【正文】 說(shuō)明理由． 45．在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形 ABOC 如圖放置，點(diǎn) A、 C 的坐標(biāo)分別是（ 0， 4）、（﹣ 1， 0），將此平行四邊形繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。得到平行四邊形 A′B′OC′． （ 1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) C、 A、 A′，求此拋物線的解析式； （ 2）點(diǎn) M 是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn) M 在何處時(shí)， △ AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí) M 的坐標(biāo)； （ 3）若 P 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)， N 為 x 軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q 坐標(biāo)為（ 1， 0），當(dāng) P、 N、 B、Q 構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，求點(diǎn) N 的坐標(biāo)． 46．如圖，拋物線 y=ax2+bx+c 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（﹣ 2， 0），點(diǎn) B（ 4， 0），點(diǎn) D（ 2， 4），與y 軸交于點(diǎn) C，作直線 BC，連接 AC， CD． （ 1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （ 2） E 是拋物線上的點(diǎn)，求滿足 ∠ ECD=∠ ACO 的點(diǎn) E 的坐標(biāo)； （ 3）點(diǎn) M 在 y 軸上且位于點(diǎn) C 上方，點(diǎn) N 在直線 BC 上，點(diǎn) P 為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，若以點(diǎn) C， M， N， P 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求菱形的邊長(zhǎng)． 47．如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）經(jīng)過(guò) A（﹣ 3， 0）、 B（ 5， 0）、 C（ 0， 5）三點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn) （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）若把拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）向下平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移 n（ n＞ 0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，若新拋物線的頂點(diǎn) M 在 △ ABC 內(nèi)，求 n 的取值范圍 ； （ 3）設(shè)點(diǎn) P 在 y 軸上，且滿足 ∠ OPA+∠ OCA=∠ CBA，求 CP 的長(zhǎng)． 48．如圖，已知二次函數(shù) y1=ax2+bx 過(guò)（﹣ 2， 4），（﹣ 4， 4）兩點(diǎn)． （ 1）求二次函數(shù) y1 的解析式； （ 2）將 y1 沿 x 軸翻折，再向右平移 2 個(gè)單位，得到拋物線 y2，直線 y=m（ m＞ 0）交 y2 于M、 N 兩點(diǎn)，求線段 MN 的長(zhǎng)度（用含 m 的代數(shù)式表示）； （ 3）在（ 2）的條件下， y y2 交于 A、 B 兩點(diǎn)，如果直線 y=m 與 y y2 的圖象形成的封閉曲線交于 C、 D 兩點(diǎn)（ C 在左側(cè)），直線 y=﹣ m 與 y y2 的圖象形成的封閉曲線交于 E、F 兩 點(diǎn)（ E 在左側(cè)），求證：四邊形 CEFD 是平行四邊形． 49．已知， m， n 是一元二次方程 x2+4x+3=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 |m|＜ |n|，拋物線 y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ m， 0）， B（ 0， n），如圖所示． （ 1）求這個(gè)拋物線的解析式； （ 2）設(shè)（ 1）中的拋物線與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 C，拋物線的頂點(diǎn)為 D，試求出點(diǎn) C， D 的坐標(biāo)，并判斷 △ BCD 的形狀； （ 3）點(diǎn) P 是直線 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P 不與點(diǎn) B 和點(diǎn) C 重合），過(guò)點(diǎn) P 作 x 軸的垂線，交拋物線于點(diǎn) M，點(diǎn) Q 在直線 BC 上，距離點(diǎn) P 為 個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 t，△ PMQ 的面積為 S，求出 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式． 40．如圖，已知拋物線 y=x2+bx 與直線 y=2x+4 交于 A（ a， 8）、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 是拋物線上 A、B 之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 分別作 x 軸、 y 軸的平行線與直線 AB 交于點(diǎn) C 和點(diǎn) E． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若 C 為 AB 中點(diǎn)，求 PC 的長(zhǎng)； （ 3）如圖，以 PC， PE 為邊構(gòu)造矩形 PCDE，設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ m， n），請(qǐng)求出 m， n 之間的關(guān)系式． 參考答案與 解析 1．（ 2022?寧波）如圖，已知拋物線 y=﹣ x2+mx+3 與 x 軸交于 A， B 兩點(diǎn)，與 y 軸 交于點(diǎn) C，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 3， 0） （ 1）求 m 的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)． （ 2）點(diǎn) P 是拋物線對(duì)稱軸 l 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) PA+PC 的值最小時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 【分析】 （ 1）首先把點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 3， 0）代入拋物線 y=﹣ x2+mx+3，利用待定系數(shù)法即可求得 m 的值，繼而求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）首先連接 BC 交拋物線對(duì)稱軸 l 于點(diǎn) P，則此時(shí) PA+PC 的值最小，然后利用待定系數(shù)法求得直線 BC 的解析式，繼而求得答案． 【解答】 解：（ 1）把點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 3， 0）代入拋物線 y=﹣ x2+mx+3 得： 0=﹣ 32+3m+3， 解 得： m=2， ∴ y=﹣ x2+2x+3=﹣（ x﹣ 1） 2+4， ∴ 頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（ 1， 4）． （ 2）連接 BC 交拋物線對(duì)稱軸 l 于點(diǎn) P，則此時(shí) PA+PC 的值最小， 設(shè)直線 BC 的解析式為： y=kx+b， ∵ 點(diǎn) C（ 0， 3），點(diǎn) B（ 3， 0）， ∴ ， 解得： ， ∴ 直線 BC 的解析式為： y=﹣ x+3， 當(dāng) x=1 時(shí)， y=﹣ 1+3=2， ∴ 當(dāng) PA+PC 的值最小時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為：（ 1， 2）． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式以及距離最短問(wèn)題．注意找到點(diǎn)P 的位置是解此題的關(guān)鍵． 2．（ 2022?河南）某 班 “數(shù)學(xué)興趣小組 ”對(duì)函數(shù) y=x2﹣ 2|x|的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整． （ 1）自變量 x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)， x 與 y 的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下： x … ﹣ 3 ﹣ ﹣ 2 ﹣ 1 0 1 2 3 … y … 3 m ﹣ 1 0 ﹣ 1 0 3 … 其中， m= 0 ． （ 2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)畫出該函數(shù)圖象的另一部分． （ 3）觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)． （ 4）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)： ①函數(shù)圖象與 x 軸有 3 個(gè)交點(diǎn)，所以 對(duì)應(yīng)的方程 x2﹣ 2|x|=0 有 3 個(gè)實(shí)數(shù)根； ②方程 x2﹣ 2|x|=2 有 2 個(gè)實(shí)數(shù)根； ③關(guān)于 x 的方程 x2﹣ 2|x|=a 有 4 個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)， a 的取值范圍是 ﹣ 1＜ a＜ 0 ． 【分析】 （ 1）把 x=﹣ 2 代入函數(shù)解釋式即可得 m 的值； （ 2）描點(diǎn)、連線即可得到函數(shù)的圖象； （ 3）根據(jù)函數(shù)圖象得到函數(shù) y=x2﹣ 2|x|的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；當(dāng) x＞ 1 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； （ 4） ①根據(jù)函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到結(jié)論； ②如圖，根據(jù) y=x2﹣ 2|x|的圖象與直線 y=2 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到結(jié)論； ③根據(jù)函數(shù)的圖象即 可得到 a 的取值范圍是﹣ 1＜ a＜ 0． 【解答】 解：（ 1）把 x=﹣ 2 代入 y=x2﹣ 2|x|得 y=0， 即 m=0， 故答案為： 0； （ 2）如圖所示； （ 3）由函數(shù)圖象知： ①函數(shù) y=x2﹣ 2|x|的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱； ②當(dāng) x＞ 1 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； （ 4） ①由函數(shù)圖象知：函數(shù)圖象與 x 軸有 3 個(gè)交點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)的方程 x2﹣ 2|x|=0 有 3 個(gè)實(shí)數(shù)根； ②如圖， ∵ y=x2﹣ 2|x|的圖象與直線 y=2 有兩個(gè)交點(diǎn)， ∴ x2﹣ 2|x|=2 有 2 個(gè)實(shí)數(shù)根； ③由函數(shù)圖象知： ∵ 關(guān)于 x 的方程 x2﹣ 2|x|=a 有 4 個(gè)實(shí)數(shù)根， ∴ a 的取值范 圍是﹣ 1＜ a＜ 0， 故答案為： 3， 3， 2，﹣ 1＜ a＜ 0． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖象是解題的關(guān)鍵． 3．（ 2022?雅安）我們規(guī)定：若 =（ a， b）， =（ c， d），則 ? =ac+bd．如 =（ 1， 2）， =（ 3， 5），則 =1 3+2 5=13． （ 1）已知 =（ 2， 4）， =（ 2，﹣ 3），求 ； （ 2）已知 =（ x﹣ a， 1）， =（ x﹣ a， x+1），求 y= ，問(wèn) y= 的函數(shù)圖象與一次函數(shù)y=x﹣ 1 的圖象是否相交，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】 （ 1）直接利用 =（ a， b）， =（ c， d），則 ? =ac+bd，進(jìn)而得出答案； （ 2）利用已知的出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，再聯(lián)立方程，結(jié)合根的判別式求出答案． 【解答】 解：（ 1） ∵ =（ 2， 4）， =（ 2，﹣ 3）， ∴ =2 2+4 （﹣ 3） =﹣ 8； （ 2） ∵ =（ x﹣ a， 1）， =（ x﹣ a， x+1）， ∴ y= =（ x﹣ a） 2+（ x+1） =x2﹣（ 2a﹣ 1） x+a2+1 ∴ y=x2﹣（ 2a﹣ 1） x+a2+1 聯(lián)立方程： x2﹣（ 2a﹣ 1） x+a2+1=x﹣ 1， 化簡(jiǎn)得： x2﹣ 2ax+a2+2=0， ∵△ =b2﹣ 4ac=﹣ 8＜ 0， ∴ 方程無(wú)實(shí)數(shù)根，兩函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了根的判別式以及新定義，正確得出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵． 4．（ 2022?三明）如圖，已知點(diǎn) A（ 0， 2）， B（ 2， 2）， C（﹣ 1，﹣ 2），拋物線 F： y=x2﹣2mx+m2﹣ 2 與直線 x=﹣ 2 交于點(diǎn) P． （ 1）當(dāng)拋物線 F 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C 時(shí)，求它的表達(dá)式； （ 2）設(shè)點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 yP，求 yP 的最小值，此時(shí)拋物線 F 上有兩點(diǎn)（ x1， y1），（ x2， y2），且 x1＜ x2≤ ﹣ 2，比較 y1 與 y2 的大??； （ 3）當(dāng)拋物線 F 與線段 AB 有公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出 m 的取值范圍． 【分析】 （ 1）根據(jù)拋物線 F： y=x2﹣ 2mx+m2﹣ 2 過(guò)點(diǎn) C（﹣ 1，﹣ 2），可以求得拋物線 F 的表達(dá)式； （ 2）根據(jù)題意，可以求得 yP 的最小值和此時(shí)拋物線的表達(dá)式，從而可以比較 y1 與 y2 的大?。? （ 3）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式組，從而可以解答本題 【解答】 解：（ 1） ∵ 拋物線 F 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C（﹣ 1，﹣ 2）， ∴ ﹣ 2=（﹣ 1） 2﹣ 2 m （﹣ 1） +m2﹣ 2， 解得， m=﹣ 1， ∴ 拋物線 F 的表達(dá)式是： y=x2+2x﹣ 1； （ 2）當(dāng) x=﹣ 2 時(shí)， yp=4+4m+m2﹣ 2=（ m+2） 2﹣ 2， ∴ 當(dāng) m=﹣ 2 時(shí)， yp 的最小值﹣ 2， 此時(shí)拋物線 F 的表達(dá)式是： y=x2+4x+2=（ x+2） 2﹣ 2， ∴ 當(dāng) x≤ ﹣ 2 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小， ∵ x1＜ x2≤ ﹣ 2， ∴ y1＞ y2； （ 3） m 的取值范圍是﹣ 2≤ m≤ 0 或 2≤ m≤ 4， 理由： ∵ 拋物線 F 與線段 AB 有公共點(diǎn)，點(diǎn) A（ 0， 2）， B（ 2， 2）， ∴ 或 ， 解得，﹣ 2≤ m≤ 0 或 2≤ m≤ 4． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題． 5．（ 2022?廈 門）已知拋物線 y=﹣ x2+bx+c 與直線 y=﹣ 4x+m 相交于第一象限不同的兩點(diǎn)， A（ 5， n）， B（ e， f） （ 1）若點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 3， 9），求此拋物線的解析式； （ 2）將此拋物線平移，設(shè)平移后的拋物線為 y=﹣ x2+px+q，過(guò)點(diǎn) A 與點(diǎn)（ 1， 2），且 m﹣ q=25，在平移過(guò)程中，若拋物線 y=﹣ x2+bx+c 向下平移了 S（ S＞ 0）個(gè)單位長(zhǎng)度，求 S 的取值范圍． 【分析】 （ 1）根據(jù)點(diǎn) B 的坐標(biāo)可求出 m 的值，寫出一次函數(shù)的解析式，并求出點(diǎn) A 的坐標(biāo)，最后利用點(diǎn) A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)求拋物線的解析式； （ 2）根據(jù)題意列方程組求出 p、 q、 m、 n 的值，計(jì)算拋物線與直線最上和最下滿足條件的解析式，并計(jì)算其頂點(diǎn)坐標(biāo)，向下平移的距離主要看頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)之差即可． 【解答】 解：（ 1） ∵ 直線 y=﹣ 4x+m 過(guò)點(diǎn) B（ 3， 9）， ∴ 9=﹣ 4 3+m，解得： m=21， ∴ 直線的解析式為 y=﹣ 4x+21， ∵ 點(diǎn) A（ 5， n）在直線 y=﹣ 4x+21 上， ∴ n=﹣ 4 5+21=1， ∴ 點(diǎn) A（ 5， 1）， 將點(diǎn) A（ 5， 1）、 B（ 3， 9）代入 y=﹣ x2+bx+c 中， 得： ，解得： ， ∴ 此拋物線的解析式為 y=﹣ x2+4x+6； （ 2）由拋物線 y=﹣ x2+px+q 與 直線 y=﹣ 4x+m 相交于 A（ 5， n）點(diǎn)，得： ﹣ 25+5p+q=n①，﹣ 20+m=n②， y=﹣ x2+px+q 過(guò)（ 1， 2）得：﹣ 1+p+q=2③， 則有 解得： ∴ 平移后的拋物線為 y=﹣ x2+6x﹣ 3， 一次函數(shù)的解析式為： y=﹣ 4x+22， A（ 5， 2）， ∵