分析】 知道 OP 的長，點 A 是 OP 的中點，得到 OA 的長與半徑的關(guān)系，求出點 A 與圓的位置關(guān)系． 【解答】 解： ∵ OP=10， A 是線段 OP 的中點， ∴ OA=5，小于圓的半徑 6， ∴ 點 A 在圓內(nèi)． 故選 C． 9．如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條 AB 和 AC 的夾角為 120176。扇形的半徑為 25cm 和 10cm，可根據(jù)扇形的面積公式求出貼紙部分的面積． 【解答】 解： ∵ AB=25， BD=15， ∴ AD=10， ∴ S 貼紙 =2 （ ﹣ ） =2 175π =350πcm2， 故選 B． 10．對于 y=ax2+bx+c，有以下四種說法，其中正確的是（ ） A．當(dāng) b=0 時，二次函數(shù)是 y=ax2+c B．當(dāng) c=0 時，二次函數(shù)是 y=ax2+bx C．當(dāng) a=0 時，一次函數(shù)是 y=bx+c D．以上說法都不對 【考點】 二次函數(shù)的定義；一次函數(shù)的定義． 【分析】 根據(jù)二次函數(shù)的定義和一次函數(shù)的定義解答即可． 【解答】 解： A、當(dāng) b=0， a≠ 0 時．二次函數(shù)是 y=ax2+c，故此選項錯誤； B、當(dāng) c=0， a≠ 0 時，二次函數(shù)是 y=ax2+bx，故此選項錯誤； C、當(dāng) a=0， b≠ 0 時．一次函數(shù)是 y=bx+c，故此選項錯誤； D、以上說法都不對，故此選項正確； 故選 D． 11．某班同學(xué)畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送 1035 張照片，如果全班有 x 名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為（ ） A． x（ x+1） =1035 B． x（ x﹣ 1） =1035 2 C． x（ x﹣ 1） =1035 D． 2x（ x+1）=1035 【考點】 由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】 如果全班有 x 名同學(xué)，那么每名同學(xué)要送出（ x﹣ 1）張，共有 x 名學(xué)生，那么總共送的張數(shù)應(yīng)該是 x（ x﹣ 1）張，即可列出方程． 【解答】 解： ∵ 全班有 x 名同學(xué)， ∴ 每名同學(xué)要送出（ x﹣ 1）張； 又 ∵ 是互送照片， ∴ 總共送的張數(shù)應(yīng)該是 x（ x﹣ 1） =1035． 故選 C． 12．用 min{a， b}表示 a， b 兩數(shù)中的最小數(shù)，若函數(shù) y=min{x2+1， 1﹣ x2}，則 y的圖象為（ ） A． B． C． D． 【考點】 二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】 由于 x2+1≥ 1﹣ x2，又由于 min{a， b}表示 a， b 兩數(shù)中的最小數(shù)，則min{x2+1， 1﹣ x2}表示 x2+1 與 1﹣ x2 中的最 小數(shù)；據(jù)解析式即可畫出函數(shù)圖象． 【解答】 解：根據(jù)題意， min{x2+1， 1﹣ x2}表示 x2+1 與 1﹣ x2 中的最小數(shù)， 不論 x 取何值，都有 x2+1≥ 1﹣ x2， 所以 y=1﹣ x2； 可知，當(dāng) x=0 時， y=1；當(dāng) y=0 時， x=177。得到 △ A′B′C，連結(jié) AA′，若∠ AA′B′=20176。． 【考點】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】 由將 Rt△ ABC 繞直角頂點順時針旋轉(zhuǎn) 90176。得到 △ A′B′C， ∴ AC=A′C， ∠ ACA′=90176。 ∵∠ AA′B′=20176。 ∴∠ B=65176。． 15． 2022 年 6 月底，九年級學(xué)生即將畢業(yè)，好朋友甲、乙、丙三人決定站成一排合影留念，則甲、乙二人相鄰的概率是 ． 【考點】 列表法與樹狀圖法． 【分析】 畫樹狀圖展示所有 6 種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出甲、乙二人相鄰的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解． 【解答】 解：畫樹狀圖為： 共有 6 種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲、乙二人相鄰的結(jié)果數(shù)為 4 種， 所以甲、乙二人相鄰的概率 = = ． 故答案為 ． 16．制造一種商品，原來每件成本為 100 元，由于連續(xù)兩次降低成本，現(xiàn)在的成本是每件 81 元，則平均每次降低成本的百分數(shù)是 10% ． 【考點】 一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】 等量關(guān)系為：原來成本價 （ 1﹣平均每次降低成本的百分數(shù)） 2=現(xiàn)在的成本，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解． 【解答】 解：設(shè)平均每次降低成本的百分數(shù)是 x． 第一次降價后的價格為： 100 （ 1﹣ x），第二次降價后的價格是： 100 （ 1﹣ x） （ 1﹣ x）， ∴ 100 （ 1﹣ x） 2=81， 解得 x= 或 x=， ∵ 0＜ x＜ 1， ∴ x==10%， 答：平均每次降低成本的百分數(shù)是 10%． 17．如圖，直線 AB 與 ⊙ O 相切于點 A， AC， CD 是 ⊙ O 的兩條弦，且 CD∥ AB，若 ⊙ O 的半徑為 ， CD=4，則弦 AC 的長為 2 ． 【考點】 切線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理． 【分析】 首先連接 AO 并延長，交 CD 于點 E，連接 OC，由直線 AB 與 ⊙ O 相切于點 A，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得 AE⊥ AB，又由 CD∥ AB，可得 AE⊥ CD，然后由垂徑定理與勾股定理，求得 OE 的長，繼而求得 AC 的長． 【解答】 解：連接 AO 并延長，交 CD 于點 E，連接 OC， ∵ 直線 AB 與 ⊙ O 相切于點 A， ∴ EA⊥ AB， ∵ CD∥ AB， ∠ CEA=90176。．畫出對應(yīng)的 △ A′B′C′圖形，直接寫出點 A 的對應(yīng)點 A′的坐標； （ 3）若四邊形 A′B′C′D′為平行四邊形，請直接寫出第四個頂點 D′的坐標． 【考點】 作圖 旋轉(zhuǎn)變換． 【分析】 （ 1）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)解答； （ 2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點 A、 B、 C 關(guān)于原點對稱的點 A′、 B′、 C′的坐標，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標系寫出點 A′的坐標； （ 3）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等解答． 【解答】 解：（ 1） B1（ 2，﹣ 3）； （ 2） △ A′B′C′如圖所示， A′（ 0，﹣ 6）； （ 3） D′（ 3，﹣ 5）． 四、解答題（本大題共 6 小題，共 58 分） 20．如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，反比例函數(shù) 的圖象與一次函數(shù) y=x+2的圖象的一個交點為 A（ m，﹣ 1）． （ 1）求反比例函數(shù)的解析式； （ 2）設(shè)一次函數(shù) y=x+2 的圖象與 y 軸交于點 B，若 P 是 y 軸上一點，且滿足 △ PAB的面積是 3，直接寫出點 P 的坐標． 【考點】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】 （ 1）將 A（ m，﹣ 1）代入一次函數(shù) y=x+2 解析式，即可得出 A 點坐標，進而求出反比例函數(shù)解析式； （ 2）利用三角形面積公式得出底邊長進而得出 P 點坐標． 【解答】 解：（ 1） ∵ 點 A（ m，﹣ 1）在一次函數(shù) y=x+2 的圖象上， ∴ m=﹣ 3． ∴ A 點的坐標為（﹣ 3，﹣ 1）． ∵ 點 A （﹣ 3，﹣ 1）在反比例函數(shù) y= 的圖象上， ∴ k=3． ∴ 反比例函數(shù)的解析式為： y= ． （ 2） ∵ 一次函數(shù) y=x+2 的圖象與 y 軸交于點 B，滿足 △ PAB 的面積是 3， A 點的坐標為（﹣ 3，﹣ 1）， ∴△ ABP 的高為 3，底邊長為： 2， ∴ 點 P 的坐標為（ 0， 0）或（ 0， 4）． 21．國務(wù)院辦公廳在 2022 年 3 月 16 日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總體方案》，這是中國足球史上的重大改革，為進一步普及足球